2.3第2课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的应用，涵盖分式不等式解法、恒成立问题及实际应用。通过思维导图梳理知识脉络，衔接一元二次不等式基础，为应用环节搭建学习支架。 其亮点是以探究点为载体，通过分式不等式转化整式不等式等典例解析和恒成立问题的参数分离法培养数学思维，结合摩托车生产、削笔器销售等实际问题渗透数学建模。类题通法总结助学生提炼策略，提升分析能力，也为教师提供结构化教学资源。

第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 素养目标 思维导图 1.会求解方程根的存在性问题和不等式成立问题(直观想象). 2.能利用不等式的知识解决实际生活中的一些问题(数学建模). 探究点一　简单分式不等式的解法 【典例1】解下列不等式: (1)<0;(2)≥0;(3)>1. 【思维导引】先移项、通分,将各因式最高次项系数化为正,再转化为与它同解的整式不等式求解. 【解析】(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0,所以-1<x<, 故原不等式的解集为{x|-1<x<}. (2)原不等式可化为≤0, 所以所以即-<x≤1. 故原不等式的解集为{x|-<x≤1}. (3)原不等式可化为-1>0, 所以>0,所以>0,则x<-2. 故原不等式的解集为{x|x<-2}. 【类题通法】分式不等式的解题策略 解分式不等式要先通过移项、通分转化为以下类型再进行求解: (1)>0型:>0⇔f(x)g(x)>0; (2)<0型:<0⇔f(x)g(x)<0; (3)≥0型:≥0⇔ (4)≤0型:≤0⇔ 【定向训练】 1.不等式≥2的解集为　　　　　　　.  【解析】≥2化为-2≥0,即≥0, 即≤0.它等价于⇒-1≤x<0. 所以原不等式的解集为{x|-1≤x<0}. 答案:{x|-1≤x<0} 2.不等式<1的解集为{x|x<1或x>2},那么a的值为　　　　.  【解析】<1化为-1<0,即<0.等价于[(a-1)x+1](x-1)<0. 所以(a-1)x2-(a-2)x-1<0. 所以1,2是方程(a-1)x2-(a-2)x-1=0的两个根.所以解得a=. 答案: 3.已知关于x的不等式>0的解集为{x|-1<x<2},其中a,b∈R,则关于x的不等式<1的解集为　　　　　　　　.  【解析】不等式>0等价于(ax-1)(x+b)>0(x≠-b),即ax2+(ab-1)x-b>0, 所以-1和2为方程ax2+(ab-1)x-b=0的两根,且a<0, 由根与系数的关系可得,解得, 所以原不等式为<1⇒-1<0⇒<0⇒<0,即x(x-1)<0,解得0<x<1. 即不等式<1的解集为{x|0<x<1}. 答案:{x|0<x<1} 【题后反思】依题意-1和2为方程ax2+(ab-1)x-b=0的两根,利用根与系数的关系得到方程即可求出a和b的值,再代入分式不等式求解即可. 探究点二　不等式的恒成立问题 【典例2】(一题多解) 设二次函数y=ax2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x值都有y>0,求实数a的取值范围. 【解析】方法一:当a>0时,y=a+2-, 由1<x<4,y>0得或或, 所以或或, 所以a≥1或<a<1,即a>. 当a<0时,,解得a为空集. 综上可得,实数a的取值范围是{a|a>}. 方法二:由y>0,即ax2-2x+2>0,1<x<4,则有a>-在1<x<4上恒成立. 由-=-2()2+, 又<<1,所以当=时,=, 所以要使y>0在1<x<4上恒成立,只要a>即可. 故a的取值范围为{a|a>}. 【题后反思】不等式恒成立问题一般转化为函数的最值(或值域)来求解.其解题步骤为①分离参数;②构造函数;③求函数的最值(或值域);④由恒成立得出参数的取值范围. 【类题通法】解决不等式恒成立问题的两种思路 (1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组),求得参数范围. (2)分离参数,通过求函数的最值,进而确定参数的范围. 【定向训练】 1.已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-2(m∈R). (1)若不等式f(x)≥0恒成立,求m的取值范围; (2)对任意的{x|-1≤x≤1},不等式f(x)≥x2恒成立,求m的取值范围. 【解析】(1)已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-2(m∈R), 因为不等式f(x)≥0恒成立,即不等式mx2-(m-1)x+m-2≥0恒成立, 当m=0时,不等式即为x-2≥0,显然不恒成立,舍去; 当m≠0时,要使得f(x)≥0恒成立,则满足, 即,解得m≥,即m的取值范围为{m|m≥}. (2)已知不等式f(x)≥x2在-1≤x≤1上恒成立, 即(m-1)x2-(m-1)x+m-2≥0在-1≤x≤1上恒成立, 即(m-1)(x2-x+1)≥1在-1≤x≤1上恒成立, 因为x2-x+1=(x-)2+>0, 则可转化为不等式(m-1)≥在-1≤x≤1上恒成立, 设g(x)=x2-x+1=(x-)2+,-1≤x≤1,可得≤g(x)≤3, 所以的最大值为,所以m-1≥,可得m≥, 所以实数m的取值范围为{m|m≥}. 2.已知函数y=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,不等式y<0恒成立,求实数m的取值范围; (2)若对于一切实数x,不等式y≥-2恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)要使mx2-mx-1<0恒成立,若m=0,显然-1<0恒成立.若m≠0, 则解得-4<m<0. 综上可知,m的取值范围是{m|-4<m≤0}. (2)不等式y≥-2恒成立,即为mx2-mx+1≥0恒成立.若m=0,则不等式为1≥0,显然恒成立;若m≠0,则 解得0<m≤4. 综上,实数m的取值范围是{m|0≤m≤4}. 探究点三　一元二次不等式的实际应用 【典例3】某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内? 【思维导引】认真阅读题意,理解各个量之间的关系,构建函数关系式或不等式解决问题. 【解析】(1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0<x<1), 整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1). (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当 即得0<x<, 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x的取值范围为{x|0<x<}. 【类题通法】解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解、认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系. (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系. (3)解不等式. (4)检验符合实际问题. 【定向训练】 某网店销售一批新款削笔器,进价为10元/个.经统计,该削笔器的日销售量y(单位:个)与售价x(单位:元/个)满足如图所示的函数关系. (1)为了使这批削笔器的日利润最大,应怎样定制这批削笔器的销售价格? (2)为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元/个时的日利润,求售价x的取值范围. 【解析】(1)根据题图可设y=kx+b(15≤x≤30), 将(15,30)和(30,0)代入解得k=-2,b=60, 故y=60-2x(15≤x≤30), 设日利润为W元,则W=(60-2x)x-10(60-2x)=-2x2+80x-600=-2(x-20)2+200(15≤x≤30), 所以当x=20时,日利润最大. 为了使这批削笔器的日利润最大,这批削笔器的销售价格应定为20元/个. (2)由(1)可知,当x=15时,W=-2×(15-20)2+200=150, 要使这批削笔器的日利润不低于售价为15元/个时的日利润, 则-2x2+80x-600≥150,即x2-40x+375≤0, 解得15≤x≤25,为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元/个时的日利润, 则售价x的取值范围是{x|15≤x≤25}. 课堂练习 1.不等式≥2的解集是(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.不等式等价于⇔所以不等式的解集为{x|-≤x<1或1<x≤3}. 2.不等式≥0的解集为(　　) A.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x≤2} C.{x|x<0或x≥2} D.{x|x<0或x>2} 【解析】选B.由原式得x(x-2)≤0且x≠0, 解得0<x≤2. √ √ 3.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|-4≤a≤4} B.{a|-4<a<4} C.{a|a≤-4或a≥4} D.{a|a<-4或a>4} 【解析】选A.欲使不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则Δ=a2-16≤0, 所以-4≤a≤4. 4.若不等式≤2的解集为,则实数k=　　　　.  【解析】因为 ≤2,所以(kx-4)2≤4,即k2x2-8kx+12≤0, 因为不等式≤2的解集为, 所以1和3是方程k2x2-8kx+12=0的两根,所以 1+3=,所以k=2. 答案:2 √ 5.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100·(5x+1-)元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围. (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润. 【解析】(1)根据题意,200(5x+1-)≥3 000,整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0, 又1≤x≤10,可解得3≤x≤10, 故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,x的取值范围是{x|3≤x≤10}. (2)设利润为y元,则y=·100(5x+1-)=9×104(5+)=9×104[-3()2+],故x=6时,ymax=457 500,即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大,最大利润为457 500元. 谢 谢 $