第34讲 数列的递推公式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦数列递推公式求通项这一高考核心考点，按观察法、公式法、累加法等八类方法系统梳理知识点，通过考点精讲、题型分类（含公式法、构造等比数列等题型）、高考真题训练的教学流程，帮助学生突破构造特殊数列的难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“方法-题型-真题”三维联动为特色，如构造等比数列时用待定系数法引导学生推理（数学思维），累加法结合裂项求和训练运算能力（数学思维），设置分层练习（必考题型+巩固提升）保障复习效果，能提升学生解题效率，为教师把控复习节奏提供精准指导。

2027届高三数学一轮复习 第三十四讲 数列的递推公式 【学习目标】会由几类简单的递推公式求数列的通项公式 【学习重点】数列通项公式的求法 【学习难点】构造特殊数列求通项公式. 必掌握知识点 一.观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 二. 公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 三. 累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 四.累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 五.构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 六.对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 七. 倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 八 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 必考题型全归纳 题型一. 公式法求数列通项 1．（河南省平顶山市叶县高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 【答案】BC 【分析】根据等差数列和等比数列的定义，结合错位相减法逐一判断即可. 【详解】，，则是公差为1，首项为的等差数列， 所以，则. 对A：，因为不是非零常数， 所以不是等比数列，故A错误；对B：，因为， 所以是以为首项，以2为公比的等比数列，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：因为， 所以， 两式相减得，故D错误.故选：BC 2．（海南省海南中学2023-2024学年高三上学期第5次月考数学试题）设数列的前n项和为，已知，且（），则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】BC选项，变形得到，得到为等比数列，公比为3，求出通项公式；A选项，利用等比数列的定义进行判断；D选项，利用错位相减法求和. 【详解】BC选项，变形为， 所以为等比数列，公比为3，首项为， 故，所以，BC正确； A选项，，故，不是常数， 故数列不是等比数列，A错误； D选项，， 故①， 所以②， 故①-②得， 故，D正确.故选：BCD 3．（重庆市2022届高三学业质量调研抽测（第二次）数学试题）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 【答案】BC 【分析】由条件变形，先求的通项公式，再判断选项 【详解】由题意得，故是首项为2，公比为2的等比数列， ，则．故B，C正确，A错误 , , 两式相减得：，故D错误．故选：BC 题型二. 累加法求数列通项 4．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 【答案】D 【解析】由，得，， ，，， 累加得， ， 当时，上式成立，则， 所以.故选：D 5．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，故可得，，…，，及累加可得， 则，所以， 则． 故选：B． 6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，则当时，， 将个式子相加可得， 因为，则，当时，符合题意， 所以.故选：D. 题型三 累乘法求数列通项 7．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D．n 【答案】D 【解析】由，得，即， 则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以.故选：D． 8．（2024·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由① ②， ①②得：， 即：， 所以， 所以 故选：． 9．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】数列满足，且，∴，， ∴，，，， 累乘可得：， 可得：．故选：D﹒ 题型四. 构造等比求数列通项 10．（四川省射洪中学校2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题）已知数列满足，，的前n项和为，则（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】AB 【分析】由递推数列以及首项，可得A的正误；对递推公式两边同时加一，根据等比数列的定义，可得B的正误；根据等比数列的通项公式，可得C的正误；根据等比数列的求和公式以及分组求和，可得D的正误. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由B可知数列是以为公比，以为首项的等比数列，则，即，故C错误； 对于D，，故D错误.故选：AB. 11．（重庆市第十一中学校2023届高三上学期12月质量监测数学试题）在①数列的前n项和；②且，，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解： (1)已知数列满足__________，求的通项公式； (2)已知正项等比数列满足，，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）若选①，时，利用和的关系可求出，检验即可得出答案；若选②，由已知可推得是等差数列，根据已知求出公差，即可得出的通项公式； （2）由（1）知，进而根据已知可得，.代入整理裂项可得 ，求和即可得出结果. 【详解】（1）若选①：数列的前n项和. 当时，， 当时，，上式仍成立， ∴的通项公式为． 若选②：且，. 由可得，所以是和的等差中项， 所以是等差数列. 设公差为，则由，可得，所以. 所以的通项公式为． （2）解：设的公比为.由（1）知， 又，所以，即，又，所以， 所以，的通项公式为. 则， 所以． 12．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式． 【解析】解法一：因为， 设， 所以，则，解得， 即， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法二：因为，两边同时除以得， 所以，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则，所以. 题型五. 对数变换求数列通项 13．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和，求证：. 【解析】（1）因为，所以， 则， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以； （2）由，得， 则， 所以， 所以，所以 ， 因为，所以，所以. 题型六. 倒数变换求数列通项 14．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足：求通项. 【解析】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2， ， ∴. 15．（2024·全国·高三专题练习）在数列中，求． 【解析】由已知关系式得, 所以数列是以为首项，公比为3得等比数列，故， 所以 16．（2024·全国·高三专题练习）设，数列满足，，求数列的通项公式． 【解析】，，两边取倒数得到， 令，则， 当时，，，， 数列是首项为，公差为的等差数列． ，，． 当时，，则， 数列是以为首项，为公比的等比数列． ， ， ， ，， 巩固提升： 1．（专题10数列的递推与求和（热点专练）（北京专用））已知数列的首项，前n项和为，且，则不正确的是（ ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 【答案】C 【分析】由递推关系可得，证明数列是等比数列，由此可求数列的通项公式，即可得，判断AD，证明，判断B，根据等差数列定义判断C. 【详解】因为，则， 又，所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 故，即． 对于选项A：，故A正确； 对于选项D：，故D正确； 对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确； 对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 所以，，， 所以， 所以不是等差数列，故C错误. 2．（天津市宝坻区第一中学2024-2025学年高三上学期阶段性练习二数学试卷）已知数列为等差数列，公差为为其前项和，若满足，给出下列说法： ①；②；③；④当且仅当或8时，取得最大值. 其中正确说法的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式与下标和性质得到，进而逐一分析各说法即可得解. 【详解】因为为等差数列，， 所以，则，故， 对于①，，故①正确； 对于②，，故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，由于，所以数列的前项都为正数，从第项开始是负数， 所以当且仅当或8时，取得最大值，④正确； 综上，正确的说法有个. 故选：C. 3（多选）．（四川省资阳市2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试题）数列满足，，则（   ） A． B．为递增数列 C．为周期数列 D． 【答案】AC 【分析】利用列举法，直接可以判断. 【详解】由题可知：，，，， 所以可知：AC正确，B错误，数列的最小正周期为3，所以，故D错误. 故选：AC 4（多选）．（四川南充市南部县东辰学校2025-2026学年高二下学期第一次期末模拟考试数学试题）已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（  ） A． B．偶数项是等比数列 C． D． 【答案】ADC 【分析】直接计算出判断A，计算出后可判断B，由递推关系得出数列的奇数项的关系，从而利用等比数列的通项公式求解判断C，利用分组求和法求和判断D. 【详解】对A，由已知，，A正确； 对B，由已知，，，， 显然，因此偶数项不是等比数列，B错； 对C，，所以， 又，所以是等比数列，且公比为， 所以，从而，C正确； 对D，由选项C得， ， 又 ， 所以，D正确. 5（多选）．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题）数列满足（为非零常数），则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是周期为6的数列 B．对任意的非零常数，数列不可能为等差数列 C．若，则数列是等比数列 D．若正数满足，则数列为递增数列 【答案】AD 【分析】对于A，由题意可得，进而可得，即可判断； 对于B，举反例，此时为等差数列，即可判断； 对于C，由题意可得，，只有当时，数列才是以2为公比的等比数列，即可判断； 对于D，由题意可得，求得，进而可得，只需判断-是否成立即可判断. 【详解】解：对于A，因为，所以，， 所以，， 所以， 所以数列是周期为6的数列，故正确； 对于B，当时，则有，， 即有，， 由等差中项的性质可知为等差数列，故错误； 对于C，当时，，， 即有，， 当时，数列是以2为公比的等比数列，故错误； 对于D，因为正数满足， 所以 所以，， 所以，， 设数列前项和为， 则有=， 所以，， 所以，， 所以，， 所以==，， 所以数列为递增数列，故正确. 故选：AD. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第三十四讲 数列的递推公式 【学习目标】会由几类简单的递推公式求数列的通项公式 【学习重点】数列通项公式的求法 【学习难点】构造特殊数列求通项公式. 必掌握知识点 一.观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 二. 公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 三. 累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 四.累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 五.构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 六.对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 七. 倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 八 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 必考题型全归纳 题型一. 公式法求数列通项 1．（河南省平顶山市叶县高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 2．（海南省海南中学2023-2024学年高三上学期第5次月考数学试题）设数列的前n项和为，已知，且（），则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C． D． 3．（重庆市2022届高三学业质量调研抽测（第二次）数学试题）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 题型二. 累加法求数列通项 4．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 5．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项为(    ) A． B． C． D． 题型三 累乘法求数列通项 7．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D．n 8．（2024·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则(   ) A． B． C． D． 题型四. 构造等比求数列通项 10．（四川省射洪中学校2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题）已知数列满足，，的前n项和为，则（    ） A． B．是等比数列 C． D． 11．（重庆市第十一中学校2023届高三上学期12月质量监测数学试题）在①数列的前n项和；②且，，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解： (1)已知数列满足__________，求的通项公式； (2)已知正项等比数列满足，，求数列的前n项和． 12．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式． 题型五. 对数变换求数列通项 13．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和，求证：. 题型六. 倒数变换求数列通项 14．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足：求通项. 15．（2024·全国·高三专题练习）在数列中，求． 16．（2024·全国·高三专题练习）设，数列满足，，求数列的通项公式． 巩固提升： 1．（专题10数列的递推与求和（热点专练）（北京专用））已知数列的首项，前n项和为，且，则不正确的是（ ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 2．（天津市宝坻区第一中学2024-2025学年高三上学期阶段性练习二数学试卷）已知数列为等差数列，公差为为其前项和，若满足，给出下列说法： ①；②；③；④当且仅当或8时，取得最大值. 其中正确说法的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3（多选）．（四川省资阳市2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试题）数列满足，，则（   ） A． B．为递增数列 C．为周期数列 D． 4（多选）．（四川南充市南部县东辰学校2025-2026学年高二下学期第一次期末模拟考试数学试题）已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（  ） A． B．偶数项是等比数列 C． D． 5（多选）．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题）数列满足（为非零常数），则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是周期为6的数列 B．对任意的非零常数，数列不可能为等差数列 C．若，则数列是等比数列 D．若正数满足，则数列为递增数列 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $