26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，系统梳理抛物线形状、顶点特征、a的符号与开口方向、|a|与开口大小、增减性及最值等核心知识点。通过描点法画y=x²图象，对比y=-x²及不同a值函数，构建从具体到抽象的学习支架，衔接函数概念与图象性质。 其亮点是以探究为核心，通过画图、对比分析培养几何直观和推理意识，如对比y=1/2x²与y=2x²的开口大小，让学生直观理解|a|的作用。结合基础练习和中考题，强化知识应用，帮助学生形成数学思维，教师可通过系统梳理和易错总结提升教学效率。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月25日 26.2.1 二次函数y=ax2的 图象和性质 第26章 二次函数 26.2.1 二次函数$y=ax^2$的图象和性质 练习题（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 图象形状：二次函数$$y=ax^2(a eq0)$$的图象是一条抛物线，是最简单的二次函数图象，图象关于y轴对称，对称轴为y轴（直线$x=0$）。 2. 顶点特征：抛物线$$y=ax^2$$的顶点为坐标原点$(0,0)$，顶点是图象的最高点或最低点，无左右平移、上下平移。 3. $a$的符号决定开口方向：①当$$a>0$$时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值；②当$$a<0$$时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值。 4. $|a|$的大小决定开口大小：$$|a|$$越大，抛物线开口越窄、越陡；$$|a|$$越小，抛物线开口越宽、越平缓。 5. 增减性规律（核心考点）： ① $$a>0$$：对称轴左侧（$$x<0$$），$y$随$x$增大而减小；对称轴右侧（$$x>0$$），$y$随$x$增大而增大。 ② $$a<0$$：对称轴左侧（$$x&lt;0$$），$y$随$x$增大而增大；对称轴右侧（$$x>0$$），$y$随$x$增大而减小。 6. 最值：$x=0$时，$a>0$，$y_{最小}=0$；$a<0$，$y_{最大}=0$。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 抛物线$$y=-5x^2$$的开口方向是（） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 下列抛物线中，开口最宽的是（） A. $$y=3x^2$$ B. $$y=\frac{1}{2}x^2$$ C. $$y=-2x^2$$ D. $$y=4x^2$$ 3. 对于抛物线$$y=2x^2$$，下列说法正确的是（） A. 开口向下 B. 对称轴是$x$轴 C. 当$x>0$时，$y$随$x$增大而增大 D. 顶点坐标为$(2,0)$ （二）填空题 4. 抛物线$$y=4x^2$$的顶点坐标是________，对称轴是________。 5. 已知抛物线$$y=(m-1)x^2$$开口向下，则$m$的取值范围是________。 6. 当$x=$________时，二次函数$$y=-6x^2$$有最________值，值为________。 （三）解答题 7. 已知抛物线$$y=ax^2$$经过点$(2,-8)$，求该抛物线的解析式，并判断开口方向。 8. 比较抛物线$$y=\frac{1}{3}x^2$$与$$y=-4x^2$$的开口宽窄、增减性及最值差异。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：B。解析：$$a=-5<0$$，根据性质，二次项系数小于0，抛物线开口向下。 2. 答案：B。解析：开口宽窄由$$|a|$$决定，$$|a|$$越小开口越宽。四个选项中$$\left|\dfrac{1}{2}\right|$$最小，因此开口最宽。 3. 答案：C。解析：$$a=2>0$$，开口向上，对称轴为y轴，顶点$(0,0)$；$x>0$时，$y$随$x$增大而增大，只有C正确。 4. 答案：$(0,0)$，y轴（直线$x=0$）。解析：$$y=ax^2$$型抛物线顶点固定为原点，对称轴为y轴。 5. 答案：$m<1$。解析：开口向下则$$a<0$$，即$$m-1&lt;0$$，解得$m<1$。 6. 答案：0，大，0。解析：$$a=-6<0$$，开口向下，顶点处取最大值，$x=0$时，$y_{max}=0$。 7. 解析：将点$(2,-8)$代入$$y=ax^2$$，得$$-8=a\times2^2$$，即$$4a=-8$$，解得$$a=-2$$。 抛物线解析式为$$y=-2x^2$$，因为$$a=-2<0$$，所以抛物线开口向下。 8. 解析：①开口宽窄：$$\left|\dfrac{1}{3}\right|<|-4|$$，故$$y=\dfrac{1}{3}x^2$$开口更宽，$$y=-4x^2$$开口更窄； ②增减性：$$y=\dfrac{1}{3}x^2(a>0)$$，$x<0$递减，$x>0$递增；$$y=-4x^2(a<0)$$，$x<0$递增，$x>0$递减； ③最值：$$y=\dfrac{1}{3}x^2$$有最小值0；$$y=-4x^2$$有最大值0。 四、易错总结 1. 混淆$a$的符号与开口方向的关系，记错增减性规律；2. 误以为$a$正负影响开口宽窄，实际只有$|a|$决定宽窄；3. 对称轴记错成$x$轴，$y=ax^2$对称轴固定为y轴；4. 比较函数值大小时，未结合自变量所在区间判断增减性；5. 忽略$a eq0$的前提条件。 了解抛物线及其相关概念. 会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关. 能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 画出二次函数y=x2的图象. 9 4 1 0 1 9 4 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 二次函数y=ax2的图象的画法 知识点 1 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）； 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象． 探究新知 -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下： x y 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫作抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 抛物线与对称轴的交 点叫作抛物线的顶点. 探究新知 画出函数y=-x2的图象. y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 探究新知 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． 探究新知 二次函数y=ax2的图象性质 知识点 2 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 1.y＝-x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 探究新知 1. 顶点都在原点（0,0）; 3. 当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 2. 图象关于y轴对称; 探究新知 二次函数y=ax2的图象性质 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？ 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 探究新知 1.观察图形，y随x的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 探究新知 二次函数y=ax2的性质 知识点 3 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 探究新知 二次函数y=ax2的性质 (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 2.观察图形，y随x的变化如何变化？ 探究新知 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大. 探究新知 二次函数y=ax2的性质 解：分别填表，再画出它们的图象，如图： x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 探究新知 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 【思考】二次函数 的图象开口大小与a的大小有什么关系？ 当a>0时，a越大，开口越小. 探究新知 O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小. 【思考】二次函数 的图象开口大小与a的大小有什么关系？ 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小． 探究新知 x y y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减， 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增， 在对称轴右侧递减 y O x y O x 探究新知 （3）函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ;顶点是抛物线的最 点; （2）函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点 是 顶点是抛物线的最 点; （1）函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ; 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) （4）函数y= －0.2x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 . 向上 y轴 (0,0) 向下 y轴 (0,0) 高 低 填一填 探究新知 19 19 例 已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式 m2+m 解: 依题意，得 m+1>0 , ① m2+m=2 , ② 解②,得m1=－2, m2=1. 由①,得m>－1. 因此 m=1. 此时,二次函数为 y=2x2. 利用函数y=ax2的图象性质确定字母的值 素养考点 探究新知 已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= . 解： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0. 因此， 解得k=2 . 2 巩固练习 21 知识点1 二次函数 的图象 1. 关于二次函数 的图象，下列说法错 误的是( ) C A. 它是一条抛物线 B. 它的开口向上，且关于 轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它与的图象关于 轴对称 中考考法 22 【点拨】的图象是一条抛物线，开口向上，关于 轴 对称，顶点是抛物线的最低点，它与的图象关于 轴对称，故C错误，符合题意. 中考考法 23 2. 二次函数与一次函数 在同一坐标系中 的大致图象可能是( ) D A. B. C. D. 中考考法 24 （第3题） 3. 如图所示，三个二次函数的图象分 别对应的是； ； ,则，， 的大小关系是 _____________. 中考考法 25 （第3题） 【点拨】 解法1：由抛物线的开口方向，可知 , , ,由抛物线的开口大小，可知 , . 解法2：用特殊值法，当 时，四个函数 值分别等于二次项系数， . 中考考法 26 在中， 与其图象开口方向、 开口大小之间的关系 的符号： 开口向上； 开口向下. 的绝对值：越大 开口越小； 相等 开口大小相同. （第3题） 中考考法 27 知识点2 二次函数 的性质 4. 若点,都在二次函数 的图象上， 则( ) C A. B. C. D. 中考考法 28 （第5题） 5. 如图，正方形的边长为4,以正方形的中 心为原点建立平面直角坐标系，作出二次 函数与 的图象，则阴影 部分的面积是( ) C A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 中考考法 29 6. 已知二次函数，当时， 随的增大而减小，则实数 的值可能是_________________. （写出一个即可） 0（答案不唯一） 7.[2026合肥模拟] 已知抛物线，当时， 的 取值范围是__________. 中考考法 30 8.已知是二次函数，且当时，随 的增大而增大. （1）求 的值，并画出它的图象； 【解】根据题意，得 解得或 （舍去）. 中考考法 31 二次函数的解析式为 ，其图象如图所示. 中考考法 32 （2）写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； 该函数图象的对称轴为轴，顶点坐标为 . （3）如果点 是此二次函数图象上的一点，若 ，求 的取值范围. 点是此二次函数图象上的一点，且 ， 当时， ; 当时， . 当时，或 . 中考考法 33 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 $