第01讲 集合 讲义-2027届高三数学一轮复习（中等难题突破）

该高中数学讲义全面覆盖集合的概念、关系、运算及新定义问题等高考核心考点，按“定义-关系-运算-应用”逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题精讲及变式训练，帮助学生系统突破元素互异性、子集计算、集合运算等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义注重数学思维与直观表达，如用Venn图解析集合关系培养几何直观，通过分类讨论子集个数强化推理能力，设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习。针对新定义题型设计“概念辨析-示例拆解-迁移应用”三步教学，有效提升学生解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

1．了解集合的含义，体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述具体问题． 2．理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义． 3．在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集． 4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算． 1．集合的定义与特征 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，具有确定性、互异性和无序性．集合一般用大写英文字母A，B，C，…表示，元素一般用小写英文字母a，b，c，…表示． 2．集合的表示方法 列举法、描述法、图示法（Venn图、数轴）、区间法． 3．集合的分类 按照元素的个数，集合可分为有限集和无限集，特别是当集合的元素个数为0时，这个集合就是空集，即；按照元素的属性，集合可分为数集和点集等，其中常见的数集如下：R（实数集）、Q（有理数集）、Z（整数集）、N（自然数集）、或（正整数集）、C（复数集）． 4．集合中的关系 （1）元素与集合的关系：属于(xA)和不属于(xA)． （2）集合与集合的关系 ①集合A是集合B的子集，即，()． ②集合A是集合B的真子集，即，且A≠BA⫋B(B⫌A)． ③集合A与集合B相等，即A＝B且． （3）若集合A有n个元素，则A有2n个子集，有2n﹣1个真子集，有2n﹣1个非空子集，有2n﹣2个非空真子集． （4）是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集． 5．集合的运算 运算 交集 并集 补集 符号 AB＝{且} AB＝{或} ＝{或} 图形 性质 AB＝BA A＝ AA＝A AB＝A AB＝BA A＝A AA＝A AB＝A ＝ ＝ ＝A 德摩根定律：，． 6．容斥原理 （1）card(AB)＝card(A)＋card(B)﹣card(AB)； （2）card(ABC)＝card(A)＋card(B)＋card(C)﹣card(AB)﹣card(BC)﹣card(AC)＋card(ABC)． 题型一：集合的相关概念 例1．（1）已知mR，nR，若集合{m，，1}＝{m2，m＋n，0}，则m2027＋n2027的值为 ． （2）已知集合A＝{}，若集合A中至少有3个元素，则实数k的取值范围为 ；若集合A为空集，则实数k的取值范围为 ． （3）已知集合{，xR}为单元素集合，则实数a＝ ． 变式训练1： 1．已知集合A＝{}，若集合A中至少有4个元素，则实数k的取值范围为 ；若集合A为空集，则实数k的取值范围为 ． 2．已知集合{，xR}中只有一个元素，则实数m＝ ． 题型二：集合中的关系 例2．（1）若集合A＝{}，则下列结论错误的是 A．1A B．{﹣1}A C．A D．{﹣1，1}A （2）设集合M＝{，kZ}，N＝{，kZ }，则集合M与集合N之间的关系为 ． （3）已知集合M满足{2，3}M{1，2，3，4，5}，那么集合M的个数为 ． 变式训练2： 1．满足{1，2，3}A⫋{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的集合A共有 个． 2．已知集合A＝{，kZ}，B＝{，mZ}，则集合A、B的关系是 A．A＝B B．BA C．AB D．AB＝ 例3．（1）设集合A＝{}，B＝{}，当xZ时，集合A的非空真子集的个数为 ；当BA时，实数m的取值范围是 ． （2）设A＝{}，B＝{}，若BA，则实数a的取值集合为 ． 变式训练3： 1．已知集合A＝{}，B＝{}，求满足AB的实数a的取值范围． 2．已知集合A＝{}，B＝{}，当BA时，求实数a的取值范围． 题型三：集合的运算 例4．（1）已知全集U＝{}，()B＝{1，6}，A()＝{2，3}，()()＝{4，5，7，8}，则A＝ ，B＝ ． （2）设全集U＝Z，集合M＝{，kZ}，N＝{，kZ }，则＝ A．{，kZ} B．{，kZ} C．{，kZ} D． （3）某校高一（4）班有学生46人，寒假都参加了体育训练，其中足球队25人、排球队22人、游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为 ． （4）正确写出下列图（Venn图）中阴影部分对应的集合． 变式训练4： 1．（多选）已知集合A＝{}，B＝{}，则下列结论正确的是 A．AB＝B B．()A＝R C．AB＝(1，2] D．()()＝{或} 2．设U为全集，集合A，B，C满足条件AB＝AC，则下列各式一定成立的是 A．BA B．CA C．A()＝A() D．B＝C 例5．（1）已知集合A＝{}，B＝{}，若AB＝B，求实数m的取值范围． （2）已知集合A＝{或}，B＝{}，若AB≠，求实数a的取值范围． 变式训练5： 1．设集合A＝{﹣3，a＋1，a2}，B＝{2a﹣1，a﹣3，a2＋1}，若AB＝{﹣3}，则a＝ ． 2．集合A＝{(x，y)}，B＝{(x，y)}，若AB＝，则a＝ ． 题型四：集合中的新定义问题 例6．（1）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝{﹣2，0，，1}，B＝{}，若A与B构成“全食”，则实数a的取值集合是 ；若A与B构成“偏食”，则实数a的取值集合是 ． （2）对于区间[a，b]，我们规定b﹣a是这个区间的“长度”．已知A、B都是集合{}的子集，A＝{}，B＝{}，则集合AB“长度”的取值范围是 ． 变式训练6： 1．已知集合A＝{(x，y)，x，yZ}，B＝{(x，y)，，x，yZ}，定义集合＝{(，)A，(，)B}，则中元素的个数为 A．77 B．49 C．45 D．30 2．用表示非空集合A中元素的个数：定义，若A＝{1，2}，B＝{，xR}，且，则实数a的所有可能取值集合＝ ． 1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{﹣2，0，1，2，3，5}，则 A．{0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{﹣2，0，2，3，5} D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3，5} 2．设M，N为全集的两个非空子集，若，则 A． B． C． D． 3．已知集合，，C＝{，n Z}，则集合的关系是 A． B． C． D． 4．已知集合，，，若实数的取值集合为，则集合的子集个数为 A．16 B．8 C．4 D．2 5．设集合，或，若，则实数的取值范围为 A．[，) B．(，) C．(，] D．(，) 6．高一二班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习．已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有14人，物理、化学只选一科的学生都至少5人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多 A．18 B．19 C．20 D．21 7．（多选）已知集合，集合，若AB有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为 A．0 B．1 C．2 D．3 8．（多选）已知集合，，则下列结论正确的是 A．， B．当时， C．当时， D．，使得 9．已知全集，，，，则 ． 10．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 ． 11．定义集合的“长度”是，其中a，R．已知集合M＝{m≤x≤m＋}，，且M，N都是集合的子集，则集合MN的“长度”的最小值是 ；若，集合MN的“长度”大于，则n的取值范围是 ． 12．已知集合，，甲､乙两名同学在进行AB的运算时，甲看错了m，解得AB＝{(2，3)}；乙看错了n，解得AB＝{(3，2)}． （1）求实数m，n的值； （2）求集合AB． 13．已知集合，全集． （1）求； （2）若，且，求实数的取值范围． 14．已知函数的定义域为集合A，又集合B＝{x2﹣3mx＋2m2﹣m﹣1＜0}，U＝R，且，． （1）试确定a，b的值； （2）求参数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．了解集合的含义，体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述具体问题． 2．理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义． 3．在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集． 4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算． 1．集合的定义与特征 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，具有确定性、互异性和无序性．集合一般用大写英文字母A，B，C，…表示，元素一般用小写英文字母a，b，c，…表示． 2．集合的表示方法 列举法、描述法、图示法（Venn图、数轴）、区间法． 3．集合的分类 按照元素的个数，集合可分为有限集和无限集，特别是当集合的元素个数为0时，这个集合就是空集，即；按照元素的属性，集合可分为数集和点集等，其中常见的数集如下：R（实数集）、Q（有理数集）、Z（整数集）、N（自然数集）、或（正整数集）、C（复数集）． 4．集合中的关系 （1）元素与集合的关系：属于(xA)和不属于(xA)． （2）集合与集合的关系 ①集合A是集合B的子集，即，()． ②集合A是集合B的真子集，即，且A≠BA⫋B(B⫌A)． ③集合A与集合B相等，即A＝B且． （3）若集合A有n个元素，则A有2n个子集，有2n﹣1个真子集，有2n﹣1个非空子集，有2n﹣2个非空真子集． （4）是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集． 5．集合的运算 运算 交集 并集 补集 符号 AB＝{且} AB＝{或} ＝{或} 图形 性质 AB＝BA A＝ AA＝A AB＝A AB＝BA A＝A AA＝A AB＝A ＝ ＝ ＝A 德摩根定律：，． 6．容斥原理 （1）card(AB)＝card(A)＋card(B)﹣card(AB)； （2）card(ABC)＝card(A)＋card(B)＋card(C)﹣card(AB)﹣card(BC)﹣card(AC)＋card(ABC)． 题型一：集合的相关概念 例1．（1）已知mR，nR，若集合{m，，1}＝{m2，m＋n，0}，则m2027＋n2027的值为 ． （2）已知集合A＝{}，若集合A中至少有3个元素，则实数k的取值范围为 ；若集合A为空集，则实数k的取值范围为 ． （3）已知集合{，xR}为单元素集合，则实数a＝ ． 【解析】（1）因为m≠0，所以＝0，即n＝0，此时原题变为{m，0，1}＝{m，0，m2}，m2＝1，解得m＝±1，当m＝1时，违背集合互异性，所以m＝﹣1，所以m2027＋n2027＝﹣1＋0＝﹣1． （2）若集合A中至少有3个元素，则这三个元素一定是2，3，4，故2k＋1＞4，解得；若集合A为空集，则2k＋1≤2，解得． （3）因为原集合是单元素集合，所以方程有且只有一个实数根，故a﹣2＝0或a﹣2≠0，9＋4(a﹣2)＝0，所以a＝2或． 变式训练1： 1．已知集合A＝{}，若集合A中至少有4个元素，则实数k的取值范围为 ；若集合A为空集，则实数k的取值范围为 ． 【解析】若集合A中至少有4个元素，则这四个元素一定是2，3，4，5，故2k﹣3≥5，解得；若集合A为空集，则2k﹣3＜2，解得． 2．已知集合{，xR}中只有一个元素，则实数m＝ ． 【解析】因为原集合中只有一个元素，所以方程有且只有一个实数根，故m﹣1＝0或m﹣1≠0，16﹣8(m﹣1)＝0，所以m＝1或3． 题型二：集合中的关系 例2．（1）若集合A＝{}，则下列结论错误的是 A．1A B．{﹣1}A C．A D．{﹣1，1}A （2）设集合M＝{，kZ}，N＝{，kZ }，则集合M与集合N之间的关系为 ． （3）已知集合M满足{2，3}M{1，2，3，4，5}，那么集合M的个数为 ． 【解析】（1）元素与集合的关系用或，集合与集合的关系用，或，D是集合与集合的关系，不可以用，故D错误，选D． （2）M＝{，kZ}＝{，kZ}，N＝{，kZ }＝{，kZ }，根据奇数是整数的一部分，可得集合M是集合N的子集，即MN(M⫋N)． （3）由题意，知集合M一定有元素2，3，至少两个元素，最多五个元素，当集合M恰有2个元素时，集合M的个数为1；当集合M恰有3个元素时，集合M的个数为3；当集合M恰有4个元素时，集合M的个数为3；当集合M恰有5个元素时，集合M的个数为1；故共有1＋3＋3＋1＝8个． 变式训练2： 1．满足{1，2，3}A⫋{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的集合A共有 个． 【解析】由题意，知集合A一定有元素1，2，3，至少三个元素，最多八个元素，当集合A恰有3个元素时，集合A的个数为1；当集合A恰有4个元素时，集合A的个数为6；当集合A恰有5个元素时，集合A的个数为15；当集合A恰有6个元素时，集合A的个数为20；当集合A恰有7个元素时，集合A的个数为15；当集合A恰有8个元素时，集合A的个数为6；故共有1＋6＋15＋20＋15＋6＝63个． 2．已知集合A＝{，kZ}，B＝{，mZ}，则集合A、B的关系是 A．A＝B B．BA C．AB D．AB＝ 【解析】A＝{，kZ}＝{，kZ}，B＝{，kZ }＝{，kZ }＝{，kZ }，根据偶数是整数的一部分，可得集合A是集合B的子集，即AB，选C． 例3．（1）设集合A＝{}，B＝{}，当xZ时，集合A的非空真子集的个数为 ；当BA时，实数m的取值范围是 ． （2）设A＝{}，B＝{}，若BA，则实数a的取值集合为 ． 【解析】（1）A＝{}＝{}，当xZ时，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，含有8个元素，则集合A的非空真子集的个数为28﹣2个，即254个； 当BA时，①B＝，m﹣1≥2m＋1，则m≤﹣2；②B≠，即m＞﹣2，则m﹣1≥﹣2，2m＋1≤5，所以﹣1≤m≤2，综上所述，m≤﹣2或﹣1≤m≤2． （2）A＝{}＝{3，5}，要使BA，则①B＝，此时a＝0；②B≠，则B＝{}，则＝3或5，解得a＝或．所以a的取值集合为{0，，}． 变式训练3： 1．已知集合A＝{}，B＝{}，求满足AB的实数a的取值范围． 【解析】解：①当a＝0时，A＝{}＝； ②当a＞0时，A＝{}＝{}，因为AB，所以，解得a≥2； ③当a＜0时，A＝{}＝{}，因为AB，所以，解得a≤﹣2． 综上所述，a的取值范围为(，﹣2][2，){0}． 2．已知集合A＝{}，B＝{}，当BA时，求实数a的取值范围． 【解析】解：A＝{}＝{﹣2，4}， ①当B＝时，，即a＞4或a＜﹣4，符合题意； ②当B≠时，B可能是单元素集，也有可能恰有两个元素，(i)当B是单元素集时，a＝±4，当a＝4时，B＝{﹣2}，符合题意，当a＝﹣4时，B＝{2}，不符合题意，(ii)当B恰有两个元素时，要使BA，则B＝{﹣2，4}，则﹣2，4是方程的两根，则﹣2＋4＝﹣a，﹣2×4＝a2﹣12，解得a＝﹣2． 综上所述，a≥4或a＜﹣4或a＝﹣2． 题型三：集合的运算 例4．（1）已知全集U＝{}，()B＝{1，6}，A()＝{2，3}，()()＝{4，5，7，8}，则A＝ ，B＝ ． （2）设全集U＝Z，集合M＝{，kZ}，N＝{，kZ }，则＝ A．{，kZ} B．{，kZ} C．{，kZ} D． （3）某校高一（4）班有学生46人，寒假都参加了体育训练，其中足球队25人、排球队22人、游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为 ． （4）正确写出下列图（Venn图）中阴影部分对应的集合． 【解析】（1）根据题意作出Venn图如下， 则由图可知，A＝{2，3，9}，B＝{1，6，9}． （2）因为整数集Z＝{，kZ}{，kZ}{，kZ }，所以＝{，kZ}，选A． （3）设足球队为集合A、排球队为集合B、游泳队为集合C，则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24，card(AB)＝12，card(BC)＝8，card(AC)＝9，又card(ABC)＝46，代入公式card(ABC)＝card(A)＋card(B)＋card(C)﹣card(AB)﹣card(BC)﹣card(AC)＋card(ABC)，求得card(ABC)＝4．则三项都参加的人数为4． （4）①AB；②AB；③()B；④A()；⑤()()或；⑥(BC)()；⑦(AB)()． 变式训练4： 1．（多选）已知集合A＝{}，B＝{}，则下列结论正确的是 A．AB＝B B．()A＝R C．AB＝(1，2] D．()()＝{或} 【解析】集合A＝{}＝[1，2]，显然A不是B的子集，A错；＝{或}，()A取不到(2，3]的数，故B错误；AB＝(1，2]，C正确；()()＝(AB)＝{或}，D正确．故选CD． 2．设U为全集，集合A，B，C满足条件AB＝AC，则下列各式一定成立的是 A．BA B．CA C．A()＝A() D．B＝C 【解析】如图，图1表示AB，图2表示AC，由于AB＝AC，A＝A，因此图1和图2的阴影部分所表示的集合是相等的，故B＝C，即D正确． 例5．（1）已知集合A＝{}，B＝{}，若AB＝B，求实数m的取值范围． （2）已知集合A＝{或}，B＝{}，若AB≠，求实数a的取值范围． 【解析】解：（1）因为AB＝B，所以BA， ①当B＝时，则，解得m＜2； ②当B≠时，即m≥2，则，解得﹣3≤m≤3，因为m≥2，所以2≤m≤3． 综上所述，m≤3． （2）我们不妨先考虑AB＝，则，解得，故或≤a≤2，所以当AB≠时，a＞2或． 变式训练5： 1．设集合A＝{﹣3，a＋1，a2}，B＝{2a﹣1，a﹣3，a2＋1}，若AB＝{﹣3}，则a＝ ． 【解析】因为AB＝{﹣3}，所以﹣3B，又因为a2＋1≥1，所以2a﹣1＝﹣3或a﹣3＝﹣3，则a＝﹣1或0，当a＝﹣1时，A＝{﹣3，0，1}，B＝{﹣3，﹣4，2}，AB＝{﹣3}符合题意；当a＝0时，A＝{﹣3，1，0}，B＝{﹣1，﹣3，1}，AB＝{﹣3，1}不符合题意，舍．故a＝﹣1． 2．集合A＝{(x，y)}，B＝{(x，y)}，若AB＝，则a＝ ． 【解析】①当B＝，a＝0，符合题意；②当B≠时，要使AB＝，则直线与直线平行，则，解得a＝2，综上，a＝0或2． 题型四：集合中的新定义问题 例6．（1）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝{﹣2，0，，1}，B＝{}，若A与B构成“全食”，则实数a的取值集合是 ；若A与B构成“偏食”，则实数a的取值集合是 ． （2）对于区间[a，b]，我们规定b﹣a是这个区间的“长度”．已知A、B都是集合{}的子集，A＝{}，B＝{}，则集合AB“长度”的取值范围是 ． 【解析】（1）当A与B构成“全食”，则BA，①当a＝0，则B＝{0}，符合题意；②当a≠0时，B＝{﹣a，}，因为﹣a·＝﹣1，则﹣a，就是﹣2和，所以a＝2或．所以A与B构成“全食”，则实数a的取值集合是{0，2，}； 当A与B构成“偏食”，则﹣a＝1或＝1，解得a＝﹣1或1，所以A与B构成“偏食”，则实数a的取值集合是{﹣1，1}． （2）集合{}＝[﹣1，1]，区间长度为2，A＝{}＝[a，a＋1]，区间A的长度为1，B＝{}＝[，b]，区间B的长度为，所以集合AB“长度”最大不超过区间A的长度1，最小不小于1＋﹣2＝，故集合AB“长度”的取值范围是[，1]． 变式训练6： 1．已知集合A＝{(x，y)，x，yZ}，B＝{(x，y)，，x，yZ}，定义集合＝{(，)A，(，)B}，则中元素的个数为 A．77 B．49 C．45 D．30 【解析】因为集合A＝{(x，y)，x，yZ}，所以集合A中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合B＝{(x，y)，，x，yZ}中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD中的整点，集合＝{(，)A，(，)B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4＝45个．选C． 2．用表示非空集合A中元素的个数：定义，若A＝{1，2}，B＝{，xR}，且，则实数a的所有可能取值集合＝ ． 【解析】由已知，而，则或3，显然的一个解是，若，则，满足题意；若，则，方程已有两个根和，有两个相等的实根且不为0和，，，时，的解为．时，的解为．均满足题意．综上． 1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{﹣2，0，1，2，3，5}，则 A．{0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{﹣2，0，2，3，5} D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3，5} 【解析】由题可知，，， 因此，故D正确． 2．设M，N为全集的两个非空子集，若，则 A． B． C． D． 【解析】由，且 M，N为全集的两个非空子集，可得韦恩图，如图： 则．故B正确． 3．已知集合，，C＝{，n Z}，则集合的关系是 A． B． C． D． 【解析】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合，， 可得，综上可得 故C正确． 4．已知集合，，，若实数的取值集合为，则集合的子集个数为 A．16 B．8 C．4 D．2 【解析】因为，即，且， 当时，方程无解，即，满足，符合题意； 当时，方程，解得，即， 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值集合为，可得集合的子集个数为个. 故B正确． 5．设集合，或，若，则实数的取值范围为 A．[，) B．(，) C．(，] D．(，) 【解析】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：，所以实数的取值范围为. 故选：A． 6．高一二班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习．已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有14人，物理、化学只选一科的学生都至少5人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多 A．18 B．19 C．20 D．21 【解析】把学生50人看作一个集合U，选择物理科的人数组成为集合A， 选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合， 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多， 除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人， 则其他科选择人数均为最少， 因为物理、化学只选一科的学生都至少5人， 即得到单选物理的最少5人，单选化学的最少5人， 因为在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有14人， 单选化学、生物的最少4人，单选物理、生物的最少4人， 因为选择物理、化学、生物的学生各有至少20人， 所以单选生物的最少2人， 以上人数最少30人，可作出如下图所示的韦恩图， 所以单选物理、化学的人数至多10人， 所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人．故选：C． 7．（多选）已知集合，集合，若AB有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为 A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】由，解得，故， 由，可得，， 要使AB有且仅有3个不同元素，则，解得，故选：AB． 8．（多选）已知集合，，则下列结论正确的是 A．， B．当时， C．当时， D．，使得 【解析】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线，可知表示直线上所有的点，所以，故A正确； 对于选项B：当时，则，，联立方程，解得，所以，B正确； 对于选项C：当时，则有：若，则；若，可知直线与直线平行，且，可得，解得；综上所述：或，故C错误； 对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误．故选：AB． 9．已知全集，，，，则 ． 【解析】已知全集，即，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以． 10．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 ． 【解析】因为A为非空集合，则，解得；， 若，则，则或，解得或，又，综上所述，实数a的取值范围为． 11．定义集合的“长度”是，其中a，R．已知集合M＝{m≤x≤m＋}，，且M，N都是集合的子集，则集合MN的“长度”的最小值是 ；若，集合MN的“长度”大于，则n的取值范围是 ． 【解析】集合，，且M，N都是集合的子集，由，可得，由，可得．要使MN的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立． 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合MN的“长度”的最小值是； 若，，要使集合MN的“长度”大于，故或 即或 又，故． 故答案为：；． 12．已知集合，，甲､乙两名同学在进行AB的运算时，甲看错了m，解得AB＝{(2，3)}；乙看错了n，解得AB＝{(3，2)}． （1）求实数m，n的值； （2）求集合AB． 【解析】解：（1）代入得，解得， 代入得，解得． 所以，． （2）由（1）知：，解得，所以． 13．已知集合，全集． （1）求； （2）若，且，求实数的取值范围． 【解析】解：（1）或，或． （2）当时，，则，解得； 当时，，则或，解得． 综上所述，． 14．已知函数的定义域为集合A，又集合B＝{x2﹣3mx＋2m2﹣m﹣1＜0}，U＝R，且，． （1）试确定a，b的值； （2）求参数的取值范围． 【解析】解：（1）由已知得集合，集合， 因为，， 所以，或， 且，则，故． （2）由题可知． ①当时，； ②当时，， 所以，因为， 所以矛盾，不合题意； ③当时，，因此要， 只需，满足题意． 综上所述，可知的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $