精品解析：湖北省随州市广水市2024-2025学年八年级下学期期末质量检测数学试题

2024—2025学年度下学期期末质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟 满分：120分） 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置． 2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3． 非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卷上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4． 考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卷一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填入题后的括号内． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A B. C. D. 3. 若直线经过点，则关于x的方程的解是（ ） A. 4 B. C. D. k 4. 一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2或 5. 若x，y为实数，且，则xy的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 不能确定 6. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 7. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 8. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部处，这棵大树在折断前高度为（ ）． A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 9. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则　　 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 如图，在正方形中，连接，平分交于点E，F是边上一点，连接交于点G，，连接交于点H．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请将每小题正确答案写在题中的横线上． 11. 某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值___________． 12. 若与最简二次根式可以合并，则_____________． 13. 如图所示， ， ，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是 _____． 14. 如图，一次函数与的图像交于点．点的横坐标为，下列结论：；；当时，；时，正确的结论是______（填序号）． 15. 如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是______． 三、解答题：（本大题共有9个小题，共75分）解答应写出演算步骤或文字说明，并将答案写在对应的答题区域内． 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABC平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G． （1）若∠EFG＝32°，求∠FEG的度数； （2）求证：AF＝DE． 19. 为普及人工智能，某校组织七、八年级“人工智能知识竞赛”，满分10分，竞赛成绩均为整数，8分及以上为优秀． 【收集整理数据】测试结果显示所有学生成绩都不低于4分，从两个年级中各随机抽取20名学生的成绩． 【描述数据】根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）补全条形统计图； （3）该校七年级有800人参加测试，八年级有1000人参加测试，估计七八年级测试成绩优秀的共有多少人？ （4）从平均数、中位数、众数和方差中，任意选一个统计量，解释其在本题中的意义． 20. 已知一次函数的图象不经过第二象限，且m为正整数． （1）求m的值． （2）在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． （3）当时，根据函数图象，直接写出x的取值范围． 21. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 盆栽是一种美学文化，展现了人与自然的和谐共生，盆栽的美不仅在于其形态和色彩，更在于其背后所蕴含的丰富的文化意义．某花卉店计划购进一批盆栽尝试进行销售，据了解1盆甲盆栽、3盆乙盆栽的进价共计元；3盆甲盆栽、1盆乙盆栽的进价共计元． （1）求甲、乙两种盆栽每盆进价分别为多少元？ （2）若该店计划用元购进以上两种盆栽（两种盆栽均购买）试销，请你计算一下有几种购买方案？ （3）若该花卉店销售1盆甲盆栽可获利8元，销售1盆乙盆栽可获利3元，在（2）的购买方案中，假如这些盆栽全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 23. 在正方形中，点为边上一动点，点关于对称点为，连接． （1）如图1，连接，当时，求证： ： （2）如图2，延长，交于点，连接． ①求的度数： ②用等式表示与之向的数量关系，并证明． 24. 如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点P的坐标； ②连接，如图，若是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期期末质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟 满分：120分） 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置． 2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3． 非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卷上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4． 考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卷一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填入题后的括号内． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】∵二次根式有意义， ∴． 解得：． 故选：D． 2. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据函数的定义，判断对于给定的 值，是否有唯一的 值与之对应，来确定哪个曲线不能表示 是 的函数．本题主要考查函数的定义，熟练掌握函数定义中“对于自变量 的每一个确定值，函数值 有唯一确定值与之对应”是解题的关键． 【详解】解：选项A、B、C中，对于任意给定的一个 值，都能找到唯一的 值与之对应，能表示是的函数． 选项D中，存在某些 值（比如圆与 轴交点对应的 值除外的部分 ），一个 对应两个 值，不满足函数定义中 的唯一性，不能表示 是 的函数， 故选：D ． 3. 若直线经过点，则关于x的方程的解是（ ） A. 4 B. C. D. k 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数与轴交点的横坐标即为其所对应的一元一次方程的解是解题的关键． 利用一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：由直线经过点，即与轴交点坐标为， 则直线对应的一元一次方程的解是， 故选：C． 4. 一个直角三角形两边长分别是1和，则第三边长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据勾股定理，分两种情况讨论已知两边为直角边或其中一边为斜边，分别计算第三边的长度，即可作答． 【详解】解：已知直角三角形两边长分别为1和，需分两种情况求解第三边： 当1和均为直角边，则第三边为斜边， 由勾股定理得：斜边， 当为斜边，则第三边为另一条直角边， 由勾股定理得：直角边， 综上，第三边长为1或， 故选：D． 5. 若x，y为实数，且，则xy的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式的被开方数非负性是解题的关键． 根据二次根式的被开方数非负性，确定x的取值范围，进而求出x的值，代入原方程求出y的值，最后计算xy的值． 【详解】解：由题意，得， 解得． 将代入，得 解得：． ∴ 故选：C． 6. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定．根据尺规作图可得平分，再由平行四边形的性质，可得，从而得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误正确，不符合题意． B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误正确，不符合题意． C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误正确，不符合题意． D．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，符合题意， 故选：D． 8. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ）． A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意得，大树折断部分、未折断部分及地面正好构成直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：由勾股定理得，大树折断部分的长度为， 这棵大树在折断前的高度为． 故选：C． 9. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则　　 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形中位线定理，勾股定理，由直角三角形斜边中线的性质求出长，由勾股定理求出长，由三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：为斜边上的中线， ， ， ， ， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ． 故选：D． 10. 如图，在正方形中，连接，平分交于点E，F是边上一点，连接交于点G，，连接交于点H．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用正方形的性质证明，可判断①；通过证明，可判断②；利用全等三角形对应角相等，通过证明，可判断③； 【详解】四边形是正方形， ，，， 在和中 ， ，故A选项正确， 在和中 ， ， ，故B选项正确， ， ， ， ， ， ， ，故C选项正确， ， ， F是边上一点，无条件知为三等分点， 不成立，故D选项不正确， 故选：D． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请将每小题正确答案写在题中的横线上． 11. 某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限， ∴， ∴（答案不唯一） 12 若与最简二次根式可以合并，则_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式．根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式可以合并， ∴， ∴； 故答案为：5． 13. 如图所示， ， ，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长．求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴点C的横坐标是， 故答案为：． 14. 如图，一次函数与的图像交于点．点的横坐标为，下列结论：；；当时，；时，正确的结论是______（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像及其性质，一次函数与一元一次不等式，关键是利用数形结合的方法，把图像直观与代数精确计算综合运用；由一次函数图像及其性质可知、、、的符号情况，从而可判断①②的是否正确，由两函数图像的交点情况可判断③是否正确，根据时，的函数值小于，即可判断④． 【详解】解：由一次函数图像可知：，，由一次函数图像可知：， 所以①错误， ∴，故②正确， 观察图像交点情况，交点的横坐标为1，自变量时，图像位于图像上方，即时，，故③正确， 观察图像可得，时，的函数值小于，即时，，故④正确； 故答案为：②③④． 15. 如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键；证明，过点E作于点G，再利用等腰直角三角形的性质与含30度角的直角三角形的性质进一步解答即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 又由折叠有，且， ∴， 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵在菱形中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共有9个小题，共75分）解答应写出演算步骤或文字说明，并将答案写在对应的答题区域内． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的混合运算法则结合完全平方公式和平方差公式计算即可； （2）先化最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G． （1）若∠EFG＝32°，求∠FEG的度数； （2）求证：AF＝DE． 【答案】（1）∠FEG=58°； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到∠EGF=90°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠FEG的度数； （2）根据平行四边形的性质可得：AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线的定义求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，证明AE=DF即可． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC+∠BCD=180°， 又∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD， ∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠BCD）=×180°=90°， ∴∠EGF=90°， 又∵∠EFG=32°， ∴∠FEG=90°-32°=58°； 【小问2详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， 同理可得：DF=CD， ∴AE=DF，即AF+EF=DE+EF， ∴AF=DE． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识的运用，能综合运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键． 19. 为普及人工智能，某校组织七、八年级“人工智能知识竞赛”，满分10分，竞赛成绩均为整数，8分及以上为优秀． 【收集整理数据】测试结果显示所有学生成绩都不低于4分，从两个年级中各随机抽取20名学生的成绩． 【描述数据】根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）补全条形统计图； （3）该校七年级有800人参加测试，八年级有1000人参加测试，估计七八年级测试成绩优秀的共有多少人？ （4）从平均数、中位数、众数和方差中，任意选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】（1），； （2）见解析； （3） （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义及意义、条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出七年级得分为9分的人数，再补全条形统计图即可； （3）分别用七、八年级的学生人数乘以优秀成绩的学生占比，相加即可； （4）根据平均数、中位数、众数和方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，七年级得分为分有10人，得分8分有人， 抽取人数为20人， 中位数为第10、11名的得分平均数， ； 由扇形统计图可知，八年级得分为8分的人数最多，占， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：七年级得分为9分的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 即估计七八年级测试成绩优秀的共有人； 【小问4详解】 解：从平均数来看，七、八年级学生得分的平均数相同； 从中位数来看，七年级至少有一半学生的得分不低于分，八年级至少有一半学生的得分不低于分； 从众数来看，七年级学生得分为7分的人数最多，八年级的得分为8分的人数最多； 从方差来看，七年级的学生成绩更稳定． 20. 已知一次函数的图象不经过第二象限，且m为正整数． （1）求m的值． （2）在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． （3）当时，根据函数图象，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、画一次函数图象以及根据函数值范围求自变量范围，解题的关键是根据其不经过第三象限确定的值； （1）根据一次函数的图象不经过第二象限确定的不等式组，从而确定的值； （2）确定的值后利用两点法作图即可； （3）根据图象确定自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 ∵一次函数 的图象不经过第二象限， ∴， 得， ∵ 为正整数， ∴， 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， 当 时，，当 时，， 该函数的图象如图所示； 【小问3详解】 ∵， ∴当时， 21. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键； （1）证明，结合平行四边形的性质证明，可得，从而可得结论； （2）证明，四边形是矩形，从而可得答案． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 22. 盆栽是一种美学文化，展现了人与自然和谐共生，盆栽的美不仅在于其形态和色彩，更在于其背后所蕴含的丰富的文化意义．某花卉店计划购进一批盆栽尝试进行销售，据了解1盆甲盆栽、3盆乙盆栽的进价共计元；3盆甲盆栽、1盆乙盆栽的进价共计元． （1）求甲、乙两种盆栽每盆进价分别为多少元？ （2）若该店计划用元购进以上两种盆栽（两种盆栽均购买）试销，请你计算一下有几种购买方案？ （3）若该花卉店销售1盆甲盆栽可获利8元，销售1盆乙盆栽可获利3元，在（2）的购买方案中，假如这些盆栽全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲盆栽每盆进价为元，乙盆栽每盆进价为元． （2）共有三种购买方案，分别为购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆； （3）购买甲盆栽盆，乙盆栽盆时，获利最大，为元. 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一次函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设甲、乙两种盆栽每盆进价分别为元，由题意得：，据此即可求解； （2）设甲、乙两种盆栽分别购进盆，由题意得：，即：；根据均为正整数，即可求解； （3）设利润为，则，可推出随着的增大而增大，据此即可求解； 【小问1详解】 解：设甲、乙两种盆栽每盆进价分别为元，由题意得： ，解得：， ∴甲盆栽每盆进价为元，乙盆栽每盆进价为元． 【小问2详解】 解：设甲、乙两种盆栽分别购进盆，由题意得： ， 即： ∵均正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴共有三种购买方案，分别为购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆； 【小问3详解】 解：设利润为， 则， ∴随着的增大而增大， 故当时，元； 即：购买甲盆栽盆，乙盆栽盆时，获利最大，为元. 23. 在正方形中，点为边上一动点，点关于的对称点为，连接． （1）如图1，连接，当时，求证： ： （2）如图2，延长，交于点，连接． ①求的度数： ②用等式表示与之向数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）①过点作于点，设，则，得出，则是等腰直角三角形，则进而根据对称性可得，，得出，根据邻补角的定义，即可求解； ②过点作交于点，得出是等腰直角三角形，证明，得出，勾股定理可得，连接，进而证明四边形是正方形，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图所示，设交于点，连接， ∵点关于的对称点为， ∴，，， 又∵，则 ∴ ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ 【小问2详解】 ①如图所示，过点作于点， 依题意，点关于的对称点为， ∴， ∴ 设，则， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形，则 又∵关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， 点与点关于直线对称，， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， 在中，， 又， ∴ 连接，则， ∴四边形是菱形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴即． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质与判定；熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点P的坐标； ②连接，如图，若是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）①或；②或或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，等腰三角形的定义以及性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可； （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； （3）先由两点间距离公式求出，然后分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：对于， 由得：， ∴， 由得：，解得， ∴， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴， 设直线的函数解析式为，则， 解得． ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：①设， 则、 如图1，过点B作于点D， ∴，， ∴， 解得， 或 ∴或； ②∵， ∴， 当时，则或； 当时，如图： 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴此时点M与点C重合， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，点M的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $