精品解析：广东深圳实验学校2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

深圳实验学校2025-2026学年第二学期期末联考 初二年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 五边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵n边形的内角和公式为， 五边形的边数， ∴代入公式得． 2. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得，由作法可知，是的平分线，得，由作法可知，是线段的垂直平分线，得，再由三角形外角定理即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法可知，是的平分线， ∴， 由作法可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 3. 如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 4. 直线经过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出k的值，再解不等式即可得到答案． 【详解】解：把代入得，解得， 解不等式得， 即不等式的解集是． 5. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断每个选项是否符合平方差公式的形式．本题主要考查了平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征（两个数的平方差，即）是解题的关键． 【详解】解：不是两个数的平方差形式．故A项错误． ，是完全平方公式，不是平方差公式．故B项错误． ，符合平方差公式形式．故C项正确． ，不是两个数的平方差形式．故D项错误． 故选：C． 6. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：根据等式性质，等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立，∵，两边同时加，得，∴ A变形正确； 根据等式性质，等式两边同时乘(或除以)同一个不为的数，等式仍然成立，∵，两边同时除以，得，∴B变形正确； ∵， ∴， 根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∵，两边同时除以正数，得，∴C变形正确； ∵无法确定的符号，当时，不等式两边同时除以，不等号方向改变，若，可得，因此D变形错误． 7. 图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ） A. 区域1处 B. 区域2处 C. 区域3处 D. 区域4处 【答案】C 【解析】 【详解】解：把正方形添加在区域3处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形． 8. 如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四个结论：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件先证出四边形是矩形，再证出，得到；根据条件证明即可证明，根据等量关系得 即可得到的值为定值，最后根据得到最小时，最小，求出即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ∴（） ∴ ∴，②正确； ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴ ∴ ， ∴的定值为，③正确； ∵, ∴当最小时，最小， ∴当 时，最小， 在中，， ∵ ∴， ∴， ∴线段的最小值为，④正确． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段的最值问题，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义等价于分母不为零，据此列不等式求解即可 【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为0， ∴， 移项得， 系数化为1得． 11. 如图，在四边形中，，平分．将四边形绕点A按逆时针方向旋转一个角度，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义 ，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义和旋转的性质的度数即可． 【详解】解：，平分． ， 又旋转的性质，可得， ， 即四边形旋转的角度是． 故答案为：75． 12. 如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有____________（填序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】①根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，,． ①， ∴， ∴． ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 故①正确； ②∵， ∴， ， ∴， ∴． 同理可得： ∵， 四边形是平行四边形． 故②正确； ③经过点O，，的位置未知，不能判断四边形是平行四边形， 故③不正确； 故答案为：①②． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 13. 如图，四边形是一个由5张纸片拼成的菱形（相邻纸片之间互不重叠），其中四张纸片为大小形状相同的平行四边形，连接，，，．记，，若，则小平行四边形纸片长边与短边的长度的比值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及面积公式，解题关键在于根据等高三角形面积比等于底边之比，由得出，再由，从而得出，由此即可解题． 【详解】如图，连接，设与交点为， 与交点为， 由题可知四边形和四边形都是菱形，且共用对角线， ∴，， ∴， ∵，，， ， 设，则， ，， ∴， ， ∴， ∴ ， ∴， ， 由图可知是小平行四边形纸片长边与短边的差， ∴，即等于小平行四边形纸片的长边， ∴小平行四边形纸片长边与短边的长度的比值为4． 三、解答题（共8小题，共61分） 14. 解不等式组，把解集表示在数轴上． 【答案】， 数轴如图： 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法先求解出不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式组， 由，可得，解得， 由，可得，解得， ∴不等式组的解集为， 数轴略． 15. 阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解因式． 方法如下：拆两头，拆为，，拆为，， 然后排列如下：． 交叉相乘，积相加得，凑得中间项， 所以分解为． （1）用因式分解法解方程． 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （2）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （3）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【答案】（1）， ， 或， 所以，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）方程去分母转化成一元一次方程，然后求解检验即可； （3）首先解方程得到，然后得到，然后代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为； 【小问3详解】 解：设原题中“◆”是， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 16. 如图，三角形的三个顶点都在小正方形的格点上．将三角形先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到三角形，其中点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F． （1）在图中画出三角形； （2）直接写出D、E、F的坐标：D（ ， ）；E（ ， ）；F（ ， ）； （3）三角形的面积为______； 【答案】（1）见解析 （2）2，6；0，2；6，3； （3）11 【解析】 【分析】（1）根据平移方式可确定点D、E、F的坐标，在坐标系中描出点D、E、F，并顺次连接点D、E、F即可； （2）根据（1）即可得到答案； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）得 【小问3详解】 解：由（1）得． 17. 年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用元购进、两种世界杯吉祥物共个，且用于购买种吉祥物与购买吉祥物的费用相同，且种吉祥物的单价是种吉祥物的倍． （1）求、两种吉祥物的单价各是多少元？ （2）世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，于是计划用不超过元的资金再次购进、两种吉祥物共个，已知、两种吉祥物的进价不变．求种吉祥物最多能购进多少个？ 【答案】（1）种吉祥物的单价是元，种吉祥物的单价是元 （2）种吉祥物最多能购进个 【解析】 【分析】（1）设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元，列出分式方程即可求解； （2）设种吉祥物最多能购进个，则此时种吉祥物能购进个，且为整数，根据题意列出不等式，解不等式即可作答． 【小问1详解】 设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元， 根据题意，有：， 解得：， 经检验，是原方程的根， （元）， 答：种吉祥物的单价是元，种吉祥物的单价是元； 【小问2详解】 设种吉祥物最多能购进个，则此时种吉祥物能购进个，且为整数， 根据题意，有：， 解得：， 即：种吉祥物最多能购进个． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式的应用，明确题意，列出相应的分式方程和不等式是解答本题的关键． 18. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，则求的长． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，，再利用三角形内角和定理得到，即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，，利用含30度角的直角三角形的性质得到，利用线段的和差关系求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 19. 已知菱形纸片ABCD的边长为，∠A=60°，E为边上的点，过点E作EF∥BD交AD于点F．将菱形先沿EF按图1所示方式折叠，点A落在点处，过点作GH∥BD分别交线段BC、DC于点G、H,再将菱形沿GH按图1所示方式折叠，点C落在点处，与H分别交与于点M、N．若点在△EF的内部或边上，此时我们称四边形（即图中阴影部分）为“重叠四边形”． (1)若把菱形纸片ABCD放在菱形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A、B、C、D、E恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠四边形的面积； (2)实验探究：设AE的长为，若重叠四边形存在．试用含的代数式表示重叠四边形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）． 【答案】(1)重叠四边形A′MC′N的面积为2 (2) 用含m的代数式表示重叠四边形A′MC′N的面积为(8−m)2；m的取值范围为≤m＜8． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质，即可证得四边形A′MC′N是菱形，然后由A′M=2，∠A′=60°，即可求得MN=2，A′C′=2，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得重叠四边形A′MC′N的面积； （2）首先由折叠的性质，证得A′M=GM=BE，然后由AE=m，则A′M=8-m，根据（1）的方法，即可求得用含m的代数式表示重叠四边形A′MC′N的面积． 【详解】（1）根据题意得：∠A′=∠C′=60°，∠C′MA′=∠C′NA′=120°， ∴四边形A′MC′N是平行四边形， ∵A′M=C′M， ∴四边形A′MC′N是菱形， ∵A′M=2，∠A′=60°， ∴MN=2，A′C′=2， ∴重叠四边形A′MC′N的面积为：MN•A′C′=×2×2=2； （2）根据题意得：BE∥GM，BC∥A′E， ∴四边形BEMG是平行四边形， ∴GM=BE， ∵∠MGA′=∠A′MG=60°， ∴△A′GM是等边三角形， ∴A′M=GM=BE， ∵AE=m，则A′M=8-m， 由（1）得：MN=8-m，A′C′=（8-m）， ∴用含m的代数式表示重叠四边形A′MC′N的面积为(8−m)2； ∴m的取值范围为≤m＜8． 【点睛】此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题图形较复杂，难度适中，解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用． 20. 综合与探究：如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点从点出发沿向终点运动，速度为每秒个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点，作轴，交折线于点，设运动时间为． （1）求点的坐标： （2）在点，点运动过程中， ①当点分别在上时，求证四边形是矩形； ②在点，点的整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你直接写出的值； （3）点是平面内一点，在点的运动过程中，问是否存在以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①见解析；②或 （3）存在，或或． 【解析】 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式可求出的值，根据直线与轴的交点，可求出点的坐标； （2）①如图所示，过点作轴于点，可求出是等腰三角形，可得，根据点的运动情况可得，可证，由此矩形的判定方法即可求证；②分类讨论，第一种情况，当点分别在上时，若四边形是正方形；第二种情况，当分别在上时，如图，同理可证四边形是矩形，若四边形是正方形；根据矩形的性质列式求解； （3）若以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，则只需是等腰三角形即可，分类讨论，第一种情况，当时；第二种情况，当时，点与点重合；第三种情况，当，点在线段的垂直平分线上；根据菱形的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 解：已知直线与直线交于点，直线与轴交于点， ∴当时，，则， 当时，，，则， ∴，． 【小问2详解】 解：①如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴，， 由点的运动可知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； ②第一种情况，当点分别在上时，若四边形是正方形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 第二种情况，当分别在上时，如图，同理可证四边形是矩形， 若四边形是正方形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 综上，的值为或． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 若以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，则只需是等腰三角形即可， 第一种情况，当时，，且，如图所示， ∵且， ∴； 第二种情况，当时，点与点重合，，此时点与点关于轴对称，如图所示， ∴； 第三种情况，当，点在线段的垂直平分线上，设交于点，过点作轴于点，如图所示， ∴，，， ∴在中，，解得， ∴，此时，且，， ∴， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，一次函数图象的性质，理解点的运动，掌握一次函数图象的性质，动点于坐标的关系，菱形的判定和性质，勾股定理的运用等知识的综合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校2025-2026学年第二学期期末联考 初二年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 五边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 直线经过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ） A. 区域1处 B. 区域2处 C. 区域3处 D. 区域4处 8. 如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四个结论：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 分解因式的结果是______． 10. 若分式有意义，则的取值范围是______． 11. 如图，在四边形中，，平分．将四边形绕点A按逆时针方向旋转一个角度，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______． 12. 如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有____________（填序号）． 13. 如图，四边形是一个由5张纸片拼成的菱形（相邻纸片之间互不重叠），其中四张纸片为大小形状相同的平行四边形，连接，，，．记，，若，则小平行四边形纸片长边与短边的长度的比值为____． 三、解答题（共8小题，共61分） 14. 解不等式组，把解集表示在数轴上． 15. 阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解因式． 方法如下：拆两头，拆为，，拆为，， 然后排列如下：． 交叉相乘，积相加得，凑得中间项， 所以分解为． （1）用因式分解法解方程． 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （2）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （3）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 16. 如图，三角形的三个顶点都在小正方形的格点上．将三角形先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到三角形，其中点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F． （1）在图中画出三角形； （2）直接写出D、E、F的坐标：D（ ， ）；E（ ， ）；F（ ， ）； （3）三角形的面积为______； 17. 年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用元购进、两种世界杯吉祥物共个，且用于购买种吉祥物与购买吉祥物的费用相同，且种吉祥物的单价是种吉祥物的倍． （1）求、两种吉祥物的单价各是多少元？ （2）世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，于是计划用不超过元的资金再次购进、两种吉祥物共个，已知、两种吉祥物的进价不变．求种吉祥物最多能购进多少个？ 18. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，则求的长． 19. 已知菱形纸片ABCD的边长为，∠A=60°，E为边上的点，过点E作EF∥BD交AD于点F．将菱形先沿EF按图1所示方式折叠，点A落在点处，过点作GH∥BD分别交线段BC、DC于点G、H,再将菱形沿GH按图1所示方式折叠，点C落在点处，与H分别交与于点M、N．若点在△EF的内部或边上，此时我们称四边形（即图中阴影部分）为“重叠四边形”． (1)若把菱形纸片ABCD放在菱形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A、B、C、D、E恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠四边形的面积； (2)实验探究：设AE的长为，若重叠四边形存在．试用含的代数式表示重叠四边形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）． 20. 综合与探究：如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点从点出发沿向终点运动，速度为每秒个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点，作轴，交折线于点，设运动时间为． （1）求点的坐标： （2）在点，点运动过程中， ①当点分别在上时，求证四边形是矩形； ②在点，点的整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你直接写出的值； （3）点是平面内一点，在点的运动过程中，问是否存在以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $