第六章 课时2 等差数列的通项与求和公式讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦等差数列的通项与求和公式，覆盖概念、公式、性质及实际应用等核心考点，按“课标要求-知识梳理-基础回顾-考点扫描”逻辑架构知识体系，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题规律，真题训练强化应用能力，助力学生系统突破难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新设计“考点例题-规律方法-对点训练”三阶教学环节，如等差数列判定证明中通过构造数列转化问题培养推理能力，设置基础巩固与高考真题分层练习，确保高效复习，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

课时2 等差数列的通项与求和公式 一、课标要求 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系． 二、知识梳理 1．等差数列的有关概念 (1)定义： ①文字语言：从 起，每一项与它的前一项的 都等于 常数． ②符号语言： (n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中 叫作a，b的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ ． (2)前n项和公式：Sn＝ = ． 3．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和． (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq． (2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是 数列；当d＜0时，{an}是 数列；当d＝0时，{an}是 ． 【拓展知识】 1．若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 2．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． 3．S2n－1＝(2n－1)an． 4．若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 5．等差数列的前n项和公式与函数的关系：Sn＝n2＋n．则数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 6．等差数列的前n项和的最值：在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最 值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最 值． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) （1）若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则该数列是等差数列. ( ) （2）已知数列{an}的通项公式是an＝pn+q(p,q为实数)，则数列{an}一定是等差数列． ( ) （3）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． ( ) （4）等差数列{an}前n项和公式是常数项为0的二次函数． ( ) 2．已知数列{an}是等差数列.若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15=(　　) A．10 B．14 C．21 D．24 3、(多选题) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的有(　　) A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5 C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2 　 4、（2025秋·上海高考）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为　 　 ． 四、考点扫描 考点一 用等差数列的基本量运算 例1 （1）在等差数列{an} 中，已知a4＋a8＝20，a7＝12，则a10＝(　 　) A．18 B．16 C．20 D．17 (2)（2025·新高考Ⅱ卷）记为等差数列的前n项和，若则（ ） A. B. C. D. 规律方法： 对点训练 (1)（2025·北京高考）已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（    ） A． B． C．16 D．18 (2)（2025·天津滨海区模拟）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，且，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 考点二 等差数列的判定与证明 例2 （2025·新高考Ⅰ卷）设数列满足，． （1）证明：为等差数列； （2）设，求． 规律方法： 对点训练 (1)数列的前项和满足．证明：是等差数列. (2)已知数列满足.证明：数列是等差数列； 考点三 等差数列的性质及最值 例3 （1）(2025·河南郑州市模拟)已知等差数列的前项的和为，且，，则正整数的值为 . （2）已知等差数列的前项和为，且，，则 . （3） (多选题) 若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6，S6＝S7，S7>S8，则下列说法正确的有(　　) A．公差d<0 B．S12>0 C．S9>S5 D．使得Sn<0成立的最小正整数n=14 规律方法： 对点训练 （1）(2025·河南洛阳市模拟)已知等差数列的前项和为，且，则 . （2）（2025·北京海淀区模拟）已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝120，则a37＋b37＝(　 　) A．760 B．820 C．780 D．860 （3）（2025·贵州铜仁市期末）设为等差数列的前n项和，且，都有.若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 课时2 等差数列的通项与求和公式参考答案 二、知识梳理 1．(1)①第2项 差 同一个 ② an＋1－an＝d (2)A 2．(1)a1＋(n－1)d (2) na1＋d 3．(2)递增 递减 常数列 【拓展知识】 6．大 小 三、基础回顾 1．（1）× （2）√ （3）√ （4）× 2．B 【解析】 因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.故选B. 3、ABC【解析】　S4＝＝0，所以a1＋a4＝a2＋a3＝0，故A正确； a5＝a1＋4d＝5①， a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0②， 联立①②得所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，故B正确，D错误； Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，故C正确．故选ABC. 4.12【解析】因为等差数列的首项，公差，所以． 四、考点扫描 例1（1）A【解析】因为a4＋a8＝2a6＝20，所以a6＝10 .又a7＝12，所以d＝2，所以a10＝a7＋3d＝12＋6＝18.故选A. (2)B【解析】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以.故选B. 对点训练 (1)　C【解析】设等差数列的公差为.因为成等比数列且，所以，即，解得或（舍去），所以.故选C. （2）D【解析】设等差数列公差为，∵，所以当时，，解得， 所以，当时，，所以，所以．故选D． 例2 （1）【证明】因为，所以，即.因为，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列. （2）【解】由（1）知，，因为，所以，所以 ①， ②. ①②得 ，所以，． 对点训练(1)【解】由题意，（*）， 两边同加项，得：.由（*）式可得 ，所以， 得，即成立，当时，，得. 综上，恒成立，所以是以2为公差的等差数列． （2）【证明】令，又，则有.又，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 例3 （1）【解析】在等差数列中，由，得.因为成立，由对称性知，，则，所以， 所以，所以，即，解得. （2）　16【解析】因为等差数列的前项和为,所以,,,成等差数列, 所以，即，解得，所以，所以，解得. （3） ABD【解析】由题意得，S5<S6，则S6－S5＝a6>0；S6＝S7，则S7－S6＝a7＝0；S7>S8，则S8－S7＝a8<0.由a6>a7，得d<0，故A正确. S12＝＝6(a6＋a7)＝6a6>0，故B正确. S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝2a8<0，故S9<S5，故C错误. S14＝＝7(a7＋a8)＝7a8<0，S13＝＝14a7＝0，故D正确．故选ABD. 对点训练（1）【解析】由，得， 则. （2）B【解析】 因为数列{an}，{bn}均为等差数列，所以数列{an＋bn}为等差数列，设其公差为d．因为a1＋b1＝100，a2＋b2＝120，所以d＝120－100＝20，所以a37＋b37＝100＋20×36＝820．故选B. （3）A【解析】由得，即，所以数列为递增的等差数列.，，，所以当且时，；当且时，. 有最小值，最小值为.故选A. . 学科网（北京）股份有限公司 $