微专题 平面向量的共线问题（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

微专题 平面向量的共线问题（不含坐标） 题型一 向量共线的判定 共线向量定理——若存在唯一实数，使得非零向量，则向量与共线。 解题步骤：1. 对目标向量进行线性运算化简； 2. 尝试表示为“”（为实数）的形式； 3. 若能找到这样的，则与共线，反之不共线。 关键提醒：若题干明确、为不共线非零向量，可通过“系数对应相等”列方程组判断是否存在。 1．（2025高一·全国·随堂练习）已知，，求证：与共线. 【答案】证明见解析 【分析】根据向量的线性运算及共线定理证明. 【详解】因为， 所以由共线向量定理知，与共线. 2．（2025高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 【答案】(1)共线； (2)共线； (3)共线. 【分析】用向量共线定理判断. 【详解】（1），，所以， 所以，共线. （2），, 所以，所以，共线. （3）因为，， 所以， 所以. 所以，共线. 3．（2025高一·全国·随堂练习）设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)共线 (2)共线 (3)不共线 【分析】根据向量共线定理即可判断. 【详解】（1），则有，即共线； （2），则有，即共线； （3）设，共线，则由共线向量基本定理，得存在，使， 即，所以，所以共线， 这与已知条件不共线矛盾，不共线. 题型二 已知向量共线（平行）求参数 利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 4．（2025高一·山东菏泽·月考）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数 . 【答案】 【分析】根据向量共线，可得，待定系数，即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数，使， 则，解得，则. 故答案为： 5．（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案. 【详解】因为与是共线向量， 所以存在实数，使，即， 所以，解得. 故答案为： 6．（25-26高三·湖北黄冈·期中）设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用向量平行的性质建立方程组，求解参数即可. 【详解】若向量与向量平行，则， 即，又因为向量、不共线，所以，解得. 故答案为： 7．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】由，，且， 得，即，又不共线， 因此，解得，所以. 故选：A 8．（25-26高三·山东·期中）已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的概念分析即可. 【详解】因为向量不共线，可知均非零向量， 由，可知，则，满足充分性； 若，则，即，所以，解得， 满足必要性， 所以是“”的充要条件. 故选：C 9．（25-26高三·江西吉安·月考）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据两个向量方向相同可直接构造方程组求得结果. 【详解】与方向相同， 存在正实数，使得， 又向量不共线，，解得：（舍去）或，的值为. 故答案为：. 10．（2025高三·全国·专题练习）若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】由平面向量的基本定理及向量共线条件得求参数，再由向量同向共线求解. 【详解】因为向量，共线， 所以，解得或， 当时，向量与方向相反，不满足， 当时，向量与方向相同，满足， 故. 故选：B 11．（2025高一·安徽蚌埠·月考）已知与是两个不共线的向量，且向量同向，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量同向可得存在正实数使得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】已知向量同向，所以存在正实数使得， 比较系数可得，即，所以，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 题型三 三点共线的判断与证明 利用向量共线定理证明三点共线 若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． 注：(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量； (2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】A：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； B：，因为，所以本选项三点共线； C：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线， 显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线， 故选：B 13．（2025高一·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 14．（2025高一·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理求解. 【详解】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 15．（2025高一·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 【答案】(1)证明见解析； (2)三点共线 【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）根据可知三点共线. 【详解】（1）证明：， 因此， （2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线. 16．（2025高一·北京·期中）设，是不共线的两个向量. (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，即可证明； （2）易知，根据共线向量可得存在实数使，结合相等向量的概念建立方程组，解之即可. 【详解】（1）由题意知，， ∴，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线； （2）∵，不共线，∴， 又与共线， ∴存在实数，使， ∴，解得. 17．（2026高三·全国·专题练习）已知任意两个不共线向量，且，，，求证：A，B，C三点共线． 【答案】证明过程见解析 【分析】运用平面向量共线定理进行证明即可. 【详解】因为，， 所以， 因此A，B，C三点共线. 18．（2026高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，＝4，. 求证：B，T，E三点共线． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量共线定理进行证明即可. 【详解】设， ， ， 显然， 所以B，T，E三点共线. 19．（25-26高一·北京昌平·期末）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . （2）因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. 20．（2025高一·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见详解 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）结合（1）得，从而，根据向量共线定理证明. 【详解】（1）由平行四边形，可得; ，， ，即. （2）由（1），又， 所以， 所以三点共线. 21．（2025高一·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 题型四 已知三点共线求参数 三点共线⇔存在公共点的两向量共线（如、、共线⇔与共线）。 解题步骤： 1.用基底向量表示出三点对应的两个共线向量（如、）； 2.根据共线定理设（为实数）； 3. 结合平面向量基本定理，令基底向量的系数分别相等，列方程组求解参数；4. 若涉及“向量同向/反向”，需额外限定（同向）或（反向）。 22．（2026高三·全国·专题练习）已知是平面上两个不共线的向量，且，， . (1)若方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 【答案】(1)2 (2)或3 【分析】（1）由题意得，则存在实数，使得，代入条件可得，待定系数，即可得答案. （2）先求得，由题意存在实数，使得，代入条件可得，待定系数，即可得答案. 【详解】（1）由题意得，则存在实数，使得， 所以， 则，解得或， 因为方向相反，所以，则. （2）因为，所以， 所以， 因为A，C，D三点共线， 所以存在实数，使得， 则， 所以，解得或3. 23．（2025高一·江苏扬州·期中）设，是两个不共线的向量. (1)判断与是否共线，并说明理由； (2)已知，，，若A，B，D三点共线，求k的值. 【答案】(1)共线，理由见解析 (2) 【分析】（1）由两个向量共线的条件判断即可； （2）由A，B，D三点共线，可得与共线，即存在实数，使得，结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】（1）当时，显然与共线. 当时，，则与共线. 综上，与共线. （2）， A，B，D三点共线，与共线， 即存在实数，使得，即， 因为，是两个不共线的向量，由平面向量基本定理得， ∴. 24．（2025高一·云南楚雄·月考）已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则 . 【答案】 【分析】表示出向量，然后利用共线定理和平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，所以， 又三点共线，且， 所以存在实数，使得，即， 因为非零向量､不共线，所以，解得. 故答案为： 25．（2025高三·全国·专题练习）已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 . 【答案】 【分析】根据向量的减法运算可得，，根据三点共线可得存在实数，使，然后列方程求解即可. 【详解】由已知可得， ， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 则，即且，解得. 故答案为： 26．（2025高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】由三点共线可得，由此可得构造方程组求得结果. 【详解】三点共线，可设， 即， ，解得：. 故选：. 27．（2025高一·海南省直辖县级单位·月考）是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 【答案】D 【分析】先由向量的加法求出，再利用向量共线的充要条件列方程组求解即可. 【详解】由已知， 由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使， 即，即解得. 故选：D 28．（2025高二·辽宁·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】B 【分析】把，，三点共线转化为列出方程组，求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得， 即， 即，解得：. 故选：B. 29．【多选】（2025高一·福建泉州·期中）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用向量共线定理得，结合已知有，进而得到，即可得. 【详解】因为三点共线，则存在实数，使， 即，即， 所以， 又向量不共线，所以，解得， 所以实数的值互为倒数. 故选：AB 30．（2025高一·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【分析】由平面向量的线性运算将，用，表示出来，结合共线向量定理与平面向量基本定理建立方程组，求解即可． 【详解】解：因为，，， 所以， ， 又因为，，三点共线， 所以存在实数，使得， 即， 因为，是平面内的一组基底， 所以由平面向量基本定理可得：， 解得. 故选：C． 31．（2025高二·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，向量 ， .若三点共线，则和满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点共线问题转化为​向量平行条件​​，即可得解. 【详解】由三点共线，则存在实数使得， ，， 由共线性质，则有， 因为不共线，得系数关系，消去，得. 故选：B. 32．（2026高三·全国·专题练习）已知是不共线的向量，，三点共线，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用向量的线性运算，得，，再利用向量共线的充要条件，得，即可求解. 【详解】因为， 所以，， 若A，B，C三点共线，则，则存在实数,使得，所以， 即，化简得， 故选：B. 33．（25-26高一·北京延庆·期末）在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理即可求解. 【详解】, , 由于M，N，C三点共线，故, 因此，解得. 故答案为： 34．（25-26高二·贵州黔南·开学考试）已知点是的重心，点满足，若三点共线，则 ． 【答案】/ 【分析】利用重心向量公式结合向量的线性运算将用表示，利用向量共线的性质列式求解. 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，， 所以， 又若三点共线，则，解得. 故答案为：. 题型五 平面向量共线定理证明线平行问题 非零向量共线且无公共点⇔对应直线平行。 解题步骤： 1. 选取合适基底（如、），用基底表示待证平行直线对应的向量（如、）； 2. 证明两向量满足（为非零实数），即向量共线； 3. 说明两直线无公共点（或题干隐含无公共点条件），即可证直线平行。 常用场景：证明三角形中位线平行于底边、平行四边形对边平行等。 35．（2025高一·上海·课堂例题）如图，已知，D、E分别是AB、AC的中点，求证；． 【答案】证明见解析 【分析】用表示，然后由共线向量定理即可证明. 【详解】， 因为D、E分别是AB、AC的中点，所以，, 所以, 所以，因为不在一条线上，所以. 36．（2025高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解 【分析】设，，根据平面向量共线定理证明即可． 【详解】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 37．（2025高一·河北邯郸·月考）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、相等向量的定义进行证明即可. 【详解】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即； （2）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 38．（2025高一·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据梯形特征得出向量关系再结合向量加减法，得出向量的数乘关系可以得出向量平行关系及四点不共线线线平行得证. 【详解】（）， 因为 ， 所以，又P、Q、A、B四点不共线， 所以. 39．（25-26高一·全国·假期作业）在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）用，表示向量、，从而得到，即可得证. 【详解】（1）根据题意可作出下图    ∵，∴，∴， ∴. （2）因为，所以， 所以， 由，所以， 所以， 所以，所以， 所以, 40．（2025高一·辽宁·期末）已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线． (1)若点O满足，证明：． (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据向量的线性运算法则，利用依次表示，再结合向量共线定理证明即可； (2)由(1) ，结合结论可得，再利用基本不等式求的最小值． 【详解】（1）由题可知， 因为点E为AD的中点，所以． 由，则，即， ， 又 所以，又三点不共线， 所以． （2）因为M，N，E三点共线， 所以可设，又，， 所以 又， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，时，等号成立．所以的最小值是． 题型六 平面向量共线定理推论的应用 若、、三点共线，且（为平面内任意一点），则（反之亦然）。 解题步骤： 1. 将目标向量用“、”类基底表示，整理为形式； 2. 利用推论“”列方程，求解参数或证明关系； 3. 拓展应用：若分为，则，可快速转化向量表达式。 41．（25-26高三·浙江·月考）已知平面内有四点，若，则“三点共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】充分性：举反例若四点也共线可推出矛盾；必要性：利用向量的加法运算和共线向量的定义可判断. 【详解】当时，， 因此，所以三点共线； 另一方面，当三点共线时， 若四点也共线，设， 则， 若系数和恒为1，则有恒为1， 恒为1， 显然因的不确定性，假设不成立，因此系数和并不一定恒为1． 则“三点共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 42．（25-26高三·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】令，由三点共线，可得到一个向量等式，由三点共线可得到另一个等式，两者结合可求，进而得的值. 【详解】由三点共线，是的中点，得，① 令， 由三点共线，是的中点， 可得，② 比较①、②，得，解得． 则. 故选：B. 43．（2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    【答案】 【分析】先根据得到，从而可得，再根据共线定理的推论，即可得到的值. 【详解】因为，所以，又， 所以， 因为点三点共线，所以，解得. 故答案为： 44．（2025高一·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 45．（2025高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上一点．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得，进而有，根据三点共线有，即可得. 【详解】由，得，则， 因为B，P，N三点共线，所以，所以. 故选：B 46．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 【答案】4 【分析】法一，取平行于边的中位线，求出的值即可；法二，利用向量的线性运算，结合共线向量定理的推论列式求解. 【详解】法一：（特殊位置法）当过点的直线与平行时，由，得是的中点， 则就是的一条中位线，由，得，所以. 法二：依题意，， 由三点共线，得，所以. 故答案为：4 47．（25-26高二·广西贵港·开学考试）如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 48．（2025高一·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为三点共线，且， 所以 又因为三点共线，且， 所以 可得， 即 解得 所以 故选： 49．（25-26高三·北京·月考）已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则 .，的最小值为 . 【答案】 2； 4 【分析】先由题设得到，再由共线定理的推论即可求解，再结合基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题可得， 因为共线，所以， 所以，当且仅当即时等号成立. 故答案为：2；4 50．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方形中，，是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据三点共线的性质，结合平面向量基本定理，通过利用换元法、双钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】在正方形中，， 则， 而，则， 又点共线，所以，即， 因为是线段上的动点，所以， 令，则， 则， 令，易知在上单调递减， 所以，所以， 故，即的最小值为． 故答案为： 51．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 平面向量的共线问题（不含坐标） 题型一 向量共线的判定 共线向量定理——若存在唯一实数，使得非零向量，则向量与共线。 解题步骤：1. 对目标向量进行线性运算化简； 2. 尝试表示为“”（为实数）的形式； 3. 若能找到这样的，则与共线，反之不共线。 关键提醒：若题干明确、为不共线非零向量，可通过“系数对应相等”列方程组判断是否存在。 1．（2025高一·全国·随堂练习）已知，，求证：与共线. 2．（2025高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 3．（2025高一·全国·随堂练习）设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线． (1)，； (2)，； (3)，． 题型二 已知向量共线（平行）求参数 利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 4．（2025高一·山东菏泽·月考）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数 . 5．（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则 ． 6．（25-26高三·湖北黄冈·期中）设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为 . 7．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 8．（25-26高三·山东·期中）已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．（25-26高三·江西吉安·月考）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 10．（2025高三·全国·专题练习）若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 11．（2025高一·安徽蚌埠·月考）已知与是两个不共线的向量，且向量同向，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 题型三 三点共线的判断与证明 利用向量共线定理证明三点共线 若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． 注：(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量； (2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 13．（2025高一·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 14．（2025高一·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 15．（2025高一·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 16．（2025高一·北京·期中）设，是不共线的两个向量. (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 17．（2026高三·全国·专题练习）已知任意两个不共线向量，且，，，求证：A，B，C三点共线． 18．（2026高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，＝4，. 求证：B，T，E三点共线． 19．（25-26高一·北京昌平·期末）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 20．（2025高一·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 21．（2025高一·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 题型四 已知三点共线求参数 三点共线⇔存在公共点的两向量共线（如、、共线⇔与共线）。 解题步骤： 1.用基底向量表示出三点对应的两个共线向量（如、）； 2.根据共线定理设（为实数）； 3. 结合平面向量基本定理，令基底向量的系数分别相等，列方程组求解参数；4. 若涉及“向量同向/反向”，需额外限定（同向）或（反向）。 22．（2026高三·全国·专题练习）已知是平面上两个不共线的向量，且，， . (1)若方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 23．（2025高一·江苏扬州·期中）设，是两个不共线的向量. (1)判断与是否共线，并说明理由； (2)已知，，，若A，B，D三点共线，求k的值. 24．（2025高一·云南楚雄·月考）已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则 . 25．（2025高三·全国·专题练习）已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 . 26．（2025高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 27．（2025高一·海南省直辖县级单位·月考）是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 28．（2025高二·辽宁·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 29．【多选】（2025高一·福建泉州·期中）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 30．（2025高一·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 31．（2025高二·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，向量 ， .若三点共线，则和满足的关系是（    ） A． B． C． D． 32．（2026高三·全国·专题练习）已知是不共线的向量，，三点共线，则满足（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高一·北京延庆·期末）在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时 ． 34．（25-26高二·贵州黔南·开学考试）已知点是的重心，点满足，若三点共线，则 ． 题型五 平面向量共线定理证明线平行问题 非零向量共线且无公共点⇔对应直线平行。 解题步骤： 1. 选取合适基底（如、），用基底表示待证平行直线对应的向量（如、）； 2. 证明两向量满足（为非零实数），即向量共线； 3. 说明两直线无公共点（或题干隐含无公共点条件），即可证直线平行。 常用场景：证明三角形中位线平行于底边、平行四边形对边平行等。 35．（2025高一·上海·课堂例题）如图，已知，D、E分别是AB、AC的中点，求证；． 36．（2025高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 37．（2025高一·河北邯郸·月考）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 38．（2025高一·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 39．（25-26高一·全国·假期作业）在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 40．（2025高一·辽宁·期末）已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线． (1)若点O满足，证明：． (2)求的最小值． 题型六 平面向量共线定理推论的应用 若、、三点共线，且（为平面内任意一点），则（反之亦然）。 解题步骤： 1. 将目标向量用“、”类基底表示，整理为形式； 2. 利用推论“”列方程，求解参数或证明关系； 3. 拓展应用：若分为，则，可快速转化向量表达式。 41．（25-26高三·浙江·月考）已知平面内有四点，若，则“三点共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（25-26高三·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 43．（2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    44．（2025高一·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 45．（2025高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上一点．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 46．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 47．（25-26高二·广西贵港·开学考试）如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 48．（2025高一·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 49．（25-26高三·北京·月考）已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则 .，的最小值为 . 50．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方形中，，是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 51．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $