第二周 第3天 全称量词与存在量词 暑假自学讲义-2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第二周 第3天 全称量词与存在量词 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. (重点) 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. (重点) 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 全称量词与全称量词命题 ❓问题1　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 💡知识梳理　全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ______ 全称量词命题 含有____________的命题 形式 “对M中______一个x，p(x)成立”可用符号简记为“________________________” ⚠️ 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 🎯例1-1　(课本例1)判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)∀x∈R，|x|+1≥1； (3)对任意一个无理数x，x2也是无理数. 🎯例1-2　判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假. (1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin A=cos B； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上. (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别. (2)若证明全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为真命题，就要证明集合M中每个元素x，都能使p(x)成立；若证明全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为假命题，则需要举个反例，即在集合M中找到一个元素，使p(x)不成立. 反思 归纳 📐跟踪训练1　判断下列全称量词命题的真假. (1)任何实数都有算术平方根； (2)∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数. 知识点2 存在量词与存在量词命题 ❓问题2　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 💡知识梳理　存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ______ 存在量词命题 含有__________________的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“________________” ⚠️ 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 🎯例2　(课本例2)判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数x，使x2+2x+3=0； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 🎯例2　判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假. (1)某个四边形不是平行四边形； (2)方程3x-2y=10有整数解； (3)有一个实数x，使x2+2x+4=0. (1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别. (2)若证明存在量词命题“∃x∈M，p(x)”为真命题，则只要在集合M中找到一个元素x，使 p(x)成立即可；若集合M中的所有的元素，都不能使结论成立，则可判断命题是假命题. 反思 归纳 📐跟踪训练2　判断下列存在量词命题的真假. (1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； (2)至少有一个整数n，使得n2+n为奇数； (3)∃x∈{y|y是无理数}，x2是无理数. 知识点3 依据含量词命题的真假求参数的取值范围 🎯例3　已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|6-m≤x≤m+3}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 📐延伸探究1　将本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，求出实数m的取值范围. 📐延伸探究2　把本例中的命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求实数m的取值范围. 依据含量词命题的真假求参数取值范围的策略 (1)含参数的全称量词命题为真时，常将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，通过列不等式(组)求解. (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，若方程为一元二次方程，则可借助根的判别式来求解. 反思 归纳 自学小结 全称量词与存在量词 1.知识清单： (1)全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的概念. (2)含量词的命题的真假判断. (3)依据含量词命题的真假求参数的取值范围. 2.方法归纳：定义法、转化法. 3.常见误区：忽略有些命题省略了量词. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.(多选)下列命题是全称量词命题的是(　　) A.任意一个自然数都是正整数 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.∃x∈R，x2+1=0 2.下列命题中是存在量词命题的是(　　) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.任意一个负数都比零小 C.每一个正方形都是矩形 D.存在没有最大值的二次函数 3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A.∀a∈N，方程ax+1=0有实数根 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a，b，若a-b≤0，则a≤b D.存在一个实数x，使等式x2-2x+1=0成立 4.已知命题p：存在x∈R，x2+2x+a=0.若p为真命题，则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第二周 第3天 全称量词与存在量词 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. (重点) 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. (重点) 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 全称量词与全称量词命题 ❓问题1　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 💬 提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题. 💡知识梳理　全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” ⚠️ 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 🎯例1-1　(课本例1)判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)∀x∈R，|x|+1≥1； (3)对任意一个无理数x，x2也是无理数. 解　(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题. (2)∀x∈R，总有|x|≥0，因而|x|+1≥1.所以，全称量词命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是真命题. (3)是无理数，但()2=2是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题. 🎯例1-2　判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假. (1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin A=cos B； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上. 解　(1)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题，真命题. (2)省略了全称量词，可以表示为∀n∈N，n2≥0.故是全称量词命题，真命题. (3)含有全称量词“所有的”，故是全称量词命题.对于任意二次函数，它的图象的开口都向上是假命题. (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别. (2)若证明全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为真命题，就要证明集合M中每个元素x，都能使p(x)成立；若证明全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为假命题，则需要举个反例，即在集合M中找到一个元素，使p(x)不成立. 反思 归纳 📐跟踪训练1　判断下列全称量词命题的真假. (1)任何实数都有算术平方根； (2)∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数. 解　(1)负数没有算术平方根，假命题.(2)x=是无理数，但x2=2是有理数，假命题. 知识点2 存在量词与存在量词命题 ❓问题2　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 💬提示　容易判断(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题. 💡知识梳理　存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” ⚠️ 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 🎯例2　(课本例2)判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数x，使x2+2x+3=0； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 解　(1)由于Δ=22-4×3=-8<0，因此一元二次方程x2+2x+3=0无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使x2+2x+3=0”是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题. (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. 🎯例2　判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假. (1)某个四边形不是平行四边形； (2)方程3x-2y=10有整数解； (3)有一个实数x，使x2+2x+4=0. 解　(1)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形.真命题. (2)可改写为存在一对整数x，y，使3x-2y=10成立.故为存在量词命题.真命题. (3)存在量词命题，由于Δ=22-4×4=-12<0，因此方程无实根.假命题. (1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别. (2)若证明存在量词命题“∃x∈M，p(x)”为真命题，则只要在集合M中找到一个元素x，使 p(x)成立即可；若集合M中的所有的元素，都不能使结论成立，则可判断命题是假命题. 反思 归纳 📐跟踪训练2　判断下列存在量词命题的真假. (1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； (2)至少有一个整数n，使得n2+n为奇数； (3)∃x∈{y|y是无理数}，x2是无理数. 解　(1)菱形的对角线互相垂直，真命题. (2)n2+n=n(n+1)，故n和n+1必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题. (3)当x=π时，x2仍是无理数，真命题. 知识点3 依据含量词命题的真假求参数的取值范围 🎯例3　已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|6-m≤x≤m+3}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 解　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠∅，所以 解得≤m≤3. 即m的取值范围为. 📐延伸探究1　将本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，求出实数m的取值范围. 解　由于命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，所以A⊆B， 因为B≠∅，所以解得m≥9. 即m的取值范围为{m|m≥9}. 📐延伸探究2　把本例中的命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求实数m的取值范围. 解　p为真命题，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以6-m≤m+3，即m≥. 当m≥时，6-m≤m+3≥ 故∈B， 所以A∩B≠∅，满足题意， 故m的取值范围为. 依据含量词命题的真假求参数取值范围的策略 (1)含参数的全称量词命题为真时，常将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，通过列不等式(组)求解. (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，若方程为一元二次方程，则可借助根的判别式来求解. 反思 归纳 自学小结 全称量词与存在量词 1.知识清单： (1)全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的概念. (2)含量词的命题的真假判断. (3)依据含量词命题的真假求参数的取值范围. 2.方法归纳：定义法、转化法. 3.常见误区：忽略有些命题省略了量词. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.(多选)下列命题是全称量词命题的是(　　) A.任意一个自然数都是正整数 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.∃x∈R，x2+1=0 答案　AC 解析　选项A中的命题含有全称量词“任意一个”，是全称量词命题；选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题. 2.下列命题中是存在量词命题的是(　　) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.任意一个负数都比零小 C.每一个正方形都是矩形 D.存在没有最大值的二次函数 答案　D 解析　D选项是存在量词命题. 3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A.∀a∈N，方程ax+1=0有实数根 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a，b，若a-b≤0，则a≤b D.存在一个实数x，使等式x2-2x+1=0成立 答案　C 解析　B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，当a=0时，方程ax+1=0无实数根，故A错误，故应选C. 4.已知命题p：存在x∈R，x2+2x+a=0.若p为真命题，则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 答案　{a|a≤1} 解析　由题意可得，当p为真命题时，方程x2+2x+a=0有实根，即22-4a≥0，得a≤1，故实数a的取值范围是{a|a≤1}. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $