专题01 平面向量基本定理、共线定理及其推论（压轴题4大类型专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题01 平面向量基本定理、共线定理及其推论 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、平面向量基本定理用基底表示向量 1 类型二、平面向量基本定理的应用 3 类型三、平面向量共线定理 5 类型四、平面向量共线定理的推论 6 压轴专练 8 类型一、平面向量基本定理用基底表示向量 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 4、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线； ②当时，与共线； ③当时，； 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一下·福建泉州·月考）四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江西·期末）在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 6．在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 类型二、平面向量基本定理的应用 向量在几何中的应用 ①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (x1，y1)=(x2，y2) ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件 ③求夹角问题，利用 ④求线段的长度，可以利用或 1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，在中，为线段上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. 2．（24-25高一下·广西南宁·月考）如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点． (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值． 3．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． (1)求的值； (2)求的最小值． 5．（23-24高一下·四川内江·期中）在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． (1)若，AE与BF交于点N，，求的值； (2)求的最小值． 类型三、平面向量共线定理 1、定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 1．（24-25高一下·河北张家口·期中），是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．-4 D．4 2．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山东烟台·期中）在中，，M是AN上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 类型四、平面向量共线定理的推论 1、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 2、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 1．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于 ． 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ． 3．（24-25高一下·天津和平·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记（），则 ．    4．（24-25高一下·山西晋中·月考）如图，在中，点是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交射线于不同的两点．设，则 ． 5．（24-25高一下·上海·期中）在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为 ． 1．已知平面向量，，且与共线，则（   ） A．1 B．-1 C． D． 2．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南·月考）在平行四边形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·重庆·期中）为梯形的一条对角线，在线段上，且．若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·四川广元·月考）已知六边形为正六边形，设，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东广州·期末）如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广西河池·月考）在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 9．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 10．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 11．（24-25高一下·江苏扬州·月考）在中，，，，与交于，若 ，则（  ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·北京延庆·期末）在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时 ． 13．（24-25高一下·北京·期末）设、为两个不共线的向量，若与共线，则实数等于 ，此时、方向 （填“相同”或“相反”）． 14．已知点是的重心，点满足，若三点共线，则 ． 15．在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 . 16．（24-25高一下·河南南阳·期末）在中，为直角，的平分线交于，且有.若，则 . 17．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 18．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． (1)用，表示． (2)求． (3)若，求的值． 19．（23-24高一下·河南濮阳·月考）如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值. 20．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量基本定理、共线定理及其推论 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、平面向量基本定理用基底表示向量 1 类型二、平面向量基本定理的应用 5 类型三、平面向量共线定理 11 类型四、平面向量共线定理的推论 15 压轴专练 18 类型一、平面向量基本定理用基底表示向量 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 4、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线； ②当时，与共线； ③当时，； 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 2．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 3．如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 4．（24-25高一下·福建泉州·月考）四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由，，，则， ，故A错误； 对于C选项，由，，所以， 则 ，故C正确； 对于D选项，，故D错误. 对于B选项，由C知，又， 相加得，故B错误. 故选：C. 5．（24-25高一下·江西·期末）在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则即可求解. 【详解】 ∵，，∴，. ∵，分别是，的中点，∴，. 又，，∴，即. 故选：A. 6．在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可. 【详解】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G， 所以． 故选：D. 类型二、平面向量基本定理的应用 向量在几何中的应用 ①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (x1，y1)=(x2，y2) ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件 ③求夹角问题，利用 ④求线段的长度，可以利用或 1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，在中，为线段上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. 【答案】(1) (2)-3 【分析】（1）应用平面向量的减法，再结合平面向量基本定理求出参数； （2）应用平面向量的数量积及数量积运算律计算求解. 【详解】（1）若，则， 即， 故. （2）若，则， 即， 所以 . 2．（24-25高一下·广西南宁·月考）如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点． (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，得到，，利用平面向量基本定量得到，即可求解； （2）根据条件，得到，再利用（1）结果，可得，代入数据化简得到答案. 【详解】（1）设，，因为， 故，整理得， 又，即，则①， 设，，又是的中点， 所以②， 联立①②，据平面向量其本定理得，解得，， 所以实数的值为. （2）因为， 又，则，得到， 由（1）知，又， 则. 3．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到； （2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）点满足，点是边上的中点， 故， ； （2）点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． (1)求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理，以及向量的线性运算，用基底表示向量，求出参数值； （2）根据向量模长与向量数量积的关系，以及基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）设，因为，所以， 可知， 当时，解得，即，所以. （2）由得， 在中，，所以， 所以， 可知，当且仅当时，即时取等号， 可得，即，所以的最小值为. 5．（23-24高一下·四川内江·期中）在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． (1)若，AE与BF交于点N，，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，以，为基底表示，结合平面向量基本定理列方程求，，由此可得，再求，，由此可得结论； （2）以，为基底表示，，再根据数量积运算律和数量积的定义求，结合二次函数性质求其最小值. 【详解】（1）当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. （2）因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 类型三、平面向量共线定理 1、定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 1．（24-25高一下·河北张家口·期中），是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．-4 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量共线列式求解即得. 【详解】由，，三点共线，得，又，，，不共线， 则，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据，则，依次验证在每个选项的条件下，若，是否有解即可. 【详解】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 故答案为：A. 3．已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 4．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】B 【分析】把，，三点共线转化为列出方程组，求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得， 即， 即，解得：. 故选：B. 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理逐项判断即可. 【详解】因为，故三点共线, A正确； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，B错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，C错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，D错误； 故选：A 6．（24-25高一下·山东烟台·期中）在中，，M是AN上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的线性运算法则，化简得到，结合，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】因为三点共线，设， 又因为， 可得 ， 因为，可得，可得. 故选：D. 7．在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为基底表示向量，因为，则，建立与的等量关系，求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 则，解得：，. 故选：C 类型四、平面向量共线定理的推论 1、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 2、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 1．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于 ． 【答案】 【分析】根据，可得，根据，以及E、B、D三点共线，可求出． 【详解】因为，所以， 则， 因为E、B、D三点共线，所以，所以． 故答案为：． 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ． 【答案】3 【分析】连接AG并延长，交BC于F，结合已知有，再由三点共线即可得. 【详解】连接AG并延长，交BC于F，如图所示， 由题意得，F为BC中点，所以，又G为重心，所以， 所以，即， 因为D、G、E三点共线，所以，即. 故答案为：3 3．（24-25高一下·天津和平·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记（），则 ．    【答案】 【分析】根据向量的线性运算和共线定理求解即可. 【详解】根据题意可知，， 因为三点共线，所以存在实数使得， 又因为三点共线，所以存在实数使得， 所以，解得， 所以， 所以，，， 故答案为： 4．（24-25高一下·山西晋中·月考）如图，在中，点是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交射线于不同的两点．设，则 ． 【答案】3 【分析】由三点共线，可用两种方法表示向量，然后由平面向量基本定理可得答案. 【详解】如图，连接AO，因三点共线，且点是边上靠近的三等分点， 则. 又注意到三点共线， 则， 又，则， 则，由平面向量基本定理， 可得. 故答案为： 5．（24-25高一下·上海·期中）在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由向量的线性运算可得，则，再由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为是中线，所以， 又因为是的中点，所以 因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，取到最小值， 故答案为：. 1．已知平面向量，，且与共线，则（   ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】由题意可得，， 由与共线可得， 解得， 故选：C 2．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量、的表达式，由题意可知存在，使得，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】因为，，， 所以， ， 又因为、、三点共线，所以存在，使得， 即， 因为、是平面内的一组基底，所以，解得，． 故选：D． 3．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加减法结合平面向量的线性表示计算求解. 【详解】在中， E是的中点， 则. 故选：D. 4．（24-25高一下·河南·月考）在平行四边形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】 ， 其中， 故． 故选：B． 5．（23-24高一下·重庆·期中）为梯形的一条对角线，在线段上，且．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出，即可得解. 【详解】依题意设， 则， 又且、不共线， 所以，即，所以，结合题意知， 故选：B 6．（24-25高一下·四川广元·月考）已知六边形为正六边形，设，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的线性运算可得出，，再结合正六边形性子逐项计算即可判断. 【详解】如下图所示： 由正六边的几何性质可得， 所以，， 所以，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：A. 7．（25-26高一上·广东广州·期末）如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以的中点为核心，通过将所求向量均用及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律与平方差公式进行化简，已知结合的长度得到的值，再对向量分解，借助中点性质最终将所求化为的数值计算. 【详解】 ，又为中点，， . 故选：B 8．（24-25高一下·广西河池·月考）在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由得，所以，三点共线得，利用二次函数即可得解. 【详解】由，得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，取等号， 故的最小值为， 故选：B 9．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 10．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图像和已知条件以及基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以. 所以D错误. 故选：D 11．（24-25高一下·江苏扬州·月考）在中，，，，与交于，若 ，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，且，由和三点共线，得到和，列出方程组，求得，得到，结合，求得，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设，且，则，如图所示， 因为三点共线，则存在实数使得， 又因为三点共线，则存在实数使得 所以，则 ，解得， 所以，且 因为，可得，解得， 所以， 因为，所以， 故选：D. 12．（25-26高一上·北京延庆·期末）在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理即可求解. 【详解】, , 由于M，N，C三点共线，故, 因此，解得. 故答案为： 13．（24-25高一下·北京·期末）设、为两个不共线的向量，若与共线，则实数等于 ，此时、方向 （填“相同”或“相反”）． 【答案】 相反 【分析】由题意可知存在，使得，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结论. 【详解】因为与共线，则存在，使得， 即， 因为、为两个不共线的向量，所以，解得，即， 所以，、方向相反. 故答案为：；相反. 14．已知点是的重心，点满足，若三点共线，则 ． 【答案】/ 【分析】利用重心向量公式结合向量的线性运算将用表示，利用向量共线的性质列式求解. 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，， 所以， 又若三点共线，则，解得. 故答案为：. 15．在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 . 【答案】/ 【分析】把用表示，然后由三点共线定理得出结论． 【详解】由题意 ， 因为，，三点共线，所以，解得. 故答案为：. 16．（24-25高一下·河南南阳·期末）在中，为直角，的平分线交于，且有.若，则 . 【答案】 【分析】过点作交于点，交于点，由向量加法的法则结合条件可求得，将已知向量等式取平方，利用向量数量积的运算律计算即可. 【详解】如图，过点作交于点，交于点， 则，所以，即，. 又因平分，且，则，解得， 则，因此，又， 则 .解得. 故答案为：.    17．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析 【分析】（1）由向量基本定理可得，； （2）由向量基本定理可得，故，，而有公共点，所以三点共线. 【详解】（1），是的中点， 故， ，故； （2） ， 即，， 所以，， 故，而有公共点，所以三点共线. 18．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． (1)用，表示． (2)求． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量基本定理得到； （2），利用向量数量积运算法则得到，并得到，，利用向量余弦夹角公式得到； （3）由向量基本定理得到，由向量共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】（1） （2）， ， 其中 ， ， ； （3）， 三点共线，∴设，即， 故， ∴，， ， . 19．（23-24高一下·河南濮阳·月考）如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值. 【答案】(1)16 (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合模长公式即可求解， （2）根据模长公式即可求解， （3）根据三点共线共线即可求解. 【详解】（1）设，， ， ，即． （2）， ． （3）连接三点共线，， 为的中点， ． 设，则． 设． 在中，， ， 解得， ． 20．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出； （2），，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出． （3）由向量的线性运算得，，然后结合数量积的运算律得，利用二次函数性质即可求解最值. 【详解】（1）因为，，， 所以，化简为． （2）因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又， 所以， 所以解得． （3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为， 所以， 所以，， 所以， 故当时，取到最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $