2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的联系，通过四个具体不等式情境导入，引导学生抽象出一元二次不等式定义，衔接二次函数零点知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“三个二次”关系为核心，通过表格对比不同判别式下的解集，结合含参数不等式分类讨论、分式不等式转化等通性通法，培养数学抽象、直观想象、数学运算素养。分层训练题帮助学生巩固提升，教师可利用资料系统教学，提高效率。

2.3　 二次函数与一元二次方程、不等式 新课程标准解读 核心素养 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过 程，了解一元二次不等式的现实意义 数学抽象 2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并 能用集合表示一元二次不等式的解集 数学抽象、 数学运算 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式 与相应函数、方程的联系 直观想象 4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式 的模型，并加以解决 数学建模、 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　给出下面四个不等式： （1） x2－ x －6＞0； （2） x2－ x －6≤0； （3） x2－4 x ＋4≥0； （4）2 x2＋ x ＋5＜0. 目录 数学·必修第一册 【问题】　这四个不等式的共同点是什么？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点一　一元二次不等式 定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 ⁠的不等式，称为一元二次不等式 一般 形式 ax2＋ bx ＋ c ＞0或 ax2＋ bx ＋ c ＜0，其中 a ， b ， c 均为常数， a ≠0 未知数　 2　 目录 数学·必修第一册 提醒　对一元二次不等式的再理解：①一元，即只含一个未知数，其 他元素均为常数（或参数）；②二次，即未知数的最高次数必须为 2，且其系数不能为0；③整式不等式. 目录 数学·必修第一册 知识点二　二次函数的零点 一般地，对于二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ，我们把使 ⁠ 的实数 x 叫做二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的 ⁠. 提醒　零点不是点，只是函数的图象与 x 轴交点的横坐标. ax2＋ bx ＋ c ＝ 0　 零点　 目录 数学·必修第一册 知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ＞0）的图 象 ax2＋ bx ＋ c ＝0 （ a ＞0）的根 有两个不相等的 实数根 x1， x2 （ x1＜ x2） 没有实 数根 目录 数学·必修第一册 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋ bx ＋ c ＞0 （ a ＞0）的解 集 { x ｜ x ＜ x1，或 x ＞ x2} R ax2＋ bx ＋ c ＜0 （ a ＞0）的解 集 { x ｜ x1＜ x ＜ x2} ⌀ ⌀ 目录 数学·必修第一册 提醒　三个“二次”关系的实质：① ax2＋ bx ＋ c ＝0的解⇔ y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴交点的横坐标（即二次函数的零点）；② ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集⇔ y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象上的点（ x ， y ）在 x 轴上方 时，对应 x 的取值集合；③ ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集⇔ y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象上的点（ x ， y ）在 x 轴下方时，对应 x 的取值集合. 目录 数学·必修第一册 1. 一元二次不等式（ x ＋2）（5－ x ）＞0的解集为（　　） A. { x ｜ x ＜－2或 x ＞5} B. { x ｜ x ＜－5或 x ＞2} C. { x ｜－2＜ x ＜5} D. { x ｜－5＜ x ＜2} 解析： 　原一元二次不等式可化为（ x ＋2）（ x －5）＜0，解得 －2＜ x ＜5，所以原不等式的解集为{ x ｜－2＜ x ＜5}.故选C. 目录 数学·必修第一册 2. 函数 y ＝ x2－3 x ＋2与 x 轴交点的横坐标是 ⁠. 解析：由 x2－3 x ＋2＝0得 x1＝1， x2＝2，故函数 y ＝ x2－3 x ＋2与 x 轴交点的横坐标为1或2. 3. 不等式3 x2－2 x ＋1＞0的解集是 ⁠. 解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3 x2－2 x ＋1＞0的解集为R. 1或2　 R　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】　解下列不等式： （1）2 x2＋5 x －3＜0； 解： Δ＝49＞0，方程2 x2＋5 x －3＝0的两根分别为 x1＝－3， x2＝ ， 作出函数 y ＝2 x2＋5 x －3的图象，如图①所示. 由图可得原不等式的解集为 . 目录 数学·必修第一册 （2）－3 x2＋6 x ≤2； 解：原不等式等价于3 x2－6 x ＋2≥0.Δ＝12＞0，解方程3 x2－6 x ＋2＝0，得 x1＝ ， x2＝ ， 作出函数 y ＝3 x2－6 x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等 式的解集为 . 目录 数学·必修第一册 （3）4 x2＋4 x ＋1＞0； 解： ∵Δ＝0，∴方程4 x2＋4 x ＋1＝0有两个相等的实数根 x1＝ x2＝－ .作出函数 y ＝4 x2＋4 x ＋1的图象如图③所示. 由图可得原不等式的解集为{ x ｜ x ≠－ }. 目录 数学·必修第一册 （4）－ x2＋6 x －10＞0. 解：原不等式可化为 x2－6 x ＋10＜0， ∵Δ＝－4＜0， ∴方程 x2－6 x ＋10＝0无实数根， ∴原不等式的解集为⌀. 目录 数学·必修第一册 通性通法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准：通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系 数为正； （2）判别式：对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算 对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程 无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的 草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 不等式－2 x2＋ x ＋3＜0的解集是（　　） A. { x ｜ x ＜－1} 目录 数学·必修第一册 解析： 　不等式－2 x2＋ x ＋3＜0可化为2 x2－ x －3＞0.因为Δ＝ （－1）2－4×2×（－3）＝25＞0，所以方程2 x2－ x －3＝0的两根 分别为 x1＝－1， x2＝ .又二次函数 y ＝2 x2－ x －3的图象开口向 上，所以不等式－2 x2＋ x ＋3＜0的解集是 .故 选D. 目录 数学·必修第一册 2. 解不等式－2＜ x2－3 x ≤10. 解：原不等式等价于不等式组&x2-3x＞-2，　①&x2-3x≤10.② 不等式①可化为 x2－3 x ＋2＞0，解得 x ＞2或 x ＜1. 不等式②可化为 x2－3 x －10≤0，解得－2≤ x ≤5. 故原不等式的解集为{ x ｜－2≤ x ＜1或2＜ x ≤5}. 目录 数学·必修第一册 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】　解关于 x 的不等式 ax2－（ a ＋1） x ＋1＜0（ a ＜1）. 解：①当 a ＝0时，原不等式即为－ x ＋1＜0，解得 x ＞1. ②当 a ＜0时，原不等式化为 （ x －1）＞0，解得 x ＜ 或 x ＞1. 目录 数学·必修第一册 ③当0＜ a ＜1时，原不等式化为 （ x －1）＜0.解得1＜ x ＜ . 综上可知，当 a ＜0时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞1}； 当 a ＝0时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＞1}； 当0＜ a ＜1时，原不等式的解集为 . 目录 数学·必修第一册 通性通法 含参数的一元二次不等式的解法 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　解关于 x 的不等式 x2＋（1－ a ） x － a ＜0. 解：方程 x2＋（1－ a ） x － a ＝0的两根分别为 x1＝－1， x2＝ a .又函 数 y ＝ x2＋（1－ a ） x － a 的图象开口向上， 所以，当 a ＜－1时，解不等式得 a ＜ x ＜－1； 当 a ＝－1时，此不等式无解； 当 a ＞－1时，解不等式得－1＜ x ＜ a . 综上可知，当 a ＜－1时，不等式的解集为{ x ｜ a ＜ x ＜－1}； 当 a ＝－1时，不等式的解集为⌀； 当 a ＞－1时，不等式的解集为{ x ｜－1＜ x ＜ a }. 目录 数学·必修第一册 题型三 简单的分式不等式 【例3】　解下列不等式： （1） ≥0； 解： 原不等式等价于 即∴－2≤ x ＜3. ∴原不等式的解集为{ x ｜－2≤ x ＜3}. 目录 数学·必修第一册 （2） ＞1. 解： 原不等式可化为 －1＞0，即 ＜0. ∴（6 x －4）（4 x －3）＜0，∴ ＜ x ＜ . ∴原不等式的解集为 . 目录 数学·必修第一册 通性通法 解分式不等式的策略 （1）对于形如 ＞0（＜0）的不等式可等价转化为 f （ x ） g （ x ）＞0（＜0）来解决；对于形如 ≥0（≤0）的不等 式可等价转化为来解决； （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分 （不要去分母），使不等号右边为零，然后再用上述方法转化 为整式不等式（组）求解. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 不等式 ＜0的解集为 　 　. 解析：原不等式可化为（ x ＋1）（2 x －1）＜0，∴－1＜ x ＜ ， 故原不等式的解集为 . 2. 不等式 ≥0的解集是{ x ｜－1≤ x ＜5}，则 a 的值为 ⁠. 解析：由于原不等式等价于因此结合不等 式解集知 a ＝5. 　 5　 目录 数学·必修第一册 1. 不等式 ≥0的解集为（　　） A. { x ｜0＜ x ≤2} B. { x ｜－1＜ x ≤2} C. { x ｜ x ＞－1} D. R 解析： 　 ≥0⇒（ x ＋1）（ x －2）＜0或 x ＝2，解得－1＜ x ≤2，故选B. 目录 数学·必修第一册 2. （多选）下列不等式是一元二次不等式的是（　　） D. x2＋1＜0 解析： 　由于 x2＋ ＋1＜0， x2＋ ＋1＜0不符合一元二次不 等式的定义，只有 x2＋ x ＜－1， x2＋1＜0是一元二次不等式， 故选A、D. 目录 数学·必修第一册 3. 若0＜ m ＜1，则不等式（ x － m ）（ x － ）＜0的解集为 ⁠ ⁠. 解析：∵0＜ m ＜1，∴ ＞1＞ m ，故原不等式的解集为{ x ｜ m ＜ x ＜ }. { x ｜ m ＜ x ＜ }　 目录 数学·必修第一册 4. 解下列不等式： （1） x （7－ x ）≥12； 解： 原不等式可化为 x2－7 x ＋12≤0. 因为方程 x2－7 x ＋12＝0的两根为 x1＝3， x2＝4. 所以原不等式的解集为{ x ｜3≤ x ≤4}. 目录 数学·必修第一册 （2） x2＞2（ x －1）. 解： 原不等式可以化为 x2－2 x ＋2＞0， 因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0， 所以方程 x2－2 x ＋2＝0无实数根， 又函数 y ＝ x2－2 x ＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 下面四个不等式中解集为R的是（　　） A. － x2＋ x ＋1≥0 C. x2＋6 x ＋10＞0 D. 2 x2－3 x ＋4＜0 解析： 　利用“Δ”判断，在不等式 x2＋6 x ＋10＞0中，Δ＝62－ 40＜0，∴该不等式的解集为R，其他可类似判断.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 不等式 x （4－ x ）＜3的解集为（　　） A. { x ｜ x ＜1或 x ＞3} B. { x ｜ x ＜0或 x ＞4} C. { x ｜1＜ x ＜3} D. { x ｜0＜ x ＜4} 解析： 　不等式 x （4－ x ）＜3化为 x2－4 x ＋3＞0，即（ x －1） （ x －3）＞0，解得 x ＜1或 x ＞3，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. （多选）关于实数 x 的不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0（ a ∈R） 的解集可能是（　　） A. { x ｜ x ＜－1或 x ＞ a } B. R C. { x ｜－1＜ x ＜ a } D. { x ｜ a ＜ x ＜－1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　当 a ＞0时，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为 （ x － a ）（ x ＋1）＞0，解得 x ＞ a 或 x ＜－1；当 a ＝0时，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为0＞0，此时不等式的解集为⌀；当 －1＜ a ＜0时，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为（ x － a ） （ x ＋1）＜0，解得－1＜ x ＜ a ；当 a ＝－1时，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为（ x ＋1）2＜0，此时不等式的解集为⌀；当 a ＜－1时，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为（ x － a ）（ x ＋1）＜0，解得 a ＜ x ＜－1.故A、C、D都有可能，B不可能. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 二次函数 y ＝ x2－4 x ＋3的零点为 ⁠. 解析：由零点的定义知，令 x2－4 x ＋3＝0，得 x ＝1或 x ＝3，故函 数 y ＝ x2－4 x ＋3的零点为1和3. 1和3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 已知二次函数 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 的零点为－2和1，则关于 x 的不等 式 x2＋ bx － c ＞0的解集为（　　） A. { x ｜ x ＜－1或 x ＞2} B. { x ｜－1＜ x ＜2} C. { x ｜－2＜ x ＜1} D. { x ｜ x ＜－2或 x ＞1} 解析： 　因为二次函数 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 的零点为－2和1，所以 －2和1为方程－ x2＋ bx ＋ c ＝0的两根，所以由根与系数的关系得 －2＋1＝ b ，－2×1＝－ c ，解得 b ＝－1， c ＝2，所以关于 x 的 不等式 x2＋ bx － c ＞0即 x2－ x －2＞0，即（ x －2）·（ x ＋1）＞ 0，所以不等式的解集为{ x ｜ x ＜－1或 x ＞2}.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 关于 x 的不等式（ mx －1）（ x －2）＞0，若此不等式的解集为 { x ｜ ＜ x ＜2}，则 m 的取值范围是 ⁠. 解析：由题意知 m ＜0，∵不等式（ mx －1）（ x －2）＞0的解集 为{ x ｜ ＜ x ＜2}，∴方程（ mx －1）（ x －2）＝0的两个实数根 为 和2，且解得 m ＜0，∴ m 的取值范围是{ m ｜ m ＜ 0}. { m ｜ m ＜0}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 若关于 x 的不等式 x2－（ a ＋1） x ＋ a ＜0的解集中，恰有3个整 数，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 解析：原不等式可等价为（ x － a ）（ x －1）＜0，不等式解集中 恰有3个整数，当 a ＞1时，4＜ a ≤5；当 a ＝1时，不等式无解， 不符合题意；当 a ＜1时，－3≤ a ＜－2.所以实数 a 的取值范围是 { a ｜－3≤ a ＜－2或4＜ a ≤5}. { a ｜－3≤ a ＜－2或4＜ a ≤5}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $