6.6 数列求和(二)【题型突破】-2027届高三数学一轮复习讲义

该高中数学讲义聚焦数列求和核心考点，涵盖裂项相消、错位相减等方法，按通项特征选取解法并关联不等式分析。通过双基自测、核心梳理、题型突破（分等差型等四类）及限时训练的流程，帮助学生系统掌握高考高频题型，突破运算与方法灵活应用难点。 资料以分层设计和素养培养为特色，如裂项相消法通过等差型例1结合等差数列求通项再裂项求和证明不等式，培养数学思维与运算能力。限时训练分梯度设置，配合真题模拟题强化实战，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第六章 数 列 §6.6　数列求和(二) 【高考考向预测】 数列求和常用公式法、裂项相消、错位相减、分组求和等方法，结合通项特征选取对应解法，常关联最值与不等式分析；近三年高频出现在解答题，分值占比高；预测2027 年仍主打两类核心求和题型，兼顾求和与参数范围、大小比较结合考查，侧重运算功底与题型方法灵活选用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)当n≥2时，=-.(　 　) (2)=.(　 　) (3)已知等差数列{an}的公差为d，则=.(　 　) (4)=1+.(　 　) 2.化简式子+++…+，得(　　) A. B. C. D. 3.(2026·苏州模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，an=，若Sn=8，则n等于(　　) A.77 B.78 C.79 D.80 4.已知数列{an}满足an=2n-1，则数列的前5项和为(　　) A. B. C. D. 【核心梳理●明考点】 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧 ①=-. ②=. ③=. ④=-. ⑤=. 【题型突破●明方向】 题型一　裂项相消法求和 命题点1　等差型 例1　(2025·铜陵模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=35，a3为a1，a7的等比中项. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn=，记{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<. 命题点2　无理型 例2　(2025·永州模拟)已知函数f(x)=(x<-2)，点(n∈N*)在曲线y=f(x)上，且a1=1. (1)求证：数列为等差数列； (2)设bn=，记Sn=b1+b2+…+bn，求Sn. 命题点3　指数型 例3　(2026·佛山模拟)已知在数列{an}中，a2=4a1，且当n≥2时，an=3an-1+2. (1)求a1，a2的值； (2)求{an}的通项公式； (3)设bn=，数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn<. 命题点4　放缩型 例4　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N*. (1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有++…+<. 跟踪训练1　(2025·武汉模拟)已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且Sn+1+2=an+3n+Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求满足an>的n的最小值； (3)已知bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：-≤Tn<-. 题型二　数列求和在不等式中的应用 例5　(2025·无锡模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=+an-2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=，Tn为数列{bn}的前n项和.若-Tn≤对任意的n∈N*恒成立，求k的取值范围. 跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足(n-1)Sn-1-(n-3)Sn=2an，n≥2，a1=1. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为Tn，证明：当n≥2时，<Tn<. 【限时训练】 （40分钟） 1.(12分)(2026·成都模拟)已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，且an(2Sn-an)=1. (1)求S1，S2；(3分) (2)证明：是等差数列；(4分) (3)求数列的前n项和Tn.(5分) 2.(13分)(2025·南昌模拟)设{an}是各项都为正数的递增数列，已知a1=1，且an满足关系式(an+1+an-1)2=4an+1an，n∈N*. (1)证明：数列{}是等差数列；(5分) (2)令bn=(-1)n，求数列{bn}的前2n项的和T2n.(8分) 3.(15分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，5a4+S5=60，S7=49. (1)求数列{an}的通项公式；(7分) (2)设数列{bn}的前n项和为Tn，若bn=，求证：Tn<1.(8分) 4.(15分)已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1. (1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(6分) (2)证明：++…+<.(9分) 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数 列 §6.6　数列求和(二) 【高考考向预测】 数列求和常用公式法、裂项相消、错位相减、分组求和等方法，结合通项特征选取对应解法，常关联最值与不等式分析；近三年高频出现在解答题，分值占比高；预测2027 年仍主打两类核心求和题型，兼顾求和与参数范围、大小比较结合考查，侧重运算功底与题型方法灵活选用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)当n≥2时，=-.(　 　) (2)=.(　 　) (3)已知等差数列{an}的公差为d，则=.(　 　) (4)=1+.(　　) 【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√ 2.化简式子+++…+，得(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】+++…+ =×+×+×+…+× =×=. 3.(2026·苏州模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，an=，若Sn=8，则n等于(　　) A.77 B.78 C.79 D.80 【答案】D 【解析】依题意，an==-， 所以Sn=-1+-+…+-=-1， 由Sn=-1=8，解得n=80. 4.已知数列{an}满足an=2n-1，则数列的前5项和为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为an=2n-1，所以an+1=2n+1-1. 所以= ==-. 所以的前5项和为++…+ =-=1-=. 【核心梳理●明考点】 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧 ①=-. ②=. ③=. ④=-. ⑤=. 【题型突破●明方向】 题型一　裂项相消法求和 命题点1　等差型 例1　(2025·铜陵模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=35，a3为a1，a7的等比中项. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn=，记{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<. (1)【解析】设{an}的公差为d(d≠0)， 则S7=7a4=35，所以a4=5， 又a3为a1，a7的等比中项， 则=a1a7⇒(5-d)2=(5-3d)(5+3d)， 解得d=1，故an=a4+d(n-4)=n+1. (2)【证明】由(1)可知bn===， 所以Tn=×+×+×+…++ = =-， 易知+>0，所以Tn<， 令f(n)=+(n∈N*)，显然f(n)在定义域上单调递减，f(n)≤f(1)=， 所以Tn≥-×=，故≤Tn<. 命题点2　无理型 例2　(2025·永州模拟)已知函数f(x)=(x<-2)，点(n∈N*)在曲线y=f(x)上，且a1=1. (1)求证：数列为等差数列； (2)设bn=，记Sn=b1+b2+…+bn，求Sn. (1)【证明】因为点在曲线y=f(x)上， 所以an=，且an>0， -=4(n∈N*)，又=1， 故数列是首项为1，公差为4的等差数列. (2)【解析】由(1)知=1+4(n-1)=4n-3， 则=. 因为an>0，所以an=， 则bn===， 故Sn=b1+b2+…+bn=++…+=. 命题点3　指数型 例3　(2026·佛山模拟)已知在数列{an}中，a2=4a1，且当n≥2时，an=3an-1+2. (1)求a1，a2的值； (2)求{an}的通项公式； (3)设bn=，数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn<. (1)【解析】在数列{an}中，a2=4a1， 又当n≥2时，an=3an-1+2， 则a2=3a1+2， 联立 解得 (2)【解析】在数列{an}中，当n≥2时，an=3an-1+2， 则an+1=3an-1+3=3(an-1+1)， 又由(1)知a1=2，则a1+1=3， 所以=3， 则数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 则an+1=3×3n-1=3n，所以an=3n-1. (3)【证明】由(2)知an=3n-1， 则bn== =， 则数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+b3+…+bn =+++…+ ==-， 又n∈N*，则>0， 所以-<， 即Sn<. 命题点4　放缩型 例4　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N*. (1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有++…+<. (1)【解析】令n=1，=2a1=a2--1-， 又a1=1，解得a2=4. (2)【解析】由题意得2Sn=nan+1-n3-n2-n， 当n≥2时，2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1)， 两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-， 整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1)， 两边同时除以n(n+1)，得-=1. 又因为-=1， 所以是首项为=1，公差为1的等差数列， 所以=1+(n-1)×1=n， 即an=n2. (3)【证明】方法一　由=<=-，n≥2， ①当n=1时，=1<； ②当n=2时，+=1+<； ③当n≥3时，++…+<1++-+-+…+-=-<， 综上所述，对一切正整数n，有++…+<. 方法二　由==< =2， ①当n=1时，=1<； ②当n≥2时，++…+ <1+2 =-<. 【思维升华】裂项相消法的原则及规律 (1)裂项原则 一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. (2)消项规律 消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项. 常见的几种裂项结构： ①等差型：=(an≠0，d≠0). ②无理型：=-)(a>0，b>0). ③指数型：=-. ④放缩型：(ⅰ)<=； (ⅱ)-<<-； (ⅲ)2(-)<<2(-). 跟踪训练1　(2025·武汉模拟)已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且Sn+1+2=an+3n+Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求满足an>的n的最小值； (3)已知bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：-≤Tn<-. (1)【解析】由已知Sn+1+2=an+3n+Sn， 则an+1=Sn+1-Sn=an+3n-2， 即an+1-an=3n-2，则当n≥2时，an-an-1=3n-5，an-1-an-2=3n-8，…，a2-a1=1， 等式左右两边分别相加可得an-a1=(3n-5)+(3n-8)+…+1 ==， 又a1=2，则an=+2=(n≥2). 又a1=2符合上式，所以an=(n∈N*). (2)【解析】由(1)得an=，且an>， 即>， 化简可得(3n-1)(n-3)>0， 又n∈N*，即n>3， 所以满足an>的n的最小值为4. (3)【证明】依题意得，bn====， 则Tn= ==--， 又n∈N*，所以∈， 所以Tn=--∈， 即-≤Tn<-. 题型二　数列求和在不等式中的应用 例5　(2025·无锡模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=+an-2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=，Tn为数列{bn}的前n项和.若-Tn≤对任意的n∈N*恒成立，求k的取值范围. 【解析】(1)2Sn=+an-2， ① 且an>0， 当n=1时，代入①得a1=2； 当n≥2时，2Sn-1=+an-1-2. ② ①-②得2an=-+an-an-1，整理得an+an-1=-=(an-an-1)(an+an-1)， 因为an>0，所以an-an-1=1(n≥2)， 又a1=2，所以数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，所以an=n+1. (2)bn=，Tn=2×+3×+4×+…+(n+1)×， ③ Tn=2×+3×+4×+…+n×+(n+1)×， ④ ③-④得Tn=2×+++…+-(n+1)×=+- =-， 所以Tn=-， 又Sn=，-Tn≤， 化简得k≥， 令cn=，cn+1-cn=， 所以c1<c2>c3>c4>…， 所以cn的最大值为c2=，所以k≥. 所以k的取值范围为. 【思维升华】利用数列求和解决不等式恒成立问题的一般思路 (1)将不等式转化为数列求和的形式. (2)通过求和公式或递推关系求出数列的和. (3)分析和的表达式或性质，确定不等式恒成立的条件. 跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足(n-1)Sn-1-(n-3)Sn=2an，n≥2，a1=1. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为Tn，证明：当n≥2时，<Tn<. (1)【解析】根据题意，当n≥2时，(n-1)Sn-1-(n-3)Sn=2an⇔(n-1)Sn-1-(n-3)Sn=2Sn-2Sn-1⇔(n+1)Sn-1=(n-1)Sn. 方法一　因为=， 所以Sn=··…··S1=····…···1=(n≥2)， 当n=1时，S1=1，也满足Sn=. 故数列{Sn}的通项公式为Sn=. 方法二　可得=， 所以数列是常数列， ==⇔Sn=. (2)【证明】Sn=⇔Sn-1=⇔an=Sn-Sn-1=n，n≥2， 首项a1=1也满足上式，所以an=n， 所以<=<， 设bn==-， 数列{bn}的前n项和为-+-+…+-=1-=， 所以Tn>； 分析可得，数列从第2项开始放缩成-， 设cn= 数列的前n项和为1+1-+-+…+-=2-=， 所以当n≥2时，<Tn<. 【限时训练】 （40分钟） 1.(12分)(2026·成都模拟)已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，且an(2Sn-an)=1. (1)求S1，S2；(3分) (2)证明：是等差数列；(4分) (3)求数列的前n项和Tn.(5分) (1)【解析】由an(2Sn-an)=1， 令n=1，有=1， 因为an>0，所以a1=1. 令n=2，有a2(a2+2a1)=1， 即+2a2=1，由a2>0， 解得a2=-1. 所以S1=1，S2=. (2)【证明】当n≥2时，由an=Sn-Sn-1， 代入an(2Sn-an)=1， 化简得(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=1， 即-=1(n≥2)， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. (3)【解析】由(2)可知=n. 因为{an}是正项数列， 所以Sn>0，从而Sn=. 由==-)， 所以Tn=[(-1)+(-)+(-)+…+(-)+(-)] =+--1)， 所以数列的前n项和Tn=+--1). 2.(13分)(2025·南昌模拟)设{an}是各项都为正数的递增数列，已知a1=1，且an满足关系式(an+1+an-1)2=4an+1an，n∈N*. (1)证明：数列{}是等差数列；(5分) (2)令bn=(-1)n，求数列{bn}的前2n项的和T2n.(8分) (1)【证明】由{an}是各项都为正数的递增数列， 得an+1>an≥a1=1， 而=4an+1an， 则an+1+an-1=2， 整理得=1， 因此-=1，又=1， 所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列. (2)【解析】由(1)知=1+(n-1)×1=n， 所以an=n2， 则bn=(-1)n=(-1)n =(-1)n·， b2n-1+b2n=-+ =， 所以T2n=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n) = ==-. 3.(15分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，5a4+S5=60，S7=49. (1)求数列{an}的通项公式；(7分) (2)设数列{bn}的前n项和为Tn，若bn=，求证：Tn<1.(8分) (1)【解析】设数列{an}的公差为d， 依题意可得 即解得 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1. (2)【证明】由(1)可得Sn==n2， 所以bn==-. Tn=b1+b2+b3+…+bn=+++…+ =1-<1. 4.(15分)已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1. (1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(6分) (2)证明：++…+<.(9分) (1)【解析】由an+1=3an+1， 得an+1+=3， 又a1+=， 所以是首项为，公比为3的等比数列，an+=， 因此{an}的通项公式为an=. (2)【证明】方法一　(等比放缩) 由(1)知=， 因为当n≥1时，3n-1≥3n-3n-1=2×3n-1， 所以≤，即≤， 于是++…+≤1++…+ =<， 所以++…+<. 方法二　(裂项放缩) 由== <=3， 所以++…+ <3 =3<. 方法三　(糖水不等式) 由=≤=， ++…+≤1++…+ =<. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $