平面向量中三点共线 专项训练 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量三点共线问题，通过分层题型系统覆盖向量共线定理应用，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-4|已知共线求参数，含中点、三等分点|向量共线定理→线性运算表示→参数求解| |综合应用|多选5、填空6-8|平行四边形/三角形中向量关系判断与计算|基底法表示→共线条件转化→比例关系推导| |拓展提升|填空9-10、解答11|结合最值、动态点的综合问题|共线参数关系→函数建模→运算能力提升|

平面向量三点共线问题专项训练 一、单选题 1.已知S,6是平面内两个不共线的向量，MB=4g+26,BC-日+g, C而=8+1-2)8，且4，C,D三点共线，则2=() 1 A.2 B.2 C.4 D 2.如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直 1+1 线MN分别交AB,AC于M,N丙点，若AM=xAB,AN=yAC,则x+y () M G D A.1 B.2 C.4 D.8 3.在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线 84C于点从N设孤=.衣2，则的值为() 3 A. B.3 C.4 D.2 4.在△ABC中，BC边上的中线为AD,AD的中点为E,过点E的一条直线与AB,AC分别 交于点E.G.若亚=A孤，G=Ca,>0),则（) A.2+u=1 1+1=4 B.μ 1 C.μ=4 D.元=4 二、多选题 试卷第1页，共3页 5如图，在BC巾，B-2:BC=B=号，点D为AB的中点，点E在BC上，且 BE=2EC ,线段4E与CD相交于点F,则下列说法正确的是《) C A.4C=V万 B.G-兮+号C C.AE.DC=3 D.BF-184+BC 三、填空题 6.在平行四边形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点，DE与AF交于点P.若 AP=AAB+uAD 7.如图所示，在BC中，点D为8C边上一点，且 D-2Dc,过点D的直线EF与直线 相交于E点，与直线1C相交于F点(.F丙点不重合)，者正=1丽， AB AF=uA ,则2+“的最小值为 D 4 E 8.如图，在a4BC中，∠BAC=2 3,AB=3,AC=2,AD=2DB,点E是CD的中点， 试卷第2页，共3页 AE,BC F AF.BF= 与交于点，则 D E 9.己知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB,AC于 33 不同的两点M'N,设B=mAM,AC=nAN,其中m>0:n>0,则m+n的最小值 是一 10,在AABC中，D是BC边上的一点，且丽-DC,B是AD上的一动点若 BE=mAB+nAC ,则m-2m 三、解答题 11.如图，在△1 C中，点D在线段BC上，且 CD=3DB,G是线段MB上的点，线段 CG与线段AD交于点O G (1)若D=xAB+yA ,求-y的值 ②已知4G=G丽.设0=1D ①求t的值； ②过点0的直线与边4B,4C分别交于点E,F,设正=AB,F=c0<<1 0<u<15元+3u ),求 的最小值。 试卷第3页，共3页 试卷第4页，共3页 平面向量三点共线问题专项训练 一、单选题 1．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 2．如图，在 中， 为 的中点， 为 的中点，过点 任作一直线 分别交 于 两点，若 ，则 （    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线于点.设，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 5.如图，在中，，，，点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 6．在平行四边形中，点分别是边的中点，与交于点．若，则_________． 7．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）．若，，则的最小值为________．    8．如图，在中，，，，，点是的中点，与交于点，则__________. 9．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 10．在中，D是边上的一点，且，E是上的一动点.若，则__________. 三、解答题 11．如图，在中，点在线段BC上，且，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求的值. (2)已知，设. ①求的值； ②过点的直线与边，分别交于点，，设，（，），求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《平面向量三点共线问题专项训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 D C A B ABD 1．D 【详解】由已知可得，， 因为A，C，D三点共线，所以，共线，则，使得， 即，整理可得 因为，不共线，所以有，解得. 2．C 【分析】首先结合分别为中点的条件，通过向量中点公式将用、线性表示，再结合、的已知条件，将转化为以、为基底的线性形式，最后利用三点共线时向量系数和为的性质即可求解目标式. 【详解】∵ 为的中点，根据向量中点公式，可得. 又∵ 为的中点，∴ . 由题知，，变形得，，代入上式可得 . ∵三点共线，根据共线向量的系数性质，可得. 等式两边同乘，得. 3．A 【分析】先根据三等分点的向量关系用、表示，代入已知向量关系后，利用三点共线的向量系数性质求解. 【详解】如图，连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，故， 由向量减法的运算法则可得，整理得， 即. 将条件，代入上式，可得， 因为、、三点共线，且与为不共线的非零向量， 根据平面向量共线的充要条件：若（），则， 因此，解得. 4．B 【分析】利用平面向量基本定理和共线向量定理的推论求解可得. 【详解】由题意可得． 因为是的中点，所以． 因为三点共线，所以． 又因为，所以， 所以，消去，可得．    5．ABD 【分析】选项A根据余弦定理求解；选项B由向量线性运算用基底表示；选项C先将向量用基底表示，利用向量数量积公式求解；选项D利用三点共线的充要条件求解. 【详解】在中，，，， ， 选项A正确； ，， 选项B正确； 点为的中点，， ， ， 选项C错误； 设， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得， ，选项D正确. 6./ 【详解】解析：设． 由在上，设， 由在上，设， 则，解得， 所以，即． 7． 【分析】先用表示，利用已知代入表达式，结合D，E，F三点共线可得，然后妙用“1”可解. 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 因为D，E，F三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为. 8．/ 【分析】以作为基底，利用三点共线设参数求出系数，再展开利用数量积运算即可进行求值. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 因为三点共线，设，即， 又因为三点共线，可设，则， 所以，解得， 所以 ，， 所以 . 9．/ 【分析】根据向量运算法则得，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】 由是边上靠近的三等分点，可得，， 又，，所以， 又因为三点共线，所以. 所以. 因为，所以，当且仅当时取等号， 即时取等号， 所以的最小值为. 10． 【分析】根据平面向量的线性运算求解的表达式，通过对比系数求得正确答案. 【详解】由，得. ，故. 设()，则. . 代入的表达式，得. 与对比系数，得，. 因此，. 11．(1) (2)①；②. 【分析】（1）根据向量的减法、向量相等及平面向量的基本定理求解即可. （2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值. ②由三点共线及平面向量基本定理得，再用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以，，. （2）①因为，所以. 所以， 因为三点共线，所以. ②由①可得，， 又，，所以. 因为三点共线，所以，即. 所以， 当且仅当且，即，时取等号. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $