精品解析：湖北随州市广水市2025-2026学年下学期期末质量监测八年级数学试题

2025—2026学年度下学期期末质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卷上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卷一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填入题后的括号内） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可. 【详解】A. ，被开方数含开方开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B. 是最简二次根式，故本选项正确； C. ，原式不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D. ，原式不是最简二次根式，故本选项不符合题意；. 故选：B. 【点睛】此题考查的是最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解决此题的关键. 2. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐一分析即可. 【详解】解：选项A， 展开等式得，整理得， 根据勾股定理逆定理，是直角三角形，故选项A不符合题意． 选项B， 设，则，， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意． 选项C ，∵，，， ， 是直角三角形，故选项C不符合题意． 选项D ，，， ∴ ， ， ， 不是直角三角形，故选项D符合题意． 3. 在正比例函数中，函数的值随值的增大而减小，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到的取值范围，再判断点横纵坐标的符号，结合象限内点的坐标特征即可得出答案. 【详解】解：∵正比例函数中，函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标都小于0， ∴点在第三象限. 4. 如图，中对角线与相交于点O，的周长是，交于点E，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，根据垂直平分线的性质得出，结合的周长是求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，即是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， 故， ∴的周长． 5. 函数的图象经过点，则b的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，代入坐标求解一元一次方程即可得到b的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点， 将，代入，得 ， 解得． 6. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，，则射击成绩最稳定的是（    ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【详解】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可． 【分析】解：∵， 射击成绩最稳定的是丙， 故选：C． 7. 已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，结合，可得出． 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 8. 如图，已知平行四边形的对角线与相交于点O，下列结论中，不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．， ， 是矩形， 故结论正确，但不符合题意； B．， 是菱形， 故结论正确，但不符合题意； C．四边形是平行四边形， ，， 又， ， 是矩形， 故结论正确，但不符合题意； D．当时，四边形不一定是菱形， 故结论错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键． 9. 在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为尺，斜边比较长的直角边多尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】B 【解析】 【分析】设较长的直角边长为尺，则斜边长为尺，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设较长的直角边长为尺，则斜边长为尺， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， “矩尺”的较长的直角边的长为尺． 10. 如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．依据题意，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 【详解】解：由图象可得：0～2秒，点P在上运动，则， ∵点G是中点， ∴，故①正确． 由图象可得：2﹣4秒，点P在上运动，则第4秒时，,故③正确． 由图象可得：4﹣7秒，点P在上运动，则，故②正确． 由图象可得：当第秒时，点P在H处， ∵， ∴， ∴． ∴．故④不正确． ∴结论正确为①②③． 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化为最简二次根式，再根据去绝对值法则进行计算，再根据二次根式加减法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减及绝对值的化简，熟练掌握相关法则进行计算是解决本题的关键． 13. 如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长等于，梯子完全撑开后顶端离地面的高度等于，则此时梯子侧面宽度等______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再根据等腰三角形三线合一得出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形顶角的角平分线，底边上的高，底边上的中线重合． 14. 已知一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，写出一个满足条件的一次函数的表达式为______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据y随x的增大而减小得到，再将代入进行计算即可． 【详解】解：y随x的增大而减小， ， 假设，故， 将代入，即可得到， ． 15. 如图，点D是y轴正半轴上的动点，点A在x轴正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 取的中点H，连接，根据正方形的性质及直角三角形斜边中线的性质得出，再由勾股定理确定，再由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴当点H在上时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，再合并即可. 【详解】解： ． 17. 在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，， ∴， 点为的中点， ， 在和中， ； （2） 证明：由（1）知， ， 在平行四边形中，， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形性质得到，再由平行线性质和中点定义确定相关角度与边长，再由全等三角形的判定定理即可得证； （2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质得到，数形结合表示出即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的性质、平行线的性质、中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 18. 周末，启智数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源． 测量数据 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为，风筝线的长为，牵线放风筝的手到地面的距离的长为． 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请你帮助他们完成以下任务： （1）根据测量所得数据，则风筝离地面的垂直高度_________； （2）若风筝沿方向下降了到达点M，的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 【答案】（1）21.7 （2）要回收8米的风筝线． 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意， 在中，，，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：设此时风筝下降到点，由题意得， ∴， 在中，， ∴． ∴要回收8米的风筝线． 19. 根据教育部相关通知要求，各地中小学校需保障学生每天校内、校外各1个小时的体育活动时间，部分有条件的学校可延长校内户外活动至2小时．某区各中小学积极落实通知要求，增加学生在校活动时间，同时，为了解学生每天平均校外活动时间的情况，某校随机抽查了该学校七、八、九年级部分同学，对其每天平均校外活动时间进行统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）该校抽查的学生的人数为________人，图中的b的值为________，这组数据的众数是________． （2）求被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数． （3）根据统计的样本数据，简要谈谈你对该校“学生每天平均校外活动时间情况”的看法，并结合自己的实际，提一条关于校外活动的建议． 【答案】（1）100，40， （2） （3）学生每天平均校外活动时间较少，学生应该加强校外活动． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数，众数，样本估算总体，从统计图中获取信息是解题的关键． （1）根据每天平均校外活动时间为1小时的占，共30人，即可求得总人数，用每天平均校外活动时间2小时人数除以总数即可求得a，然后即可求出b的值；根据众数的定义求出众数； （2）根据求平均数的方法，求得100个学生每天平均校外活动时间的平均数； （3）根据题意提出建议即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）； ， ∴，， 活动为小时的人数最多，故众数为， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：平均数为（小时）； 【小问3详解】 学生每天平均校外活动时间较少，学生应该加强校外活动． 20. 课本再现 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，琪琪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：分别是的边的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）如图2，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，，．证明四边形是平行四边形，可得，且，再证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得结论； （2）连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证． 【详解】解：证明：如图1，延长到点，使，连接，． 四边形是平行四边形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形， ，且． 又， ，且 （2）证明：如图2，连接． 分别是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形． 21. 已知一次函数的图象经过点，，与x轴，y轴相交于点C，D． （1）求一次函数的表达式； （2）结合函数图象，直接写出的解集； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式、三角形面积等知识，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）结合图象与点B坐标可直接得出答案； （3）先求出点C的坐标，再根据求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像经过点，， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由图象可知不等式的解集为：． 【小问3详解】 解：由（1）知，一次函数解析式为， ∴令，则， ∴． ∴， ∴， ∴ ． 22. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）证明得到，即得四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由勾股定理可得，再证明可得四边形是平行四边形，得到，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：， ，， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 由（）可知，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 23. 某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共50箱，两种饮料每箱的进价和售价如表所示．设购进果汁饮料x箱（x为正整数），且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为元（注：总利润总售价总进价）． 饮料 果汁饮料 碳酸饮料 进价（元／箱） 51 36 售价（元／箱） 61 43 （1）求总利润w关于x的函数关系式； （2）如果购进两种饮料的总费用不超过2100元，果汁饮料不少于10箱，求x的取值范围． （3）在（2）的条件下该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润． 【答案】（1）； （2），x为整数； （3）该商场购进果汁饮料、碳酸饮料分别为20箱，30箱时，能获得最大利润410元． 【解析】 【分析】（1）根据总利润等于两种饮料的利润之和可得答案； （2）根据购进两种饮料的总费用不超过2100元，果汁饮料不少于10箱，再建立不等式组求解即可； （3）根据一次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：总利润w关于x的函数关系式为： ； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得：， 综上：，且为整数. 【小问3详解】 解：∵，随x的增大而增大，，且为整数， ∴当时，元， 此时购进碳酸饮料箱， ∴该商场购进果汁饮料、碳酸饮料分别为20箱、30箱时，能获得最大利润410元. 24. 【问题背景】在学习了平行四边形后，数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题，其探究过程如下． （1）【探究发现】 如图（1），在中，，，点E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿折叠得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请直接判断该四边形的形状． （2）【探究证明】 取边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿折叠得到，点B的对称点为点H．连接，，如图（2），求证：四边形是平行四边形． （3）【探究提升】 在图（2）中，当四边形是菱形时能成为轴对称图形，当四边形是矩形时也能成为轴对称图形，分别求出当四边形是菱形和矩形时的值． 【答案】（1）四边形是菱形； （2）证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； （3）或. 【解析】 【分析】（1）证明即可得到结论； （2）证明四边形是菱形，结合四边形是菱形，进一步可得结论； （3）①当四边形是菱形时，连接，证明是等边三角形，可得，，，进一步可得答案； ②当四边形是矩形时，如图，连接，证明，结合，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：由对折可得：，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴，，，，， ∴， ①当四边形是菱形时，如图，连接， ∵四边形和四边形均为菱形， ∴，， 又∵点E，M分别是，的中点，，， ∴点E，G，H，M共线， ∵，， ∴. ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， 同理可得：四边形是平行四边形， ∴， ∴； ②当四边形是矩形时，如图，连接， 同①可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 综上可知，的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卷上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卷一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填入题后的括号内） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 3. 在正比例函数中，函数的值随值的增大而减小，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，中对角线与相交于点O，的周长是，交于点E，则的周长是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象经过点，则b的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 6. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，，则射击成绩最稳定的是（    ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图，已知平行四边形的对角线与相交于点O，下列结论中，不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是菱形 9. 在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为尺，斜边比较长的直角边多尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 10. 如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 计算：______． 13. 如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长等于，梯子完全撑开后顶端离地面的高度等于，则此时梯子侧面宽度等______________． 14. 已知一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，写出一个满足条件的一次函数的表达式为______________． 15. 如图，点D是y轴正半轴上的动点，点A在x轴正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， （1）求证：； （2）求证：． 18. 周末，启智数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源． 测量数据 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为，风筝线的长为，牵线放风筝的手到地面的距离的长为． 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请你帮助他们完成以下任务： （1）根据测量所得数据，则风筝离地面的垂直高度_________； （2）若风筝沿方向下降了到达点M，的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 19. 根据教育部相关通知要求，各地中小学校需保障学生每天校内、校外各1个小时的体育活动时间，部分有条件的学校可延长校内户外活动至2小时．某区各中小学积极落实通知要求，增加学生在校活动时间，同时，为了解学生每天平均校外活动时间的情况，某校随机抽查了该学校七、八、九年级部分同学，对其每天平均校外活动时间进行统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）该校抽查的学生的人数为________人，图中的b的值为________，这组数据的众数是________． （2）求被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数． （3）根据统计的样本数据，简要谈谈你对该校“学生每天平均校外活动时间情况”的看法，并结合自己的实际，提一条关于校外活动的建议． 20. 课本再现 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，琪琪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：分别是的边的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）如图2，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 21. 已知一次函数的图象经过点，，与x轴，y轴相交于点C，D． （1）求一次函数的表达式； （2）结合函数图象，直接写出的解集； （3）求的面积． 22. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共50箱，两种饮料每箱的进价和售价如表所示．设购进果汁饮料x箱（x为正整数），且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为元（注：总利润总售价总进价）． 饮料 果汁饮料 碳酸饮料 进价（元／箱） 51 36 售价（元／箱） 61 43 （1）求总利润w关于x的函数关系式； （2）如果购进两种饮料的总费用不超过2100元，果汁饮料不少于10箱，求x的取值范围． （3）在（2）的条件下该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润． 24. 【问题背景】在学习了平行四边形后，数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题，其探究过程如下． （1）【探究发现】 如图（1），在中，，，点E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿折叠得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请直接判断该四边形的形状． （2）【探究证明】 取边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿折叠得到，点B的对称点为点H．连接，，如图（2），求证：四边形是平行四边形． （3）【探究提升】 在图（2）中，当四边形是菱形时能成为轴对称图形，当四边形是矩形时也能成为轴对称图形，分别求出当四边形是菱形和矩形时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $