奥数第10讲 4、8、9整除的数字特征（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

【人教版】四年级上册奥数培优讲义·第10讲 4、8、9整除的数字特征 教学目标与学情分析 三维教学目标 · 知识与技能： · 掌握整除三大核心性质；熟记 2、3、4、5、8、9 的整除判定规则，学会利用末两位、末三位、数位和判断整除；掌握互质因数拆分法，可判断 6、12、24、36、72 等复合数整除性。 · 过程与方法： · 学会代数拆分数字推导整除规律；掌握填数字、组数、数字谜三类标准解题步骤，培养分类讨论、逆向推理数学思维。 · 情感态度与价值观： · 感受数字内在规律，养成分步验证、有序枚举的严谨习惯；体会整除知识在生活购物、计算中的实际用途。 教学重难点 · 重点： · 整除三大性质；4、8、9 专属整除特征；互质拆分法判断复合除数。 · 难点： · 利用整除特征逆向求解遮盖数字；限定条件下的组数问题；生活类数字谜应用； 前言 华罗庚说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 数的整除是小学数论入门核心内容，本讲承接三、四年级基础整除知识点，重点学习整除三大性质、4/8/9 专属整除特征、复合数拆分判定三大拔高题型。讲义主体分为三大板块： 经典范例：6 道梯度例题，由基础数字判断逐步过渡到数字填空、组数、数字谜； 综合拓展：2 道竞赛拔高题型，融合多除数综合判定、生活实际应用题； 巩固练习：8道分层习题，全面覆盖本讲全部核心考点，配套完整分步解题思路。 希望同学们吃透整除判定规则与拆分万能方法，遇到各类整除题型都能快速拆解、精准推导！ 一、知识点精讲 （一）整除的三大核心性质 设 均为非 0 自然数： 1. 传递性：若 能被 整除， 能被 整除，则 能被 整除。 · 例：12 能被 6 整除，6 能被 3 整除，所以 12 能被 3 整除。 2. 和差性：若 都能被 整除，则 与 也能被 整除。 · 例：12 和 18 都是 3 的倍数，那么 30 (12+18) 和 6 (18-12) 也是 3 的倍数。 3. 互质积性质（解题核心）：若 同时被两个互质数 、 整除，则 能被 整除。 · 应用：判断能否被 6、12、24、36、72 整除，通常拆分为互质因数双重验证。 （二）常见数的整除判定特征汇总 除数 判定口诀 原理简述 2 个位是 0, 2, 4, 6, 8 偶数特征 5 个位是 0 或 5 末位特征 3 所有数位数字之和是 3 的倍数 弃九法基础 9 所有数位数字之和是 9 的倍数 弃九法基础 4 末两位组成的数能被 4 整除 是 4 的倍数 25 末两位组成的数能被 25 整除 是 25 的倍数 8 末三位组成的数能被 8 整除 是 8 的倍数 125 末三位组成的数能被 125 整除 是 125 的倍数 ⚠️ 【易错点提示】 · 判断 4 的倍数看末两位，不是末一位！ · 判断 8 的倍数看末三位，不是末两位！ · 数字谜首位不能为 0，组数题优先限制首位数字 · 余数推论：一个数除以 4 的余数 = 它末两位除以 4 的余数；除以 8 的余数 = 它末三位除以 8 的余数。 （三）复合除数拆分技巧（解题金钥匙） 遇到合数除数，先拆分为互质的两个数，分别满足条件： · 被 6 整除 同时满足被 2 和 3 整除； · 被 12 整除 同时满足被 3 和 4 整除； · 被 36 整除 同时满足被 4 和 9 整除； · 被 72 整除 同时满足被 8 和 9 整除。 ⚠️ 【易错点提示】 拆分复合数必须保证两个因数互质（如 18=2×9，不可拆 3×6） 二、经典例题 【例 1】多位数整除判断★ 题目：在 234，789，7756，8865，3728，8064 中，找出能被 4、8、9 整除的数。 【思路引导】 ①看 4：检查末两位（56, 28, 64）。 ②看 8：检查末三位（728, 064）。 ③看 9：计算数字和（2+3+4=9...）。 【解答】 ①能被 4 整除：只看末两位 7756 末两位 56、372 末两位 28、8064 末两位 64 均可 ÷4，对应数字：7756、3728、8064； ②能被 8 整除：只看末三位 3728 末三位 728、8064 末三位 064 均可 ÷8，对应数字：3728、8064； ③能被 9 整除：数位和为 9 的倍数 234：；8865：；8064：。 答： 能被 4：7756、3728、8064； 能被 8：3728、8064； 能被 9：234、8865、8064。 🚀【随堂小练】判断 1356、5112、918 分别可被 4、8、9 中哪些数整除。 （答案：1356被4整除；5112被4、8、9整除；918被9整除。） 【例 2】四位数填空问题★ 题目：四位数 ，方框内填几，这个数能分别被 9、8、4 整除？ 【思路引导】 ①被 9 整除：数字和必须是 9 的倍数。 ②被 8 整除：末三位 必须是 8 的倍数。 ③被 4 整除：末两位 2 已经是 4 的倍数，只需考虑其他位。 【解答】 ①被 9 整除：数位和是 9 的倍数，仅符合，填 7； ②被 8 整除：看末三位，320÷8=40、328÷8=41，填 0 或 8； ③被 4 整除：看末两位，20、24、28均可÷4，填 0、4、8。 答：被 9 整除填 7；被 8 整除填 0、8；被 4整除 填 0、4、8。 🚀【随堂小练】四位数，分别求出能被 4、9 整除的方框数字。 （答案：被4整除填0、2、4、6、8；被9整除填1。□=1时数字和=3+1+1+4=9，可被9整除） 【例 3】限定数字组数（2, 3, 5 公倍数）★ 题目：从 0、2、5、7 中任选 3 个数字组成三位数，能同时被 2、3、5 整除，从小到大排列。 【思路引导】 ①被 2、5 整除 个位必须是 0。 ②被 3 整除 剩余两位数字之和必须是 3 的倍数。 【解答】 ①同时被 2、5 整除→个位必须是 0； ②剩余两数之和是 3 的倍数：，，两组有效组合； ③组成数字：270、720、570、750。 从小到大排序：。 答：符合条件的数为 270、570、720、750。 🚀【随堂小练】用 0、1、8 组成同时被 2、3、5 整除的三位数。 （答案：180、810） 【例 4】五位数数字谜（72 的倍数）★★★ 题目：五位数 能被 72 整除，求数字 A、B。 【思路引导】 （8和9互质），需同时满足被 8 和 9 整除。 【解答】 ①被 8 整除：末三位 能被 8 整除。 试商： 。所以 B = 2。 ②被 9 整除：数字和 是 9 的倍数。 是 9 的倍数 （和为27）或 （舍去）。 所以 A = 3。 结论：A=3，B=2。该数为 36792。 🚀【随堂小练】五位数 能被 72整除，求两个方框数字。 【解答】 设五位数为，其中a为百位数字,b为个位数字(a,b∈{0,1,…,9}) 因为 72=8×9，8 和 9 互质，因此这个五位数需要同时能被 8、9 整除。 ①被 8 整除的条件：只看末三位组成的数。 因为100÷8的余数为4，所以条件变成(4a+b)能被 8 整除： ②被 9 整除的条件： 各位数字之和：2+4+a+8+b=14+a+b，必须能被 9 整除，所以： （a+b）÷9余数是4； ③ 分情况讨论 由①可知，b 的取值只与a 的奇偶性有关： 当 a 为偶数时，b÷8余数为0，所以b=0； 当a 为奇数时，b÷8余数为4，所以b=4。 情况一：a 为偶数，b=0 代入②：（a+0）÷9余数是4，且 a 为偶数，0≤a≤9，可得 a=4。 此时五位数为 24480，验证：24480÷72=340，成立。 情况二：a 为奇数，b=4 代入②：（a+4）÷9余数是4，即 a整除9，且a 为奇数，0≤a≤9，可得 a=9。 此时五位数为 24984，验证：24984÷72=347，成立。 所以，方框中的数字有两组解：(4,0) 或 (9,4)。 答：五位数为 24480 和 24984。 【例 5】六位数计数问题★★★ 题目：六位数 为 6 的倍数，一共有多少个？ 【思路引导】 ，同时满足被 2、3 整除。 【解答】 ①被 2 整除：末位 A 为偶数，可取 0、2、4、6、8，共 5 种； ②数位和：，一定是 3 的倍数，只需是 3 的倍数，B 可取 0、3、6、9，共 4 种； ③搭配总数：种。 答：共 20 个符合条件的六位数。 🚀【随堂小练】六位数是 6 的倍数，X 有几种取值？ （答案：末位X为偶数，X可取0、2、4、6、8；数位和1+2+3+3X=6+3X 一定是3的倍数，无需额外限制。共5种。） 【例 6】最小商整除构造★★★ 题目：六位数 能被 36 整除，且商最小，求 A、B、C。 【思路引导】 。4、9 互质，需同时满足被4和9整除，双重条件。。 【解答】 1 被 4 整除：末两位,可被4整除，枚举C=0~9：52、56可被4整除，所以 C=2 或 C=6； 2 被 9 整除：数位总和，即 只能等于 18（）； 情况一：C=2 11+A+B+2=13+A+B 需为9的倍数 最小可能： 13+A+B=18 → A+B=5 优先A最小：A=0，B=5 → 六位数 150552 验算：150552÷36=4182，整除。 情况二：C=6 11+A+B+6=17+A+B 需为9的倍数 最小可能：17+A+B=18 → A+B=1 A=0，B=1 → 六位数 150156 验算：150156÷36=4171，整除。 ③比较两个候选数：150156 < 150552，所以取更小的150156。 答：，六位数为 150156。 🚀【随堂小练】能被 36 且最小，求 M、N。 （答案：末两位  被4整除，N=2或6；数位和 6 + M + N 为9倍数，枚举得最小为20124，M=1，N=2。） 三、拓展提升 【拓展 1】多除数综合判断★★★ 题目：判断 6539724 可以被 4、8、9、24、36、72 中哪些数字整除。 【解答】 4：末两位 24，能被 4 整除。✅ 8：末三位 724， ，不能。❌ 9：数字和 ，能被 9 整除。✅ 24 ( )：不能被 8 整除，故不能。❌ 36 ( )：同时满足 4 和 9，能。✅ 72 ( )：不能被 8 整除，故不能。❌ 答：可被 4、9、36 整除。 【拓展 2】生活发票数字谜★★★★ 题目：72 个足球总价 元，无角分（即总价为整数，且能被72整除），求足球单价。 【解答】 ①由题意，去掉小数点，总价整数形式为 元。 ②能被 72 整除 被 8 和 9 整除。 被 8整除： 能被 8 ，； 被 9整除：数位和 是 9 倍数 ，。 ③总价 367.92 元。单价 元。 ④ 验算：，符合题意。 答：每只足球 5.11 元。 四、巩固练习 📝基础练习★ 1. 填空★：写出所有个位是 5、且能被 9 整除的三位数，统计个数。 2. 组数★：四位数，百位为 3、十位为 6 的四位数，既能被 2 又能被 3 整除，求最大、最小数。 3. 计算★★：五位数 能被 12 整除，求出完整五位数。 4. 最值★★：四位数 能被 24 整除，求最大、最小四位数。 5. 构造★★：在 123 左右各添加 1 个数字，组成五位数，使五位数能被 72 整除。 五、拓展练习 1.★★★【题目】从 0，2，3，6，7 五个数码选出四个无重复数字，组成能被 8 整除的四位数，一共多少个？ 2.★★★★【题目】学校采购 36 套文具，发票总价为元（无角分，能被 36 整除），求每套文具单价。 六、基础练习参考答案与简析🔑 1. 解：个位固定 5，百位 1~9，十位 0~9，百位 + 十位 + 5 是 9 倍数。 ①和 = 9：百位 + 十位 = 4，组合 (1,3)(2,2)(3,1)(4,0)，4 个； ②和 = 18：百位 + 十位 = 13，组合 (4,9)(5,8)(6,7)(7,6)(8,5)(9,4)，6 个； 总数：个。 答：共 10 个。 2. 四位数，； 被 2整除：b 为偶数 0、2、4、6、8； 被 3整除：，是 3 倍数； 最小：a=1，b=2 → 1362； 最大：a=9，b=6 → 9366。 修正完整书写：最大四位数 9366、最小四位数 1362。 3. 解：，同时满足。 被 4：末两位，可整除4，需 A=2 或 6； ①A=2：数字和，是 3 倍数，五位数 42972； ②A=6：数字和 32，不是 3 倍数，舍去。 答：完整五位数为 42972。 4. 最大 8232，最小 1236。 被8整除： 能被8整除 b=2 (232) 或 b=6 (236)。 被3整除： 是3倍数，a 最小 2，最大 8，数字 2232、8232； b=2时， 是3倍数 a 最小 2，最大 8，数字 2232、8232； b=6时， 是3倍数 a 最小 1，最大 7，数字 1236、7236； 综上：最大 8232，最小 1236。 5. 解：五位数， 被8整除： 能被8 y=2。 被9整除： 是9倍数 x=1； 完整五位数：11232。 七、拓展练习参考答案📚 1.解：优先枚举可整除 8 的末三位，千位不能为 0，剔除重复数字组合。 ①末三位以0结尾：末三位为 ab0‾ab0，需被8整除。枚举所有三位组合，且千位不能为0。 ②末三位以2、6结尾，同理枚举。 按末三位从小到大分类统计： 末三位=032：032‾=32032=32，32÷8=4，千位可选6、7（0、3、2已用）→ 6032、7032，2个 末三位=072：72÷8=9，千位可选3、6（0、7、2已用）→ 3072、6072，2个 末三位=320：320÷8=40，千位可选6、7（3、2、0已用）→ 6320、7320，2个 末三位=360：360÷8=45，千位可选2、7（3、6、0已用）→ 2360、7360，2个 末三位=376：376÷8=47，千位可选2（0、3、7、6已用）→ 2376，1个 末三位=632：632÷8=79，千位可选7（0、6、3、2已用）→ 7632，1个 末三位=672：672÷8=84，千位可选3（0、6、7、2已用）→ 3672，1个 末三位=720：720÷8=90，千位可选3、6（7、2、0已用）→ 3720、6720，2个 末三位=760：760÷8=95，千位可选2、3（7、6、0已用）→ 2760、3760，2个 合计：2+2+2+2+1+1+1+2+2=15个 答： 共15个符合条件的四位数。 2.解：步骤 1：转化整数，拆分除数 总价四位数整数，该整数能被 36 整除。 ，4 与 9 互质，因此这个四位数同时能被 4、9 整除。 步骤 2：根据能被 4 整除求末尾数字 能被 4 整除判定规则：只看最后两位，四位数末两位是。 满足无余数，枚举 0~9： 12÷4=3、16÷4=4，因此 或 。 步骤 3：分两种情况，结合能被 9 整除筛选 能被 9 判定规则：所有数位数字之和是 9 的倍数，数字和 =。 数字是千位，取值范围。 情况① 数字和，为 9 的倍数： → ；→（一位数，舍去） 得到整数：2412，对应总价 24.12 元。 情况② 数字和，为 9 的倍数： → ；→（无效） 得到整数：7416，对应总价 74.16 元。 步骤 4：分别计算两套单价 总价 24.12 元，36 套： 元 总价 74.16 元，36 套： 元 步骤 5：验算 ① ，整数 2412，末两位 12 能 ÷4，数字和能 ÷9，符合； ② ，整数 7416，末两位 16 能 ÷4，数字和能 ÷9，符合。 最终答案:有两种合理价格：每套 0.67 元 或 每套 2.06 元。 学科网（北京）股份有限公司 $