2026年高一暑期数学夯实专项作业专题三 复数

**基本信息** 以“命题透视-思维建模-知识精练”为框架，系统构建复数运算模型与解题逻辑，强化概念理解与几何意义应用，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |思维建模|搭建运算模型|复数四则运算规则、几何意义转化法、纯虚数判定准则|从复数概念（实部虚部）→运算（加减乘除）→几何意义（复平面、模）→方程应用与定理拓展，形成“概念-运算-应用”逻辑链| |知识精练|19题（选择9/多选4/填空3/解答3）|棣莫弗定理应用、共轭复数性质、模的最值求法|通过基础公式巩固（如复数相等条件）到综合问题（模的几何意义求最值），体现从基础到能力的递进|

专题三 复数 高一暑期数学夯实专项作业 专题三 复数 · 命题透视：洞悉复数考点明晰命题考查方向 · 思维建模：搭建运算模型梳理复数解题逻辑 · 知识精练：浓缩复数核心夯实基础公式概念 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（ ） A． B． C． D． 2.设为虚数单位，若复数，则（   ） A． B． C． D． 3.已知函数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 4.（   ） A．1 B． C． D．2 5．已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 6．已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 7.若复数满足，则的最大值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 9．设，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．一定是纯虚数 B．若，则 C． D．若，则是纯虚数． 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 10.已知复数，，则下列说法正确的是（    ） A． B．复数对应的点位于复平面第四象限 C． D．若复数满足，则的最大值是 11. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 12．已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则的最小值为1 13．已知复数，则下列说法正确的是（     ） A． B．若，则 C．若，则为纯虚数 D． 三、填空题： 14．已知直角三角形ABC的顶点坐标分别为，若虚数是实系数一元二次方程的根，则实数__________. 15.任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ． 16．已知复数，，并且，求的取值范围 . 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 18.已知复数． (1)求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 19.已知复数，复数在复平面内对应的点为． (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数． 学科网（北京）股份有限公司 $专题三 复数 高一暑期数学夯实专项作业 专题三 复数【解析】 · 命题透视：洞悉复数考点明晰命题考查方向 · 思维建模：搭建运算模型梳理复数解题逻辑 · 知识精练：浓缩复数核心夯实基础公式概念 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 2.设为虚数单位，若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数即可. 【解析】. 故选：A. 3.已知函数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，，所以. 故选：A 4.（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据复数的乘方运算、模的计算法则以及复数的除法法则可得结果. 【解析】由题意得 故选：A． 5．已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数类型求出参数，再利用复数的乘方可求. 【解析】，因为复数为纯虚数，故， 故，故， 故选：D. 6．已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，先由得到，再由，结合复数的几何意义可得z在复平面内对应的点的运动轨迹，最后由表示点和之间的距离，数形结合可得结果. 【解析】设，， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即在线段，上运动， 设，则，由图象可知，所以. 故选：C 7.若复数满足，则的最大值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用复数模的几何意义，将复数转化为复平面上的点，根据圆上点到定点的最大距离为圆心到定点的距离加半径求解即可. 【解析】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4，则的最大值为． 故选：C 8．若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】法一：利用复数运算法则得到，从而得到方程组，求出，得到答案； 法二：变形得到，是的根，故是方程的另一个根，由韦达定理得到，求出答案. 【解析】法一：因为， 所以， 所以，解得，故； 法二：，故， 因为是的根，故是方程的另一个根， 由韦达定理得，，故，所以. 故选：D 9．设，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．一定是纯虚数 B．若，则 C． D．若，则是纯虚数． 【答案】C 【分析】根据复数的含义、共轭复数的概念对选项逐一判断. 【解析】对于选项A： 设，则， 所以， 当时，，所以不一定是纯虚数.所以A错误. 对于选项B：设，为实数， 所以. 则，令， 则，符合题意，但是.所以B错误. 对于选项C ：设，,则，若，则，此时； 若，则，所以成立，所以C正确. 对于选项D：设，,则， 若，则，所以. 则，当时为纯虚数，当时，为实数，所以D错误. 故选：C. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 10.已知复数，，则下列说法正确的是（    ） A． B．复数对应的点位于复平面第四象限 C． D．若复数满足，则的最大值是 【答案】CD 【分析】对于AC，利用复数的四则运算和模长公式计算即可判断；对于B，利用复数除法计算后根据复数的几何意义即可判断；对于D，利用复数的模的几何意义数形结合即可计算判断. 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，其对应的点位于复平面第三象限，故B错误； 对于C，因，故，故C正确； 对于D，由可知，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，半径为5的圆， 而可理解为点到圆上的点的距离，如图所示. 由图知，当且仅当圆上的点在处(三点共线)时，距离最大，为，故D正确. 故选：CD. 11. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 【答案】AB 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【解析】由复数z满足，可得， A，复数的虚部为，正确； B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确； C，由复数模的计算公式，可得，错误； D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误. 故选：AB 12．已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则的最小值为1 【答案】ABD 【分析】选项A，根据复数除法运算，求得，再根据模长运算即可求解；选项B，令，分别计算和，即可判断；选项C，设，由得，可解得，但要注意的取值；选项D，根据复数模长的几何意义即可判断. 【解析】对于A，根据复数除法，， 则，所以A正确； 对于B，令，则， 所以，，所以，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，， 因为，即，解得，， 所以当，，不是纯虚数，故C错误； 对于D，当，复数对应的点在单位圆上，即， 表示复数对应的点到点的距离，最小值为圆心到点的距离减去半径， 即最小值为，故D正确. 故选：ABD. 13．已知复数，则下列说法正确的是（     ） A． B．若，则 C．若，则为纯虚数 D． 【答案】ACD 【分析】根据共轭复数及复数的乘法可判断；根据复数的分类可判断；根据纯虚数的定义可判断；表示点到的距离，数形结合即可判断. 【解析】，所以， 对于：，故正确； 对于：， 所以，或，或， 当时，不是实数，故错误； 对于：若，则，所以为纯虚数，故正确； 对于：对应的点表示圆上的点，对应的点， 表示点到的距离，由图可知，故正确. 故选：ACD. 三、填空题： 14．已知直角三角形ABC的顶点坐标分别为，若虚数是实系数一元二次方程的根，则实数__________. 【答案】 【分析】先利用韦达定理求出的值，再分类讨论，利用向量的数量积，分别求出实数的值即可. 【解析】由题意可知的两个根为和()， 由韦达定理可得，，即,解得，，则，， 于是，，.当时，有， 则，解得；当时，有， 则，即，解得； 当时，有，则，解得. 综上所述，的所有可能取值为. 故答案为： 15.任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ． 【答案】 【分析】根据，即可根据棣莫弗定理求解. 【解析】因为， 所以 故答案为：． 16．已知复数，，并且，求的取值范围__________. 【答案】 【解析】由得， 由复数相等的定义知，必有 得. . ， ，. 故. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由复数z为实数，则虚部为0可解； （2）由复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0； （3）由复数相等的条件，可得，然后利用二次函数性质求值域即可. 【解析】（1）复数z为实数，所以. （2）复数z为纯虚数， 所以，解得. ，， 即， 又，所以时，，时，， 所以的取值范围为. 18.已知复数． (1)求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据共轭复数的定义求，再根据复数的运算法则求结论； （2）结合复数的几何意义求向量的坐标，再结合向量夹角求的大小. 【解析】（1）因为，所以，又， 所以 （2）依题意向量于是有 ，为与的夹角， ， ， . 19.已知复数，复数在复平面内对应的点为． (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数． 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）由题意，将代入方程，可得m，n的值，即可得答案. （2）根据复数的运算法则，整理化简，可得复数，根据共轭复数的概念，即可得答案. 【解析】（1）由题意，将代入方程可得， 整理得，即， 所以，解得， 所以. （2）由题意 ， 所以， 则复数的共轭复数 学科网（北京）股份有限公司 $