第三十一讲 等差数列 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦等差数列高考核心考点，按定义、公式、性质的逻辑层次梳理知识体系，整合基本运算、性质应用等重点难点，通过考点梳理、方法总结、真题分类训练的教学环节，帮助学生构建系统知识网络，突破性质灵活应用瓶颈。 讲义创新采用“题型-方法-素养”三维设计，如通过对比等比数列判定条件培养推理意识，结合“隙积术”历史情境发展数学眼光，设置从基础运算到综合应用的分层练习。精选近10年高考真题及模拟题，确保复习针对性，助力学生提升解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2027届高三数学一轮复习 第三十一讲 等差数列 【学习目标】1.熟记等差数列的定义、通项公式、前项和公式、性质； 2.会进行等差数列的基本运算. 【学习重点】等差数列的基本运算 【学习难点】等差数列性质的灵活应用 必掌握知识点 1．等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 2．等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 3．等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值； 若，则满足的项数使得取得最小值． 4．等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 5．等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地：若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 6．其他衍生等差数列． 若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 解题方法总结： （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 必考题型全归纳 题型一. 等差数列基本量运算 1．（2011届江西省莲塘一中高三习题精编单元练习15数学文卷）设是等差数列前n项和,若，,则数列的通项为( ) A． B． C． D． 2．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷带解析））设等差数列的前n项和为，若，则(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 3．（江苏省苏州市工业园区苏州大学附属中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）等差数列前n项的和为，已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型二. 等差数列常用性质 4．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷带解析））下面是关于公差的等差数列的四个命题 其中的真命题为 A． B． C． D． 5．（新疆乌鲁木齐地区2024届高三下学期第三次质量监测数学试题）数列是等差数列，是数列的前项和，是正整数，甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 题型三. 等差数列判定与充要条件 7．（山东省新高考联合质量测评2024届高三上学期12月联考数学试题）记非常数数列的前n项和为，设甲：是等比数列；乙：（，1，且），则（    ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 8．（湖北省宜荆荆随恩2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题）数列的前项和为，已知，则（    ） A．对于，数列均为递减数列 B．，使为等差数列 C．对于，都有 D．若，则，都有 9．（湖北省云学新高考联盟2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题）下列命题正确的是（    ） A．已知数列是等差数列，那么数列一定是等差数列. B．已知等差数列的前项和为，若，则的值为24. C．已知等差数列与的前项和分别为与，若，则. D．已知等差数列的前项和为，，公差，若，则必有是中最大的项. 10．（上海市张堰中学2018-2019学年高一下学期5月月考数学试题）已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)由通项公式得出的数列如果也是等差数列，求非零常数； (3)求的最大值． 题型四. 等差衍生数列判定 11．（四川内江市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题）下列说法中，正确的有（ ） A．已知数列是等差数列，那么数列一定是等差数列 B．已知等差数列的前项和为，若，则 C．已知等差数列与的前项和分别为与，若，则 D．设为等差数列的前项和，，若，则的最小值是 题型五. 等差数列综合基础计算 12．（2012届上海市十三校高三上学期第一次联考试题文科数学）设等比数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个1，构成如下的新数列：，求这个数列的前项的和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列（如：在与之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为；在与之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为，…以此类推），设第个等差数列的和是. 是否存在一个关于的多项式，使得对任意恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由. 13．（湖北省武汉市华中师大第一附中2023-2024学年度高二下学期四月月考数学试题）已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且为和的等比中项. (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)若数列满足，且，求数列的前n项和. 14．（【市级联考】内蒙古鄂尔多斯市2019届高三上学期期中考试数学（文）试卷）已知各项都不相等的等差数列，又构成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和为. 题型六. 二阶等差数列（隙积术） 15．（河北省保定市2024-2025学年高二上学期1月期末调研考试数学试题（B卷））北宋数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，，，…，的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式.现已知数列为二阶等差数列，其通项，其前项和为，数列满足，. (1)求数列的前10项和； (2)求； (3)数列和数列的公共项组成一个新的数列，设数列的前项和为，证明. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第三十一讲 等差数列 【学习目标】1.熟记等差数列的定义、通项公式、前项和公式、性质； 2.会进行等差数列的基本运算. 【学习重点】等差数列的基本运算 【学习难点】等差数列性质的灵活应用 必掌握知识点 1．等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 2．等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 3．等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值； 若，则满足的项数使得取得最小值． 4．等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 5．等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地：若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 6．其他衍生等差数列． 若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 解题方法总结： （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 必考题型全归纳 题型一. 等差数列基本量运算 1．（2011届江西省莲塘一中高三习题精编单元练习15数学文卷）设是等差数列前n项和,若，,则数列的通项为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】（1）根据等差数列的，,列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式. 【详解】, 故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解. 2．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷带解析））设等差数列的前n项和为，若，则(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由又，可得公差，从而可得结果. 【详解】是等差数列 ，又， ∴公差，，故选C． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 3．（江苏省苏州市工业园区苏州大学附属中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）等差数列前n项的和为，已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据等差数列性质可得，，结合题意运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又因为，即，解得或， 若，则，不合题意； 若，则，解得；综上所述：.故选：D. 题型二. 等差数列常用性质 4．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷带解析））下面是关于公差的等差数列的四个命题 其中的真命题为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)．递增，p1真． an＋3nd＝4dn＋(a1－d)递增，p4为真命题． 若{an}的首项a1＝－3，d＝1，则an＝n－4， 此时nan＝n2－4n不单调，则p2为假命题． 若等差数列{an}满足an＝n，则＝1为常数，p3错．因此p1，p4正确；p2，p3错误． 5．（新疆乌鲁木齐地区2024届高三下学期第三次质量监测数学试题）数列是等差数列，是数列的前项和，是正整数，甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质、充分条件、必要条件求解． 【详解】数列是等差数列，是数列的前项和，，，，是正整数， 甲：，乙：， 则甲不能推出乙， 例如等差数列1，2，3，4，5，，中， ，，，，， ，但，即充分性不成立； 乙不能推出甲， 例如：等差数列1，2，3，4，5，，中， ，，，，， ，但，即必要性不成立， 甲是乙的不充分不必要条件．故选：D． 6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件.故选：C 题型三. 等差数列判定与充要条件 7．（山东省新高考联合质量测评2024届高三上学期12月联考数学试题）记非常数数列的前n项和为，设甲：是等比数列；乙：（，1，且），则（    ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当甲成立时利用等比数列求和公式可得乙成立，当乙成立时利用数列前n项和与通项之间关系可知甲成立，从而可得结果. 【详解】若，则（）， ∴，，． ∵，1， ∴，∴数列是以为公比的等比数列． 若数列为等比数列，且，则． 又，∴，∴， 此时，1，，所以甲是乙的充要条件． 故选：A． 8．（湖北省宜荆荆随恩2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题）数列的前项和为，已知，则（    ） A．对于，数列均为递减数列 B．，使为等差数列 C．对于，都有 D．若，则，都有 【答案】ACD 【分析】利用数列和与项的关系求出数列的通项公式，对选项A选项B选项C进行判断，结合函数的知识对选项D进行判断. 【详解】数列的前项和，则 因为，当时，，故A正确； 又因为所以不为等差数列，故B错误； 因为，所以，又因为数列均为递减数列，所以都有，故C正确； 因为，所以，因为，有函数性质可知：的最大值为或，所以，故D正确.故选：ACD. 9．（湖北省云学新高考联盟2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题）下列命题正确的是（    ） A．已知数列是等差数列，那么数列一定是等差数列. B．已知等差数列的前项和为，若，则的值为24. C．已知等差数列与的前项和分别为与，若，则. D．已知等差数列的前项和为，，公差，若，则必有是中最大的项. 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义判断A，根据等差数列前项和公式计算出、，即可判断B，根据下标和性质及等差数列求和公式的应用判断C，依题意可得，即可得到、，从而判断D. 【详解】解：对于A：因为数列是等差数列，设公差为， 则，故数列也是等差数列，故A正确； 对于B：设数列的公差为，首项为， 因为、，所以， 解得，，所以，故B正确； 对于C：已知等差数列与的前项和分别为与， 若，则，故C错误； 对于D：因为，所以，即，又公差，， 所以，故、， 所以是中最大的项，故D正确；故选：ABD 10．（上海市张堰中学2018-2019学年高一下学期5月月考数学试题）已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)由通项公式得出的数列如果也是等差数列，求非零常数； (3)求的最大值． 【答案】（1）（2）；（3） 【分析】（1）利用等差数列的性质可得，联立方程可得，，代入等差数列的通项公式可求 （2）代入等差数列的前和公式可求，进一步可得，然后结合等差数列的定义可得，从而可求 （3），利用基本不等式，即可求的最大值． 【详解】解：（1）为等差数列，， 又 ，是方程的两个根， ，， （2）由（1）知，， ，，， 是等差数列，，，舍去）， 当时，为等差数列，满足要求． （3） 当且仅当即时取等号．的最大值为． 【点睛】本题考查等差数列的通项与求和，考查运用基本不等式，求函数的最值，确定数列的通项是关键． 题型四. 等差衍生数列判定 11．（四川内江市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题）下列说法中，正确的有（ ） A．已知数列是等差数列，那么数列一定是等差数列 B．已知等差数列的前项和为，若，则 C．已知等差数列与的前项和分别为与，若，则 D．设为等差数列的前项和，，若，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义、前项和的性质、中项与前项和的关系，以及由不等式推导数列单调性，逐一验证选项的正确性. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，则，为常数， 故是等差数列，A正确. 对于B，在等差数列中，设公差为，则， 解得B正确. 对于C，在等差数列与中，若， 则，C错误. 对于D，由，得， 整理得，所以等差数列是递增数列. 又，所以，即数列的前7项为负值，即的最小值是，D正确. 题型五. 等差数列综合基础计算 12．（2012届上海市十三校高三上学期第一次联考试题文科数学）设等比数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个1，构成如下的新数列：，求这个数列的前项的和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列（如：在与之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为；在与之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为，…以此类推），设第个等差数列的和是. 是否存在一个关于的多项式，使得对任意恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）该数列的前项的和为 ；（3）存在满足条件. 【分析】（1）)设，由，建立方程组，求出和，能够求出； （2）利用题设条件知：到为止新的数列共有项，令 ，知：到为止，新的数列共有1953项，由此能求出该数列的前2012项的和； （3）依题意，，，要使，则，由此能够推导出存在满足条件． 【详解】（1）设，由知，， 解得， ∴ ； （2）依题意，到为止新的数列共有项， 令，得， 即到为止新的数列共有项， 故该数列的前项的和为. （或）. （3）依题意，，， 要使，则， ∴，即存在满足条件. 【点睛】第（1）题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意合理地进行等价转化；第（2）题考查数列的前项和的计算和等比数列的综合运用，解题时要注意等比数列和等差数列前项和公式的合理运用；第（3）题考查多项式是否存在的探索，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答． 13．（湖北省武汉市华中师大第一附中2023-2024学年度高二下学期四月月考数学试题）已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且为和的等比中项. (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)若数列满足，且，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式及等比中项的概念，可建立首项和公差的方程组，解出首项和公差，写出通项公式及前n项和； （2）因为，故可采取累加法，求得，从而，采用裂项相消的办法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为()，则， 解得，∴．； （2）由，∴, ．当时，也符合上式，∴． ∴ ． 14．（【市级联考】内蒙古鄂尔多斯市2019届高三上学期期中考试数学（文）试卷）已知各项都不相等的等差数列，又构成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和为. 【答案】(1) ；(2) . 【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数 列{an}的通项公式．（2）由 =2n+2n，利用分组求和法能求出数列{bn}的前n 项和． 【详解】（1）∵各项都不相等的等差数列{an}，a6=6，又a1，a2，a4成等比数列． ∴，解得a1=1，d=1，∴数列{an}的通项公式an=1+（n﹣1）×1=n． （2）∵ =2n+2n，∴数列{bn}的前n项和： Sn=（2+22+23+…+2n）+2（1+2+3+…+n）=+2×=2n+1﹣2+n2+n．. 【点睛】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用． 题型六. 二阶等差数列（隙积术） 15．（河北省保定市2024-2025学年高二上学期1月期末调研考试数学试题（B卷））北宋数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，，，…，的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式.现已知数列为二阶等差数列，其通项，其前项和为，数列满足，. (1)求数列的前10项和； (2)求； (3)数列和数列的公共项组成一个新的数列，设数列的前项和为，证明. 【分析】（1）首先求数列的前10项的和，再求数列的前10项和； （2）根据，对应系数，再代入求和公式； （3）首先求数列的通项公式，以及数列的通项公式，再根据公共项求数列的通项公式，由数列的形式，利用不等式放缩和裂项相消法求和，即可证明； 【详解】（1）在数列，，，…，中，，，，， 故， 即数列的前10项和为，常数列1的前10项和为10， 故数列前10项和为. （2）数列的通项公式为， 在数列中，，，，， 故. （3）数列满足，则，，， 数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，由（2）可知，， 设数列中的第项等于数列中的第项，即，则是数列中的项. 不是数列中的项，不是数列中的项，是数列中的项，数列是以为首项，为公比的等比数列. ， 故 【点睛】关键点点睛：对本题的前2问，需理解二阶等差数列的求和公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $