第三周 第3天 基本不等式 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学上学期人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第三周 第3天 基本不等式 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.了解基本不等式的证明过程. 2.掌握基本不等式(a>0，b>0).(重点)3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 基本不等式的证明与理解 ❓ 问题1　请写出我们上节课学习的重要不等式. 💬 提示　∀a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. ❓ 问题2　如果a>0，b>0，我们用分别替换重要不等式中的a，b，能得到什么样的结论？ 💬 提示　用分别替换重要不等式中的a，b可得到a+b≥2当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成当且仅当a=b时，等号成立. ❓ 问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 💬 提示　方法一　(作差法) ≥0，即当且仅当a=b时，等号成立. 方法二　(性质法) 要证 只需证2≤a+b， 只需证a+b-2≥0， 即证()2≥0， 显然()2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三　(利用几何意义证明) 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 💡知识梳理 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. 2.叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ⚠️ 要点点拨： (1)基本不等式≤(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． (2)当且仅当的含义： ①当a＝b时等号成立，即a＝b⇒a2＋b2＝2ab； ②仅当a＝b时等号成立，即a2＋b2＝2ab⇒a＝b. (3)基本不等式的常见变形 a＋b≥2； ab≤≤. 其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立． 🎯例1　给出下面四个推导过程： ①因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4； ③因为x，y∈R，xy＜0，所以＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解】　①因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， 所以＋a≥2＝4是错误的． ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确． 基本不等式的理解 基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”． 反思 归纳 📐跟踪训练1　(多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A.若a，b为正实数，则≥2=2 B.若a∈R，a≠0，则+a≥2=4 C.若x，y∈R，xy<0，则=-≤-2=-2 D.若a<0，b<0，则<ab 【解】　A中，∵a，b为正实数，∴为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误； C中，由xy<0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，--均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； D中，对任意的a，b∈R，都有a2+b2≥2ab，即≥ab，故D错误. 📐跟踪训练2 下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．x2＋≥2 C．≥ D．a2＋b2≥4ab 【解】选B.对于A，当a＜0时，a＋＜0，故A错误； 对于B，x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝， 即x＝±时取等号，故B正确； 对于C，当a＞0，b＞0时，≤，当且仅当a＝b时取等号，故C错误； 对于D，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，故D错误． 知识点2 利用基本不等式求简单式子的最值 💡知识梳理 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2； (2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 简记为：积定和最小，和定积最大. 🎯例2　(1)若x＞0，则函数y＝x＋(　　) A．有最大值－4 B．有最小值4 C．有最大值－2 D．有最小值2 (2)已知0＜x＜，则x(1－2x)的最大值是________． 【解】　(1)y＝x＋≥2＝4， 当且仅当x＝，即x＝2时，函数y＝x＋取得最小值4. (2)因为0＜x＜，所以1－2x＞0，所以x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤＝， 当且仅当2x＝1－2x， 即x＝时等号成立， 所以x(1－2x)的最大值为. 📐一题多变1 将例2(1)的条件“x>0”改成“x<0”，则x+的最大值为　　　　. 【解】　x+=- 因为x<0，则-x>0， 故有-x+≥2=4， 所以-≤-4，当且仅当-x=-即x=-2时，等号成立. 故原式的最大值为-4. 📐一题多变2 将例2(1)的条件“x>0”改成“x>2”，则x+的最小值为　　　　. 【解】因为x>2，所以x-2>0， 则x+=x-2++2≥2+2=6， 当且仅当x-2=即x=4时，等号成立， 所以x+的最小值为6. 📐一题多变3 将例2(1)的条件“x>0”改成“x<2”，则x+的最大值为　　　　. 【解】　因为x<2，所以2-x>0， 则x+=x-2++2 =-+2≤-2+2=-2， 当且仅当2-x=即x=0时，等号成立， 所以x+的最大值为-2. (1)利用基本不等式求最值的注意点 ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. (2)通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 反思 归纳 自学小结 基本不等式 1.知识清单： (1)基本不等式的证明与理解. (2)利用基本不等式求简单代数式的最值. (3)配凑法求最值. 2.方法归纳：配凑法. 3.常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．如果a>0，那么a＋＋2的最小值是(　　) A．2 B．2 C．3 D．4 【解】因为a>0，所以a＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时取等号． 2．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　) A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【解】因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y.故选B. 3．若x＞0，y＞0，则2x＋＋y＋的最小值是(　　) A．3 B．4 C．4 D．2 【解】2x＋＋y＋≥2＋2＝2＋＝3，当且仅当2x＝，y＝，即x＝，y＝时等号成立． 4．求函数y＝4x2＋的最小值，并求函数取最小值时x的值． 【解】由已知x2＞0， 则y＝4x2＋≥2＝12， 当且仅当4x2＝， 即x＝±时，等号成立， 所以当x＝±时，y＝4x2＋取最小值，为12. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第三周 第3天 基本不等式 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.了解基本不等式的证明过程. 2.掌握基本不等式(a>0，b>0).(重点)3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 基本不等式的证明与理解 ❓ 问题1　请写出我们上节课学习的重要不等式. ❓ 问题2　如果a>0，b>0，我们用分别替换重要不等式中的a，b，能得到什么样的结论？ ❓ 问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 💡知识梳理 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则_______________，当且仅当______时，等号成立. 2.叫做正数a，b的______平均数叫做正数a，b的______平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数______它们的几何平均数. ⚠️ 要点点拨： (1)基本不等式≤(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． (2)当且仅当的含义： ①当a＝b时等号成立，即a＝b⇒a2＋b2＝2ab； ②仅当a＝b时等号成立，即a2＋b2＝2ab⇒a＝b. (3)基本不等式的常见变形 a＋b≥2； ab≤≤. 其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立． 🎯例1　给出下面四个推导过程： ①因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4； ③因为x，y∈R，xy＜0，所以＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 基本不等式的理解 基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”． 反思 归纳 📐跟踪训练1　(多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A.若a，b为正实数，则≥2=2 B.若a∈R，a≠0，则+a≥2=4 C.若x，y∈R，xy<0，则=-≤-2=-2 D.若a<0，b<0，则<ab 📐跟踪训练2 下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．x2＋≥2 C．≥ D．a2＋b2≥4ab 知识点2 利用基本不等式求简单式子的最值 💡知识梳理 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值______； (2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值______. 简记为：积定和最______，和定积最______. 📐一题多变1 将例2(1)的条件“x>0”改成“x<0”，则x+的最大值为　　　　. 📐一题多变2 将例2(1)的条件“x>0”改成“x>2”，则x+的最小值为　　　　. 📐一题多变3 将例2(1)的条件“x>0”改成“x<2”，则x+的最大值为　　　　. (1)利用基本不等式求最值的注意点 ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. (2)通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 反思 归纳 自学小结 基本不等式 1.知识清单： (1)基本不等式的证明与理解. (2)利用基本不等式求简单代数式的最值. (3)配凑法求最值. 2.方法归纳：配凑法. 3.常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．如果a>0，那么a＋＋2的最小值是(　　) A．2 B．2 C．3 D．4 2．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　) A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 3．若x＞0，y＞0，则2x＋＋y＋的最小值是(　　) A．3 B．4 C．4 D．2 4．求函数y＝4x2＋的最小值，并求函数取最小值时x的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $