专题9.2 数列之求通项公式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦数列求通项公式核心考点，涵盖公式法、迭代法（累加法、累乘法）、构造法等题型，按“基础公式—递推转化—综合构造”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导（如累加法步骤）、真题训练（分层例题与习题），帮助学生突破递推关系转化难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学思维”培养为核心，创新采用“问题转化”策略，如将含乘积的递推式同除转化为等差数列，用待定系数法构造等比数列。设置基础到综合的分层练习，配合即时方法总结，助力学生高效掌握通法，提升用数学语言表达递推关系的能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题9.2 数列之求通项公式 9.2.1 公式法求数列的通项公式 1.若{an}是等差数列，首项为，公差为，则其通项公式为： ①；②：. 2.若{an}是等比数列，首项为，公比为，则其通项公式为： ①( q≠0)；②：. 例1.记为等差数列{an}的前n项和，已知，，则{an}的通项公式为 . 例2.已知{an}为等差数列，前n项和为，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，且，，.则{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 . 例3.已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，，，．则{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 . 例4.设等差数列{an}的公差为，前n项和为，等比数列{bn}的公比为．已知，，，．则数列{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 . 1.等差数列{an}满足，，则公差= ，通项公式= 。 2.等差数列{an}中，已知，则的值为 。 3.等比数列{an}中，，，则公比= ，数列通项= 。 4.设{an}是公比不为1的等比数列，，且为，的等差中项，则{an}的通项公式为 . 5.记是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若，，则{an}的通项公式为 . 6.已知公比大于1的等比数列{an}满足，，则{an}的通项公式为 . 7.已知公比大于1的等比数列{an}满足，，则{an}的通项公式为 . 8.记是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若，，则{an}的通项公式为 . 9.等差数列{an}的前n项和为，已知，为整数，且，则{an}的通项公式为 . 10.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，则数列{an}的通项公式 . 11.等差数列，，且成等比数列，求通项。 9.2.2 同除以积的题型求数列的通项公式 常见题型：出现两项和、差与两项乘积时的模型时，等式左右两边同时除以数列两项的乘积，然后转变为常规数列来进行求解. 例1.已知数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 例2.已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0)满足，则数列的通项公式为 . 例3.设是数列{an}的前n项和，且，，则 ． 1.已知数列{an}，，，则通项公式为 。 2.已知数列{an}中，，，则= 。 3.已知，，则通项公式为 。 4.已知数列{an}中，，，则通项公式为 。 5.已知数列{an}满足：，，则数列{an}的通项公式为 . 6.已知数列{an}满足：，，则数列{an}的通项公式为 . 7.已知数列{an}满足，，则 ． 8.已知数列{an}的前n项和为，，，则数列{an}的通项公式为 . 9.已知数列{an}中，，2，则数列{an}的通项公式为 . 10.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为,且 ，则{an}的通项公式为 . 9.2.3 迭代法求数列的通项公式 1.累加法求通项公式：形如，已知，求通项.可以构造，将这个式子两边分别相加，可得：. 2.累乘法求通项公式：形如，已知，求通项.可以构造， 将这个式子两边分别相乘，可得：（）. 例1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，，则{an}的通项公式为 . 例2.记Sn为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列,则的通项公式为 . 例3.已知数列{an}中，，，则{an}的通项公式为 . 例4.在数列中，已知. （1）若，求. （2）若，求. 1.数列中，，且对任意正整数，有，则通项公式为 。 2.已知，，，则通项公式为 。 3.数列中，递推式，，，则通项公式为 。 4.已知数列首项，递推等式，，，则通项公式为 。 5.在数列{an}中，已知，，则数列{an}的通项公式为 . 6.设数列{an}满足，且，则数列{an}的通项公式为 . 7.已知是数列{an}的前n项和，，，则an= . 8.数列满足：,，则的通项公式为 . 9.已知数列{an}满足：且，则数列{an}的通项公式为 ． 10.已知数列{an}中，，前n项和，则{an}的通项公式为 ． 11.已知是公差为2的等差数列，数列的前n项和为Sn，且，a2＝2．则的通项公式为 . 12.已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n项和，2Sn＝nan．则{an}的通项公式为 . 9.2.4 已知数列前n和求数列的通项公式 1.若已知数列的前项和与之间的关系，则求通项公式可用求解. 注意：一定要先分和两种情况分别进行运算，最后验证是否满足通项公式. 2.若已知的是前项积与之间的关系，则与相除即可. 例1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则数列{an}的通项公 式为 . 例2.设数列{an}的前n项和为Sn，已知，则数列{an}的通项公式为 . 例3.已知各项均不为0的数列的前项积为，求数列的通项公式。 例4.已知数列各项均不为0，其前项积，求数列的通项公式。 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n﹣an．则数列{an}的通项公式为 . 2.Sn为数列{an}的前n项和．已知，，则数列{an}的通项公式为 . 3.已知数列{an}的前n项和，{bn}是等差数列，且. 则数列{bn}的通项公式为 . 4.记Sn为数列的前n项和，已知，则的通项公式为 . 5.记Sn为数列的前n项和，已知4Sn＝3an+4，则的通项公式为 . 6.已知各项非零数列的前项积，求数列的通项公式。 7.已知数列各项不为0，前项积，求数列的通项公式。 6.已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式。 8.已知数列的前项和满足，求数列的通项公式。 9.已知各项非零数列的前项积，且，求数列的通项公式。 10.已知各项非零正数列的前项积，求数列的通项公式。 11.已知数列{an}的前n项和，其中.求证：{an}是等比数列，并求其通项公式. 12.已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，且．求{an}的通 项公式. 9.2.5 构造法求数列的通项公式 1.求形如（）的递推公式的通项，有如下两种方法. （1）待定系数法：设，用待定系数法可求出，进而构造新的等比数列. （2）也可由及，两式相减得：，所以是首项为，公比为的等比数列，先求出，再求. 2.形如（）的递归式，等号两边同除以，得：，令，得，先求，再求. 例1.在数列{an}中，已知，若，求{an}的通项公式. 例2.在数列{an}中，已知. （1）若，求{an}的通项公式. （2）若，求{an}的通项公式. 例3.设数列{an}的前n项和为． （1）求，. （2）证明：是等比数列. （3）求{an}的通项公式. 1.已知数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 2.设数列{an}满足3，，则数列{an}的通项公式为 . 3.在数列{an}中，已知，若，求{an}的通项公式. 4.已知数列{an}满足，. 证明：是等比数列，并求{an}的通项公式； 5.已知数列满足首项，递推关系，，求数列的通项公式。 6.已知数列满足首项，递推式，，求数列的通项公式。 7.已知数列满足首项，，，求数列的通项公式。 8.已知，递推式，，求数列的通项公式。 9.已知数列满足，，，构造求通项。 10.已知等差数列{an}与数列{bn}满足，，且，求数列{bn}的通项公式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2 数列之求通项公式 9.2.1 公式法求数列的通项公式 1.若{an}是等差数列，首项为，公差为，则其通项公式为： ①；②：. 2.若{an}是等比数列，首项为，公比为，则其通项公式为： ①( q≠0)；②：. 例1.记为等差数列{an}的前n项和，已知，，则{an}的通项公式为 . 解：设等差数列{an}的公差为，由得：，解得：，∴. 故答案为：. 例2.已知{an}为等差数列，前n项和为，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，且，，.则{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 . 解：设等差数列{an}的公差为，等比数列{bn}的公比为，由，得， 又∵，∴，又，解得：，∴. 由，可得①，由，可得：②， 由①②可得：，，∴. 故答案为：{an}的通项公式为.{bn}的通项公式为. 例3.已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，，，．则{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 . 解：设等差数列{an}的公差为，等比数列{bn}的公比为，由，得：，解得，∴{an}的通项公式为. 由，得：，解得：，∴{bn}的通项公式为. 故答案为：.. 例4.设等差数列{an}的公差为，前n项和为，等比数列{bn}的公比为．已知，，，．则数列{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 . 解：由题意可得，解得：或， 当时，，；当时，，. 故答案为：，或，. 1.等差数列{an}满足，，则公差= ，通项公式= 。 解：推广通项公式：，令， ， 再求首项：， 通项：。故答案为：，。 2.等差数列{an}中，已知，则的值为 。 解：展开通项：， 由，故原式。故答案为：。 3.等比数列{an}中，，，则公比= ，数列通项= 。 解：推广公式：，令，， ① 当：，。 ② 当：，。 故答案为：，或。 4.设{an}是公比不为1的等比数列，，且为，的等差中项，则{an}的通项公式为 . 解：设{an}的公比为，为，的等差中项，∴，化简可得：， ∵，∴.∴.故答案为：. 5.记是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若，，则{an}的通项公式为 . 解：由等差数列求和公式可得：，又∵，∴，∴. ∵，∴，∴，∵公差不为0， ∴，所以{an}的通项公式为：. 故答案为：. 6.已知公比大于1的等比数列{an}满足，，则{an}的通项公式为 . 解：设等比数列{an}的公比为，则，由题意得：，解得：，或，（舍），∴{an}的通项公式为.故答案为：. 7.已知公比大于1的等比数列{an}满足，，则{an}的通项公式为 . 解：设等比数列{an}的公比为，则，由题意得：，解得：，或，（舍），∴{an}的通项公式为.故答案为：. 8.记是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若，，则{an}的通项公式为 . 解：由等差数列求和公式可得：，又∵，∴，∴. ∵，∴，∴，∵公差不为0， ∴，所以{an}的通项公式为：. 故答案为：. 9.等差数列{an}的前n项和为，已知，为整数，且，则{an}的通项公式为 . 解：由，为整数可知，等差数列{an}的公差为整数. 又∵，∴，，于是，，解得：，∴， 故数列{an}的通项公式为. 故答案为：. 10.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，则数列{an}的通项公式 . 解：∵等差数列{an}的公差为2，且，，成等比数列.∴， ∴，∴，解得：，∴. 故答案为：. 11.等差数列，，且成等比数列，求通项。 解：设等差数列公差为，则：。 成等比，满足等比中项：，所以， 化简得：。 ① ：常数列，。 ② ：。 9.2.2 同除以积的题型求数列的通项公式 常见题型：出现两项和、差与两项乘积时的模型时，等式左右两边同时除以数列两项的乘积，然后转变为常规数列来进行求解. 例1.已知数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 解：∵在数列{an}中，，，∵，则有：，∴，又，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即. 例2.已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0)满足，则数列的通项公式为 . 解：由，bn≠0可得， ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴.故答案为：. 例3.设是数列{an}的前n项和，且，，则 ． 解：由可得：，∴， ∴数列是以-1为首项，-1为公差的等差数列， ∴，∴.故答案为：. 1.已知数列{an}，，，则通项公式为 。 解：两边同除：。 设，则是公差的等差数列， ，。故答案为：。 2.已知数列{an}中，，，则= 。 解：等式两边同除：，， ，，。故答案为：。 3.已知，，则通项公式为 。 解：原式变形：， 同除乘积：，公差 1，， ，故答案为：。 4.已知数列{an}中，，，则通项公式为 。 解：原式交叉相乘：，两边同除：，令。 ，构造等比：，解得， ，，，公比， ，。 故答案为：。 5.已知数列{an}满足：，，则数列{an}的通项公式为 . 解：将两侧同除可得： ，则，又∵. ∴数列是首项为1，公差为1的等差数列. ∴，即.故答案为：. 6.已知数列{an}满足：，，则数列{an}的通项公式为 . 解：由，得：，∴是以1为首项，1为公差的等差数列，∴，∴数列{an}的通项公式为.故答案为：. 7.已知数列{an}满足，，则 ． 解：若，则，则，与矛盾，所以， 由可得：，由累加法可得： ，∴.故答案为：. 8.已知数列{an}的前n项和为，，，则数列{an}的通项公式为 . 解：由，得，又， ∴是以2为首项，1为公差的等差数列，∴， 所以，又∵当时，，也满足该式， ∴.故答案为：. 9.已知数列{an}中，，2，则数列{an}的通项公式为 . 解：当时，解得：，不满足， ∴，同理，由2可得：， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. ∴.∴.故答案为：. 10.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为,且 ，则{an}的通项公式为 . 解：当n=1时，，解得：，又∵，则； 当n≥2时，由，两式相减得：， ∴，由累加法可得：，n≥3. ∴，即，n≥3. 当n=1或n=2时，，满足. 故答案为：. 9.2.3 迭代法求数列的通项公式 1.累加法求通项公式：形如，已知，求通项.可以构造，将这个式子两边分别相加，可得：. 2.累乘法求通项公式：形如，已知，求通项.可以构造， 将这个式子两边分别相乘，可得：（）. 例1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，，则{an}的通项公式为 . 解：由题意可知：. 故答案为：. 例2.记Sn为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列,则的通项公式为 . 解：，又是公差为的等差数列, ∴当时，，∴ 整理得： ∴，显然也成立， ∴ 的通项公式.故答案为：. 例3.已知数列{an}中，，，则{an}的通项公式为 . 解：由可得， 当n≥2时，， 当n=1时，符合该式. 故答案为:. 例4.在数列中，已知. （1）若，求. （2）若，求. 解： (1) 解法一: 由 可得 所以整理得 解法二: 进位相减可得 即所以 数列为等差数列. 因为 所以 故 (2) 由 可得 从而 所以 . 整理得所以 1.数列中，，且对任意正整数，有，则通项公式为 。 解：累加得：右侧是首项为 1、公比为 3 的等比数列前项和： 代入：验证：，，成立。故答案为：。 2.已知，，，则通项公式为 。 解：累加裂项相消：，故，验证：，，符合条件。 答案：。 3.数列中，递推式，，，则通项公式为 。 解：比值，累乘：分子： 分母： 约分：，故，验证：，，成立。答案：。 4.已知数列首项，递推等式，，，则通项公式为 。 解：先变形递推式，分离比值：累乘约分（过程略）：代入： 验证：，，与已知一致。答案：。 5.在数列{an}中，已知，，则数列{an}的通项公式为 . 解：由题意可得： 当n≥2时，. 也满足上式.∴. 6.设数列{an}满足，且，则数列{an}的通项公式为 . 解：由题意可知：. 故答案为：. 7.已知是数列{an}的前n项和，，，则an= . 解：由 可得，则当n≥2时，， ∴，即， ∴. 当n=1时，符合该式，故答案为:. 8.数列满足：,，则的通项公式为 . 解：由 得,, ∴ ∴∴故答案为： 9.已知数列{an}满足：且，则数列{an}的通项公式为 ． 解：由题意可知：.故答案为：. 10.已知数列{an}中，，前n项和，则{an}的通项公式为 ． 解：∵，∴当n≥2时，，∴，∴ ∴.也满足该式. 故答案为: 11.已知是公差为2的等差数列，数列的前n项和为Sn，且，a2＝2．则的通项公式为 . 解：设 ，则 因为 是公差为 2 的等差数列，，所以 . 设 ，则, 所以 时, 所以又 , 满足上式,所以 故答案为： 12.已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n项和，2Sn＝nan．则{an}的通项公式为 . 解：当n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝0，当n≥2时，2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1， ∴2an＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，∴（n﹣1）an﹣1＝（n﹣2）an， 当n≥3时，可得，∴an⋯a2＝n﹣1， 当n＝2或n＝1时，a1＝0，a2＝1适合上式， ∴{an}的通项公式为an＝n﹣1.故答案为：an＝n﹣1. 9.2.4 已知数列前n和求数列的通项公式 1.若已知数列的前项和与之间的关系，则求通项公式可用求解. 注意：一定要先分和两种情况分别进行运算，最后验证是否满足通项公式. 2.若已知的是前项积与之间的关系，则与相除即可. 例1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则数列{an}的通项公 式为 . 解：依题意，① 当n≥2时，，②． ①②两式相减得2an＝2nan﹣2（n﹣1）an﹣1+2﹣2n，即（n﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0， 因为n≥2，所以an﹣an﹣1﹣1＝0，即an﹣an﹣1＝1，所以{an}是公差为1的等差数列， 又a1＝1，故数列{an}的通项公式为an＝n． 例2.设数列{an}的前n项和为Sn，已知，则数列{an}的通项公式为 . 解：因为，所以，，故. 当时，。此时，，即. 又不满足该式，∴. 例3.已知各项均不为0的数列的前项积为，求数列的通项公式。 解：①时，； ②时：， ③验证：时分母为0无意义，无法合并，分段书写。 故数列的通项公式为：。 例4.已知数列各项均不为0，其前项积，求数列的通项公式。 解：①当时，； ②当时：。 ③验证：将代入通用式，分母为0无意义，首项不适配，需分段。 故数列的通项公式为：。 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n﹣an．则数列{an}的通项公式为 . 解：∵Sn＝n﹣an，∴Sn﹣1＝（n﹣1）﹣an﹣1（n≥2）， 两式作差得2an＝an﹣1+1，∴2（an﹣1）＝an﹣1﹣1，当n＝1时，S1＝1﹣a1，∴， 所以{an﹣1}是首项为，公比为的等比数列，故． 2.Sn为数列{an}的前n项和．已知，，则数列{an}的通项公式为 . 解：(1) 当 时, . 因为 , 所以 . 当 时, 即 . 因为 , 所以 . 所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 所以 . 3.已知数列{an}的前n项和，{bn}是等差数列，且. 则数列{bn}的通项公式为 . 解：由题意知当时, . 当时, , 所以. 设数列 的公差为 , 由. 可解得 , 所以 . 4.记Sn为数列的前n项和，已知，则的通项公式为 . 解：因为, 即 ①, 当 时, ②, ① - ② 得,, 即 , 即, 所以, , 所以 是以为公差的等差数列. 5.记Sn为数列的前n项和，已知4Sn＝3an+4，则的通项公式为 . 解：当 时, , 解得 . 当 时, , 所以 ， 即 ,而 , 故 , 故 , 数列 是以4 为首项, 为公比的等比数列, 所以 . 6.已知各项非零数列的前项积，求数列的通项公式。 解：①当时，； ②当时：， ③验证：代入通用式不成立，分段书写。 故数列的通项公式为：。 7.已知数列各项不为0，前项积，求数列的通项公式。 解：①当时，； ②当时：， ③验证：时，，首项适配，可合并通项。 故数列的通项公式为：：。 6.已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式。 解：①：； ②：，两式相减：， 数列为首项、公比的等比数列。故数列的通项公式为：。 8.已知数列的前项和满足，求数列的通项公式。 解：①：； ②：，两式作差：。 ③构造等比：， 则首项，公比， ④验证：成立。 故数列的通项公式为：。 9.已知各项非零数列的前项积，且，求数列的通项公式。 解：①当时，； ②当时，，，则：。 ③验证：不满足上式，分段书写。 故数列的通项公式为：。 10.已知各项非零正数列的前项积，求数列的通项公式。 解：①当时，； ②当时：， ③验证：代入得，适配通用式，可合并。 故数列的通项公式为：。 11.已知数列{an}的前n项和，其中.求证：{an}是等比数列，并求其通项公式. 解：由题意得 ，故 . 由 得 由 得 ，所以 因此 是首项为 ，公比为 的等比数列，于是 12.已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，且．求{an}的通 项公式. 解：由，可得4S1＝4a1＝a1a2+1，即4＝a2+1，可得a2＝3， 当n≥2时，由4Sn＝anan+1+1，可得4Sn﹣1＝an﹣1an+1， 两式相减可得4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝anan+1﹣an﹣1an，化为an+1﹣an﹣1＝4， 即数列{an}的奇数项和偶数项均为公差为4的等差数列， 即有n＝2k﹣1时，an＝1+4（k﹣1）＝4k﹣3；n＝2k时，an＝3+4（k﹣1）＝4k﹣1； 所以an＝2n﹣1. 9.2.5 构造法求数列的通项公式 1.求形如（）的递推公式的通项，有如下两种方法. （1）待定系数法：设，用待定系数法可求出，进而构造新的等比数列. （2）也可由及，两式相减得：，所以是首项为，公比为的等比数列，先求出，再求. 2.形如（）的递归式，等号两边同除以，得：，令，得，先求，再求. 例1.在数列{an}中，已知，若，求{an}的通项公式. 解：设将其展开可得： 已知 , 所以 , 解得 . 那么已知 , 则 . 由 可知, 数列 是以 3 为首项, 为公比的等比数列。根据等比数列的通项公式 (其中 为首项, 为公比), 可得将 移项, 可得 因此, 数列 的通项公式为： 例2.在数列{an}中，已知. （1）若，求{an}的通项公式. （2）若，求{an}的通项公式. 解：（1）设 , 所以 , 展开后比较得 这时 且 , 所以 是以 3 为首项, 以 为公比的等比数列, 所以 , 即 , 所以 . （2）方法一: 设 , 展开并比对系数求得 , 即 ; 所以 . 方法二: 两边同除以 , 得 , 故 , 方法三: 两边同除以 , 得 , 叠加得 , , 所以 . 例3.设数列{an}的前n项和为． （1）求，. （2）证明：是等比数列. （3）求{an}的通项公式. 解（1）由 和 可得， ，解得 。 ，解得 ， 。 ，解得 ， 。 ，解得 。 故 ， 。 （2）证明:因为 (1), 故 (2)。 由 (2) - (1) 得 ，则. 即 .当 时,. 又因为 .∴数列 是首项为 2, 公比为 2 的等比数列. （3）由 (2) 知 .等号两端同时除以 , 得：.且 . ∴数列 是以 1 为首项, 以 为公差的等差数列. 根据等差数列通项公式：. 即 .故 的通项公式为 . 1.已知数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 解：两边同时除以 得:.又， 是首项为，公比为的等比数列. ∴，∴. 2.设数列{an}满足3，，则数列{an}的通项公式为 . 解：由可得： , 两式相减得 . 令 , 且 , 所以 , 两边同时减去 , 得, 且 , 所以 , 即, 又 , 因此 是首项为 , 公差为 的等差数列, 所以 . 3.在数列{an}中，已知，若，求{an}的通项公式. 解: 对 变形可得 等号两边同除以 , 得： 则 是以 为首项, 为公差的等差数列. ∴， 整理得： 4.已知数列{an}满足，. 证明：是等比数列，并求{an}的通项公式； 解：证明：由 得 . 所以.故数列 是等比数列，首项为 ，公比为 . 所以 .解得：. 5.已知数列满足首项，递推关系，，求数列的通项公式。 解：设构造式， 展开：， 与原式对比常数项：， 代入构造式得：。 因此数列是等比数列， 首项：，公比。 由等比通项：。 整理得：。 验证：时，，与已知首项一致，对所有成立。 故数列的通项公式为：。 6.已知数列满足首项，递推式，，求数列的通项公式。 解：因为，， 构造：，首项，公比3。 ，， 验证：，，成立。 故数列的通项公式为：。 7.已知数列满足首项，，，求数列的通项公式。 解：两边同除以：。 设辅助数列，则，递推关系：。 对到累加：。 错位相减计算求和项：。代入：。 回代：。 验证：，，成立。 故数列的通项公式为：。 8.已知，递推式，，求数列的通项公式。 解：两边同除以：，设，，。 累加等比数列： ，回代：。 验证：符合；完全匹配。 故数列的通项公式为：。 9.已知数列满足，，，构造求通项。 解：两边同除以：，， 累加拆分两部分：常数项累加、错位求和项： 。 回代：。 验证：，正确。 故数列的通项公式为：。 10.已知等差数列{an}与数列{bn}满足，，且，求数列{bn}的通项公式. 解：解法一: 令, 有 所 , 即 , 所以 由 得 设, 则，可得 易得 , 故从而 解法二: 由解法一知：则 两式相减得： 于是 上式累加得 , 即 当 时, 上式也成立. 又 , 得 , 故 解法三: 由 构造等比数列形式 则所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $