第37讲 数列求和 讲义-2027年高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦数列求和高考核心考点，系统梳理公式法、分组并项、裂项相消、错位相减、倒序相加等方法，按题型构建知识网络，通过基础回顾、必备知识梳理、题型例题精讲等环节，帮助学生建立求和方法体系，突破解题难点。 讲义以题型分类为特色，结合高考真题与模拟题设计例题，如错位相减强调步骤规范，裂项相消注重变形技巧，培养学生数学思维与运算能力。分层例题覆盖不同难度，助力教师精准指导，有效提升学生应考能力与复习效率。

第37讲 数列求和 题型一 分组（并项）求和 3 题型二 裂项相消法求和 12 题型三 错位相减法求和 20 题型四 倒序相加法求和 29 题型五 其他求和方法 37 【基础回顾】 知识点：数列求和的几种常用方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 ①已知等差数列的第1项和第n项，求前n项和Sn＝； ②已知等差数列的第1项和公差，求前n项和Sn＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时， ①已知等比数列的第1项和第n项，求前n项和Sn＝； ②已知等比数列的第1项和公比，求前n项和Sn＝. 2．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的． 【必备知识】 1．1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2．12＋22＋…＋n2＝. 3．裂项求和常用的变形 (1)分式型：＝， ＝， ＝等． (2)指数型：＝－，＝－ 等． (3)根式型：＝(－)等． (4)对数型：logm＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1. 题型一 分组（并项）求和 1.分组求和的常见类型 2.并项求和的定义、适用条件及注意事项 定义 一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和 适用条件 an＝(－1)nf(n)类型或周期型数列可采用并项求和法 注意 一般对n分奇偶进行讨论，结果一般用分段形式表示 【例题精讲】 1．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列满足，． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，结合等比数列定义即可得证； （2）借助分组求和法、错位相减法与等差数列求和公式计算即可得. 【详解】（1）， 由，故，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得，即， 则， 令，数列的前项和为， 则， 则， 则 ， 则， 故. 2．（辽宁朝阳市2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题）等差数列的前项和为，，，数列满足 . (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)， (2)3421 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则； 因 ，① 当时，，② 得，，即， 当时， ，解得，满足上式， 则 ， 综上所述，数列的通项公式为 ， 数列的通项公式为 . （2）由（1）可得，数列是递增数列，且，， 又因为，，，，，，，， 经验证数列中的，，均在中的前50项， 从而数列中需要取47项， 所以数列的前50项和. 3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系求出的通项公式，根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出的通项公式； （2）分组后由等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式，所以； 由得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （2） . 4．（2026·天津河北·二模）若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，，所以数列是等差数列，可得通项公式，根据题设得，数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）设，利用并项求和法得解； （3）利用错位相减法求得，假设存在实数，使得数列为“型数列”，则，利用待定系数法得到方程组，求解即可. 【详解】（1）因为为“型数列”， 所以， 即，所以数列是等差数列， 又，，所以的公差为， 故数列的通项公式为. 因为数列是“型数列”，所以， 又因为，也成立，所以为等比数列， 公比，因此. （2）由（1）可得， 设， 因为， 故数列的前项的和为 . （3）由，得，① 所以，② 由①－②，得， 所以. 又，， 假设存在实数，，，使得数列为“型数列”， 则， 即， 整理得， 所以解得，，，不满足，为非零常数， 因此不存在实数，，，使得数列为“型数列”. 5．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）设是正项数列，且其前项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和； (3)令，记，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求得的值，然后结合递推关系式整理可得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组法与裂项相消法求和即可； （3）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可； 【详解】（1）当时，，解得， 当且时，， ∴， 整理可得：， ∵，∴，∴， ∴数列以为首项，为公差的等差数列， ∴． （2）∵， ∴． （3）由（1）可得：， 所以． 6．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知数列为等差数列，且，公差；数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)记数列的前n项和为，且，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件将分别用含的式子表示出来，由列方程可解得，进而求解； （2）首先求出的通项公式，分组求和，注意掌握公式的应用. 【详解】（1）因为，，是和的等差中项，是和的等差中项， 所以， 故，， 因为数列为等比数列，所以， 即，整理得，解得或. 因为，所以， 所以，，， 故， 等比数列的公比. 所以. （2）由（1）可知，. 则， 所以 ． 7．（2026·辽宁朝阳·三模）已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用，由求首项，再作差推出为等比数列得通项，再设等差数列公差为正数，由和等比中项列方程求出，进而得到通项. （2）把拆为与两部分，分别用等比数列求和、相邻两项分组求和算出前20项和，相加即得. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，由及，得，解得 所以. 设等差数列的公差为， 则 所以． （2）当时，， ． 8．（山东泰安市2026届高三下学期5月检测数学试题）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足 求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系及等比数列的定义求解； （2）数列的奇数项及偶数项分别求和即可得解. 【详解】（1）当时 ∴当时， 又 是等比数列， （2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列 ， 偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列， ， . 9．（2026·吉林延边·三模）数列满足，． (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若 ，设数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，证得为等比数列，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）知，得到，分和，两种情况讨论，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）证明：由，可得，所以， 因为，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 可得，所以， 即数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，则，所以， 则，且， 因为，可得， 当时，， 其中， ， 所以， 将代入上式，可得； 当时，， 因为，且， 所以， 将代入上式，可得， 综上可得，数列的前n项和为. 10．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) (3)2116 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的基本概念，以及等差数列前项和公式，求出数列通项公式的基本参数，写出通项公式即可； （2）根据数列的通项公式，利用裂项相消法和分组求和法可求； （3）根据等比数列的项和公式，判定数列的前2026项的组成，进而求出前2026项和. 【详解】（1）设等差数列公差为，所以， 因为，解得，则， 所以， 所以，解得， 因为，所以数列公比，则. （2）由（1）可知， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 数列的前2n项中有个奇数项，个偶数项， 所以， 可得， 即. （3）数列的项为， 在之前有数列的项个，有个1， 则之前有项， 当时，即之前有项，之后有个， 即数列的前2026项有数列的前项，和个， 所以数列的前2026项的和为. 题型二 裂项相消法求和 利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，则＝，＝. 【例题精讲】 1．（2026·陕西榆林·三模）已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知式子化简得出， 即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一结果得出， 即可得出，根据裂项相消法得出答案. 【详解】（1）因为，所以， 又为正项数列，所以，即， 又因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以，则 所以， . 2．（2026·云南·模拟预测）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)98； (2). 【分析】（1）根据题意，分别求得的值，即可求解； （2）由题意，可求得，则，裂项可求得其前项和，进而可得不等式，解不等式即可得的取值范围. 【详解】（1）由题意，，， 所以，， ， 所以. （2）由题意，， 所以， 则， 所以， 由恒成立，可得， 则，得，则， 即的取值范围为. 3．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的公比； (2)求的前n项和． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）通过等比中项进行转化，因式分解得到方程，分类讨论舍去矛盾式，进而求得公比. （2）将数列通项写出代入进行裂项，利用裂项相消求得和. 【详解】（1）由等比数列性质得， 整理得， 若，所以， 两式相减，则，这与为等比数列，各项均不为0矛盾，所以舍去. 所以，，两式相减得， 故的公比． （2）由，令则．此时， ， 故的前n项和 4．（25-26高二下·安徽·期中）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由累加法，结合等差数列的前n项和公式，可求得数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，求得数列的通项公式，利用裂项相消求和法求得，即可证得． 【详解】（1）因为，所以，                        当时， ，                           当时，也满足上式，                             故数列的通项公式为．              （2）由（1）知，，              ． 即 5．（25-26高二下·四川资阳·期中）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式及等比中项性质，求出的值，代入公式，即可得答案 （2）由（1）得，根据裂项相消求和法，可得表达式，分析即可得证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则①， 又成等比数列，所以，则， 整理得②， 联立①②，解得， 所以. （2）由（1）得， 则 6．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列的前项和为，且，. (1)求； (2)求的通项公式； (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)2 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）方法一:由， 得； 方法二:由，得， 得； （2）因为，所以， 则，得， 又，所以， 所以； （3）设，则时，， 当时，， 所以， 故. 7．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用得到与的递推关系，再根据等比数列的定义得证； （2）结合（1）得，进而得，再根据裂项求和法即得. 【详解】（1）证明：由，得， 则， 所以， 因为，所以， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可知，，所以． ， 故． 8．（2026·安徽淮南·二模）已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）将已知等式整理为关于相邻两项差的方程, 再结合数列递增确定公差, 从而求出通项公式. （2）由（1）得出通项后, 写出所求数列的通项, 再将其裂项, 利用裂项相消求和. 【详解】（1）由题意, 有. 移项整理, 得. 所以. 因为数列 为递增数列, 所以. 故. 所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 从而. （2）由(1)知,所以. 于是. 又因为, 所以. 故. 从而 . . 9．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知递推式得出数列是等比数列，进而求出的通项公式； （2）先求出，再利用裂项相消法求和，进而证明结论． 【详解】（1），则， ，又， 故是首项为，公比是的等比数列， ，即， 成立， 数列的通项公式为． （2）， ， ， ， ， ， ，故． 10．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若表示不超过的最大整数，如，，记，求的值； (3)记，记数列的前项和为，若对，都有成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)1 (3) 【分析】（1）利用数列中与的关系将条件所给的关系式转化，然后根据等比数列的定义证明即可，进而求出通项公式； （2）先求出的解析式，再利用放缩法，裂项相消法及数列的单调性，求出的前项和的取值范围，再取整即可； （3）先求出的解析式，再利用裂项相消求出其前项和，然后分奇偶讨论分别求出的最小值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）在数列中，， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得， 即，即， 所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列， 所以，所以， 并且当时，依然成立， 所以的通项公式为； （2）令， 由（1）知，，所以， 则当时，； 当时，因为， 所以 . 又因为数列单调递增，所以，， 所以； （3）由（1）知，，所以， 当为奇数时， . 因为数列单调递增，且， 所以当时，取到最小值； 当为偶数时， . 因为数列单调递减，且， 所以当时，取到最大值， 且随着的增大，逐渐递减趋近于. 因为对，都有成立，所以要小于等于的最小值， 所以的取值范围为. 题型三 错位相减法求和 1．错位相减法求和的适用条件 若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn. 2．错位相减法求和的步骤 3．错位相减法求和的注意事项 注意点一 在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn，特别是等比数列公比为负数的情形 注意点二 等式右边由第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成 注意点三 经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误 【例题精讲】 1．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式求出及的关系，从而可判断数列的特征； （2）首先求出数列的通项公式，观察可知需要通过错位相减法求解其前项和． 【详解】（1）， 当时，，解得． 又当时，， ，， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ． （2）， 由题意知，. ， 设数列的前项和为， ， ， 则， 两式相减得：， 即， ． 2．（25-26高二下·甘肃武威·期中）已知正项递增数列为等比数列，满足，，数列满足． (1)求，的通项公式； (2)数列满足，求的前n项的和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）首先求出公比，即可求出的通项公式，再代入得到的通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法计算即可． 【详解】（1）设等比数列的公比为，又， ，又，且为递增数列， ，解得或（舍去）， ，解得， ，； （2）由（1）可得， 所以， 则， 所以 ， 解得． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列；求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）先利用赋值思想，得出数列是首项为1，公差为1的等差数列，即可求解； （2）首先利用数列放缩思想将扩大成，进行错位相减求和即可比较出与的大小关系. 【详解】（1）已知，令，则，因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则. （2），因为，所以， 则. 设 相减得到； 则， 因为，所以，因此，得证. 4．（25-26高二下·广西南宁·期中）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过对递推式变形构造出等比数列，然后利用等比数列通项公式即可求出； （2）先求出，再利用错位相减法，通过两式相减、等比数列求和即可求得. 【详解】（1）由，，得，. 因为，所以数列是以2为首项、2为公比的等比数列， 所以，即， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知代入得，则 ①， ②， ①-②得： ， 化简得， 故数列的前项和. 5．（2026·云南昆明·二模）设数列满足． (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）化简应用裂项及迭代得出通项，再应用等差数列通项公式计算证明； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）由得： ， 所以，                                 所以，即得，                         由等差数列的定义知：数列为以3为首项，4为公差的等差数列 ； （2）由（1）知：， 所以  ，                                  所以， 所以，           所以， 所以； 6．（2026·山西·二模）已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列. (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，结合等差中项的意义列式求出公比，进而求出通项. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求出，借助单调性推理得证. 【详解】（1）设是等比数列的公比，由，，成等差数列， 得，即，则，解得， 由，得，解得， 所以数列的通项. （2）由（1）得， 则， 于是， 两式相减得，， 因此，又， 则数列是递增数列，， 所以. 7．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【详解】（1）已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） 两边同乘​得 得，， 整理得. （3）由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 8．（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)通过配凑可得到；(2)依据数列的特征，用错位相减法即可求得. 【详解】（1），且 因此，是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）：，因此 令 两式相减得： 所以，. 9．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式．求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用定义求解首项，公差，可得通项公式. （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）设数列首项为，公差为，依题有， 即  ，解得． 所以. （2）因为，即，而， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，则， 所以. 而， 则， 两式相减得： . 所以． 10．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式． （i）求数列的前项和； （ii）记数列，若数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）设首项为，公差为，再结合已知条件建立方程求得，再求通项公式即可； （2）（i）根据题意证明是首项为2，公比为2的等比数列，进而得，再结合错位相减法求解即可； （ii）由题意知，再结合裂项求和即可证明. 【详解】（1）解：设首项为，公差为 根据题意可得方程组，所以解得． 所以 （2）（i）解：因为 所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 所以 ， 设 所以，两式相减得： 所以． （ii）由题得． 所以 化简得． 因为，，所以． 题型四 倒序相加法求和 德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对1+2+3+⋯+100进行求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法． 【例题精讲】 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求数列的通项公式，再根据公式，求解数列的递推关系式，通过构造求数列的通项公式； （2）首先利用倒序相加法求数列的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为，且数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 当时，，两式相减，得， 所以，所以， 所以数列是常数列，所以，即. （2）因为，所以. 又， 两式相加，得 . 所以. 所以， ， 两式相减，得 . 所以. 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数的图象关于点对称，数列满足. (1)求实数a的值； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用函数图像的对称性列式求出值. （2）由（1）中信息，利用倒序相加法求出，进而求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由函数的图象关于点对称，得， 则，即， 因此，所以. （2）由（1）知，而当时，， 则， 于是，当时，，即，满足上式，因此， ， 所以. 3．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数. (1)证明：为定值； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； (3)若数列的通项公式为，记.若（2）中的满足，求及的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；7. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即得； （2）由（1）推得，求得，再利用倒序相加法即可求得； （3）利用裂项相消法求出，由判断为递增数列，可得的最小值为，结合解不等式即得的最大值. 【详解】（1）由，得， 所以， 即为定值1. （2）由（1）知，所以， 即， 依题意得，又， 所以， ， 两式相加，得， 所以. （3）因为， 所以， 所以 ， 因为，所以数列为递增数列， 所以的最小值为， 因为恒成立，则，解得， 所以正整数的最大值为7. 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足 . (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 5．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可求的值，再验证此时为奇函数. （2）先根据函数的奇偶性探索得到，再利用倒序相加法求的值. 【详解】（1）显然的定义域为，又为奇函数， 所以，即， 解得.此时， 因， 即，为上的奇函数，故为所求． （2）由（1）知． 又，所以， 即． 设，则， 又， 两式左、右两边分别相加，得， 所以． 6．（2025高二·全国·专题练习）设， ，求的值． 【答案】 【分析】计算得出为常数，再运用倒序相加法求和即可． 【详解】 因为， 所以 ． 故 ， 所以． 7．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数． (1)求． (2)是否存在常数，对任意的，有？ 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）由题意得，结合倒序相加法即可求解； （2）通过放缩说明当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大即可求解. 【详解】（1）由于，即， 所以，解得． （2）不存在． ， 说明，当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大， 所以不存在常数，使得． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用倒序相加结合正弦函数的奇偶性计算求解得出通项公式； （2）应用裂项相消计算即可证明. 【详解】（1）因为， 所以． 当时，， 所以， 所以，即当时，． 又当时，，所以数列的通项公式为． （2）， 所以． 所以． 9．（24-25高三上·天津·期末）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用的关系消去得到之间的递推关系后求解； （2）（i）利用组合数的性质，利用倒序相加法处理；（ii）先求出的表达式，然后利用放缩法进行证明. 【详解】（1）由，得， 当时，由，得， 整理得， 又因为，， 又因为 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 故数列的通项公式为． （2）（i）， 所以， ， 两式相加可得 故数列的通项公式为； 所以 又 将以上两式相减得 所以． （ⅱ）由题， 数列满足， 即， 则， 所以， 两式相减得 所以， 当时，，所以． 【点睛】关键点睛：求解出通项公式是研究数列其他性质的前提，本题多次考到数列和其前项和的关系，常见的处理方法是消去，得出新的递推关系，从而进行化简整理. 10．（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 题型五 其他求和方法 【例题精讲】 1．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求得数列的通项公式； （2）利用分组求和法可求得； （3）若为偶数，由（2）可求得，为奇数，利用，可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， 解得 ，. （2） （3）由（2）可知 若为偶数，则 若为奇数，若 若，则 综上，. 2．（25-26高二上·安徽·期末）已知数列满足且． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)令，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题设得到即可由等比数列定义得证并求出通项公式； （2）由错位相减法结合等差等比前n项和公式计算即可； （3）由计算，从第三项起进行放缩结合等比数列前n项和公式计算即可求证； 【详解】（1）因为且， 所以，即 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）， 所以数列的前项和 ； 所以， 所以， 所以， 所以； （3）， 所以的前项和为 . 3．（25-26高三上·山西太原·月考）已知数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前100项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)94 【分析】（1）由与的关系可得，根据等差数列的定义即可证明； （2）找到为整数时的临界值，再分区间计算，相加可得结果. 【详解】（1）由，可得，则， 即，，所以是首项为2，公差为1的等差数列. （2）由（1）得，所以，， 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； . 4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知数列 的前n项和为 且 (1)记 求数列 的通项公式； (2)记 求数列 前n项的和 . 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据数列前项和的定义可知，可化简，最终求得通项公式； （2）利用对数公式可得，再利用（1）中的通项公式，即可得到的通项公式，进而求得； 【详解】（1）当时，，又因为，所以，化简得：，即； 因为，所以，所以为等差数列，且公差为， ，根据等差数列的通项公式得：； （2）； 由（1）得：，；，所以； 5．（25-26高三上·天津南开·月考）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列定义求解； （2）利用裂项相消法求解； （3）根据的符号，分段求解. 【详解】（1）① ② ①②得   ∴ ∴ 故数列是首项，公差为2的等差数列．∴． （2）令， 所以， （3）令，当时，；当时， 设数列的前项和为， 则， 当时，则， 当时，则 综上：． 6．（25-26高三上·天津南开·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 7．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）如图，正方形ABCD的边长为，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，其边长记为；然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，其边长记为；依此方法一直继续下去，则记第个正方形的边长为.已知，.    (1)求，； (2)记第n个正方形区域未被第个正方形区域覆盖的面积为，求使得成立的n的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据条件列出的递推公式，判断数列是等比数列，根据等比数列的通项公式得到，进而可得. （2）先用累加法得到，列出不等式，设，利用数列的单调性解不等式即可. 【详解】（1）由题意，，即， 所以为等比数列，公比为，，所以. 所以，，. （2）由题意，， ， ， 设，则为单调递减数列， 且， 又，所以 . 的最小值是5. 8．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）用基本量表示已知可求，进而求通项公式； （2）证明是递增数列可证；放缩求和可证. 【详解】（1）设等差数列公差为，则， 由题可得，解得， 所以. （2）由（1），， 所以， 所以是递增数列. 所以，且， 所以. 9．（2025高三·全国·专题练习）求证：，，． 【答案】证明见解析 【分析】利用定积分估计和式的上下界证明不等式，根据定积分的几何意义得，求和即可得证． 【详解】考虑函数在区间上的定积分． 如图，显然． 对求和， ． 10．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，试比较与的大小，并证明． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知可得，利用累加法求数列的通项公式； （2）解法1：结合（1）可得，进而求得，，利用作差法判断的单调性，可证结论.解法2：利用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由知， 由累加法得，当时，， 代入得时，， 故． （2）解法1：时，，则， 记函数， 所以， 则， 所以． 由于，此时； ，此时； ，此时； 由于，故时，，此时． 综上所述，当，时，；当时，． 解法2：数学归纳法 由，猜想：． 当时，成立；假设当时成立，即， ，即时成立，故成立． 综上所述，当，时，；当时，． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第37讲 数列求和 题型一 分组（并项）求和 2 题型二 裂项相消法求和 5 题型三 错位相减法求和 6 题型四 倒序相加法求和 8 题型五 其他求和方法 10 【基础回顾】 知识点：数列求和的几种常用方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 ①已知等差数列的第1项和第n项，求前n项和Sn＝； ②已知等差数列的第1项和公差，求前n项和Sn＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时， ①已知等比数列的第1项和第n项，求前n项和Sn＝； ②已知等比数列的第1项和公比，求前n项和Sn＝. 2．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的． 【必备知识】 1．1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2．12＋22＋…＋n2＝. 3．裂项求和常用的变形 (1)分式型：＝， ＝， ＝等． (2)指数型：＝－，＝－ 等． (3)根式型：＝(－)等． (4)对数型：logm＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1. 题型一 分组（并项）求和 1.分组求和的常见类型 2.并项求和的定义、适用条件及注意事项 定义 一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和 适用条件 an＝(－1)nf(n)类型或周期型数列可采用并项求和法 注意 一般对n分奇偶进行讨论，结果一般用分段形式表示 【例题精讲】 1．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列满足，． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 2．（辽宁朝阳市2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题）等差数列的前项和为，，，数列满足 . (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 4．（2026·天津河北·二模）若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由. 5．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）设是正项数列，且其前项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和； (3)令，记，求． 6．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知数列为等差数列，且，公差；数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)记数列的前n项和为，且，求． 7．（2026·辽宁朝阳·三模）已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 8．（山东泰安市2026届高三下学期5月检测数学试题）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足 求数列的前2n项和． 9．（2026·吉林延边·三模）数列满足，． (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若 ，设数列的前n项和为，求． 10．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 题型二 裂项相消法求和 利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，则＝，＝. 【例题精讲】 1．（2026·陕西榆林·三模）已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 2．（2026·云南·模拟预测）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求的取值范围. 3．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的公比； (2)求的前n项和． 4．（25-26高二下·安徽·期中）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，证明：． 5．（25-26高二下·四川资阳·期中）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证： 6．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列的前项和为，且，. (1)求； (2)求的通项公式； (3)设数列的前项和为，证明：. 7．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和． 8．（2026·安徽淮南·二模）已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 9．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 10．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若表示不超过的最大整数，如，，记，求的值； (3)记，记数列的前项和为，若对，都有成立，求的取值范围. 题型三 错位相减法求和 1．错位相减法求和的适用条件 若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn. 2．错位相减法求和的步骤 3．错位相减法求和的注意事项 注意点一 在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn，特别是等比数列公比为负数的情形 注意点二 等式右边由第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成 注意点三 经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误 【例题精讲】 1．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 2．（25-26高二下·甘肃武威·期中）已知正项递增数列为等比数列，满足，，数列满足． (1)求，的通项公式； (2)数列满足，求的前n项的和． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列；求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 4．（25-26高二下·广西南宁·期中）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．（2026·云南昆明·二模）设数列满足． (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 6．（2026·山西·二模）已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列. (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：. 7．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 8．（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 9．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式．求数列的前项和； 10．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式． （i）求数列的前项和； （ii）记数列，若数列的前项和为，证明：． 题型四 倒序相加法求和 德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对1+2+3+⋯+100进行求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法． 【例题精讲】 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数的图象关于点对称，数列满足. (1)求实数a的值； (2)设，求数列的前n项和. 3．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数. (1)证明：为定值； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； (3)若数列的通项公式为，记.若（2）中的满足，求及的最大值. 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足 . (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 5．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 6．（2025高二·全国·专题练习）设， ，求的值． 7．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数． (1)求． (2)是否存在常数，对任意的，有？ 8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：． 9．（24-25高三上·天津·期末）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 10．（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 题型五 其他求和方法 【例题精讲】 1．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 2．（25-26高二上·安徽·期末）已知数列满足且． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)令，记的前项和为，证明：． 3．（25-26高三上·山西太原·月考）已知数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前100项和. 4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知数列 的前n项和为 且 (1)记 求数列 的通项公式； (2)记 求数列 前n项的和 . 5．（25-26高三上·天津南开·月考）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和． 6．（25-26高三上·天津南开·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 7．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）如图，正方形ABCD的边长为，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，其边长记为；然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，其边长记为；依此方法一直继续下去，则记第个正方形的边长为.已知，.    (1)求，； (2)记第n个正方形区域未被第个正方形区域覆盖的面积为，求使得成立的n的最小值. 8．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 9．（2025高三·全国·专题练习）求证：，，． 10．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，试比较与的大小，并证明． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $