2.1 练习1 不等关系与不等式 课时练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕“不等关系与不等式”，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层次设计，实现从单一性质到实际应用再到逻辑证明的知识进阶，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|不等式性质、简单比较大小|单选直接考查概念（如1-3题比较大小）| |中档|实际情境应用、综合辨析|结合生活场景（如4题山火物资运输），多选辨析不等关系（如8题）| |提升|逻辑证明、复杂问题建模|证明题（13题）与实际问题深度建模（14题宿舍分配、15题屏占比）|

2.1 练习1　不等关系与不等式 1. (2026·奉贤模拟) 已知，则下列不等式成立的是(　D　) A.  B.  C.  D.  【解析】由，可得，因为，所以，故A错误；由，可得，则，故B错误；，因为，所以，则，故C错误；由，可得，因为，所以，故D正确. 2. 若m＝3x2－x＋1，n＝2x2＋x－1，则m与n的大小关系是(　A　) A. m＞n B. m≥n C. m＜n D. m≤n 【解析】m－n＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，因此 m＞n. 3. 已知a≥3，设M＝2a(a＋1)，N＝(a＋1)·(a＋3)，则(　B　) A. M＞N B. M≥N C. M＜N D. M≤N 【解析】M－N＝2a(a＋1)－(a＋1)(a＋3)＝(a＋1)(a－3)，∵a≥3，∴a＋1＞0，a－3≥0，∴(a＋1)(a－3)≥0，∴M≥N. 4. (2024·贵州遵义高一期中) 持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线的路程为40 km，其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖，需用摩托车运送，其他路段可用汽车运送.已知可用汽车运送的路段的平均速度为60 km/h，设需用摩托车运送的路段的平均速度为x km/h，为使物资能在1小时内运送到灭火前线，则x应满足的不等式为(　D　) A. ＞1 B. ＜1 C. ＞1 D. ＜1 【解析】由题意，汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即＜1. 5. 开山爆破时，已知导火线燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，距爆破点150 m以外(含150 m)为安全区.为使导火线燃尽时人能够跑到安全区，导火线的长度x(单位：cm)应满足的不等式为(　D　) A. 4×＜150 B. 4×＞150 C. 4×≤150 D. 4×≥150 【解析】由题意知，导火索从点燃到燃尽所需时间为 s，人在此时间内跑的路程为 m，则应满足的不等式为4×≥150. 6. 在一次聚会上，四位好朋友按照各自的喜好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口杯，如图所示，盛满饮料后他们约定：先各自饮杯中饮料的一半，设剩余饮料的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系是 (　A　) A. h2＞h1＞h4 B. h1＞h2＞h3 C. h3＞h2＞h4 D. h2＞h4＞h1 【解析】根据四个杯的形状分析易知h2＞h1＞h4，或h2＞h3＞h4. 7. (2025高一上·益阳期末) 已知，则(　 C 　) A.  B.  C.  D.  【解析】A、若，则，该选项错误，不合题意；B、举例，不成立，该选项错误，不合题意；C、由题意知，则，该选项正确，符合题意；D、举例，不成立，该选项错误，不合题意.. 8. (多选)下面列出的几种不等关系中，正确的有(　BCD　) A. x与2的和是非负数，该语句可表示为“x＋2＞0” B. △ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则上述不等关系可表示为“a＋b＞c，b＋c＞a，且a＋c＞b” C. 若某天的气温为t，最低气温为7 ℃，最高气温为13 ℃，则这天的气温范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃” D. 完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人的工资预算不超过20 000元.设木工x人，瓦工y人，则上述问题用不等关系可表示为“400x＋500y≤20 000” 【解析】对于A，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，A错误；对于B，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，B正确；对于C，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”，C正确；对于D，请木工共需支付400x元，请瓦工共需支付500y元，可得共需支付工资(400x＋500y)元，又工人工资预算不超过20 000元，故400x＋500y≤ 20 000，D正确. 9. (多选)下列不等式中，恒成立的有(　ACD　) A. a2＋3＞2a B. x2＋y2＞xy C. a2＋b2≥2(a－b－1) D. a2＋b2≥2ab 【解析】对于A，∵a2＋3－2a＝(a－1)2＋2＞0，∴a2＋3＞2a，A恒成立；对于B，∵x2＋y2－xy＝y2≥0，∴x2＋y2≥xy，B不恒成立；对于C， ∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，C恒成立；对于D，∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，D恒成立. 10. 一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么8天内它的行程就超过2 200 km，用不等式表示为　8(x＋19)＞2 200　；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 ＞9　.  【解析】由题意知，汽车原来每天行驶x km，8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即＞9. 11. 将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为 　.  【解析】由题意可知另一段绳子的长度为(5－x)m.∵两段绳子的长度之差不小于1 m，∴即 12. 若a＜0，－1＜b＜0，则将ab，ab2，a按大小顺序排列为　ab＞ab2＞a　(用“＞”连接).  【解析】∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0，1－b＞0，b－1＜0，b＋1＞0，∴ab－ab2＝ab(1－b)＞0，即ab＞ab2，ab2－a＝a(b2－1)＝a(b＋1)(b－1)＞0，即ab2＞a，∴ab＞ab2＞a. 13. 已知a＞0，b＞0，求证：(a2＋b2)2≥4a2b2，当且仅当a＝b时，等号成立. 证明：(a2＋b2)2－4a2b2＝a4＋b4＋2a2b2－4a2b2＝a4＋b4－2a2b2＝(a2－b2)2≥0，当且仅当a2＝b2时取等号.又a＞0，b＞0，∴(a2＋b2)2≥4a2b2，当且仅当a＝b时，等号成立. 14. 有学生若干个，住若干间宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间住不满但不空，求宿舍间数和学生人数. 解：设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，得 解得＜x＜. ∵x∈N*，∴x＝10，11或12，学生人数分别为59，63，67，故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人. 15. 手机的屏幕的面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0~1之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机的“屏占比”和升级前比(　C　) A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 变化不确定 【解析】设原来手机的屏幕面积为b，整机面积为a，则“屏占比”为(a＞b)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加的相同数量为m(m＞0)，则升级后手机的“屏占比”为.∵＞0，∴该手机的“屏占比”和升级前比变大. 16. 如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为 (a2＋b2)＞ab　.  图1　　 图2 【解析】由题图可知，题图1广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图2广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1＞S2，即(a2＋b2)＞ab. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 练习1　不等关系与不等式 1. (2026·奉贤模拟) 已知，则下列不等式成立的是(　 　) A.  B.  C.  D.  2. 若m＝3x2－x＋1，n＝2x2＋x－1，则m与n的大小关系是(　 　) A. m＞n B. m≥n C. m＜n D. m≤n 3. 已知a≥3，设M＝2a(a＋1)，N＝(a＋1)·(a＋3)，则(　 　) A. M＞N B. M≥N C. M＜N D. M≤N 4. (2024·贵州遵义高一期中) 持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线的路程为40 km，其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖，需用摩托车运送，其他路段可用汽车运送.已知可用汽车运送的路段的平均速度为60 km/h，设需用摩托车运送的路段的平均速度为x km/h，为使物资能在1小时内运送到灭火前线，则x应满足的不等式为(　 　) A. ＞1 B. ＜1 C. ＞1 D. ＜1 5. 开山爆破时，已知导火线燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，距爆破点150 m以外(含150 m)为安全区.为使导火线燃尽时人能够跑到安全区，导火线的长度x(单位：cm)应满足的不等式为(　 　) A. 4×＜150 B. 4×＞150 C. 4×≤150 D. 4×≥150 6. 在一次聚会上，四位好朋友按照各自的喜好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口杯，如图所示，盛满饮料后他们约定：先各自饮杯中饮料的一半，设剩余饮料的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系是 (　 　) A. h2＞h1＞h4 B. h1＞h2＞h3 C. h3＞h2＞h4 D. h2＞h4＞h1 7. (2025高一上·益阳期末) 已知，则(　 　) A.  B.  C.  D.  8. (多选)下面列出的几种不等关系中，正确的有(　 　) A. x与2的和是非负数，该语句可表示为“x＋2＞0” B. △ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则上述不等关系可表示为“a＋b＞c，b＋c＞a，且a＋c＞b” C. 若某天的气温为t，最低气温为7 ℃，最高气温为13 ℃，则这天的气温范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃” D. 完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人的工资预算不超过20 000元.设木工x人，瓦工y人，则上述问题用不等关系可表示为“400x＋500y≤20 000” 9. (多选)下列不等式中，恒成立的有(　 　) A. a2＋3＞2a B. x2＋y2＞xy C. a2＋b2≥2(a－b－1) D. a2＋b2≥2ab 10. 一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么8天内它的行程就超过2 200 km，用不等式表示为　 　；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为  　.  11. 将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为 　 .  12. 若a＜0，－1＜b＜0，则将ab，ab2，a按大小顺序排列为　 　(用“＞”连接).  13. 已知a＞0，b＞0，求证：(a2＋b2)2≥4a2b2，当且仅当a＝b时，等号成立. 14. 有学生若干个，住若干间宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间住不满但不空，求宿舍间数和学生人数. 15. 手机的屏幕的面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0~1之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机的“屏占比”和升级前比(　 　) A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 变化不确定 16. 如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为 　.  图1　　 图2 学科网（北京）股份有限公司 $