精品解析：江西省吉安市永新县2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025～2026学年度第二学期期末教学质量检测八年级数学试卷 （温馨提示：本试卷共23题，总分120分，检测时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各图中，只是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（ ） A. 两条边相等 B. 一个角为直角 C. 有一个角 D. 两条直角边相等 4. 依据所标数据，如图一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 小丁喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列四个字：安，美，好，吉，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 好美 B. 美好 C. 吉安美 D. 吉安好 6. 今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何?（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱?设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分式有意义的条件是______________． 8. 如图，数轴上表示的不等式的解为__________． 9. 如图，将绕点A逆时针旋转50°得到（点B、C的对应点分别为点D、E），若，且，则的度数为 _____． 10. 如图，在平行四边形中，，分别是，的中点，．则_____． 11. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 12. 已知在中，，，P为直线上一点，且，则的长为____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解分式方程：； （2）如图，在中，，的角平分线交于点，．若，，求的面积． 14. 解不等式组并写出它的整数解． 15. 先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． （1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； （2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 16. 如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； （2）如图2，作一个底角为的等腰三角形． 17. 如图，在中，，，．点是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点在上．求： （1）线段在平移过程中扫过区域形成的四边形为平行四边形； （2）平行四边形面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： （1）； （2）垂直平分． 19. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 20. 如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了、和三个区域，分别摆放三种不同的花卉，已知，米，米，米，米． （1）证明：； （2）一天傍晚，老林和老李以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． （1）下面是小丁同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式（_______）（_______） 将代入，得原式_______． （2）请你用“换元法”对多项式进行因式分解． （3）请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 22. 如图，在平行四边形中，，为锐角．点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点、，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案：分别取，的中点，； 乙方案：作于点，于点； 请回答下列问题： （1）你认为按照甲方案得到的四边形是平行四边形吗？ 答：________（填是或者不是） （2）你认为按照乙的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． （3）请你给出一种和他们不同的方案，请用文字表达你的方案，并在图中标记字母，并写出证明． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末教学质量检测八年级数学试卷 （温馨提示：本试卷共23题，总分120分，检测时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各图中，只是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A． 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B． 既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意； C． 是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意； D． 不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选C． 2. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】A．两边同时加3，不等式方向不变，应为，故A错误． B．两边同时乘以，不等式方向改变，即，故B正确． C．两边同时除以正数4，不等式方向不变，应为，故C错误． D．两边同时减b，不等式方向不变，应为，故D错误． 综上，只有选项B一定成立． 故选B． 3. 小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（ ） A. 两条边相等 B. 一个角为直角 C. 有一个角 D. 两条直角边相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 依据所标数据，如图一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C正确； 一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故D错误； 故选：C． 5. 小丁喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列四个字：安，美，好，吉，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 好美 B. 美好 C. 吉安美 D. 吉安好 【答案】C 【解析】 【分析】先利用提取公因式法和平方差公式对原式因式分解，再结合已知的式子与汉字的对应关系，得到结果对应的密码信息． 【详解】解：∵ ， 由已知对应关系，对应美，对应吉，对应安， ∴ 三个因式对应的汉字为美、吉、安， 结果呈现的密码信息是吉安美． 6. 今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何?（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱?设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：罗布一尺的价值绫布一尺的价值文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设绫布有x尺， 则根据题意可列方程为：， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分式有意义的条件是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】根据题意得：1﹣x≠0， 解得：x≠1． 故答案为：x≠1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解答本题的关键． 8. 如图，数轴上表示的不等式的解为__________． 【答案】x>1 【解析】 【详解】解：根据数轴可得：x＞1．故答案为x＞1． 9. 如图，将绕点A逆时针旋转50°得到（点B、C的对应点分别为点D、E），若，且，则的度数为 _____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转50°得到， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 10. 如图，在平行四边形中，，分别是，的中点，．则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，结合中点定义得出，从而判定四边形为平行四边形，利用平行四边形对角相等及邻补角定义即可求解． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 11. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 12. 已知在中，，，P为直线上一点，且，则的长为____． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论思想的应用，关键在于正确分析点的位置，并利用几何关系求解． 分和两种情况讨论，同时要分点在线段上和线段的延长线上两种情况，结合图形逐一求解． 【详解】解：根据题意，的直角顶点不确定, ∴需分和两种情况讨论． ①当时，如图(1)，满足题意的点 P 有两个， 在直线上点B 的两侧，分别记为点，． ，， ②当时，如图(2)，满足题意的点 P 有两个，在直线上点B的两侧，分别记为点，． ，， ． ，， 是等边三角形， 综上，的长为、或3． 故答案为：、或3． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解分式方程：； （2）如图，在中，，的角平分线交于点，．若，，求的面积． 【答案】（1）原分式方程无解 （2） 【解析】 【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母把该分式方程化为一元一次方程求解，注意也要乘以最简公分母，最后检验即可； （2）利用角平分线性质推出，再结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘以得， 解得， 检验：当时，，故是该分式方程的增根，原分式方程无解； 【小问2详解】 解：是的平分线，，， ， ． 14. 解不等式组并写出它的整数解． 【答案】 不等式组的解集为，整数解为0，1，2，3，4 【解析】 【分析】先求得不等式组的解集，根据解集确定整数解即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为0，1，2，3，4． 15. 先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． （1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； （2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 【答案】（1）③ （2） 解： 当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底； （2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底， 应为：； 【小问2详解】 略 16. 如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； （2）如图2，作一个底角为的等腰三角形． 【答案】（1）如图，即为所求作的三角形； （2）如图，或即为所求； 【解析】 【分析】（1）连接，，交于点，则即为所求作的三角形； （2）连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 【小问1详解】 解：如图，连接，，交于点，则即为所求作的三角形； 理由：∵多边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 理由：由（1）可得：，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∴是正五边形的对称轴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求作的等腰三角形， 同理可得：即为所求作的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． 17. 如图，在中，，，．点是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点在上．求： （1）线段在平移过程中扫过区域形成的四边形为平行四边形； （2）平行四边形面积． 【答案】（1）由平移的性质可知，线段是由线段沿射线方向平移得到的， ， 四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质即可得到四边形为平行四边形． （2）先根据勾股定理求出的值，再利用直角三角形的中线以及平行四边形的性质得到，根据它们的余弦值相等，列式得到的值，最后求出平行四边形面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，， ， 点是中点， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ，解得， 在中，， 所以平行四边形面积为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： （1）； （2）垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 19. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】（1）原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 （2）该公司原计划最多应安排8名工人施工 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； 【小问2详解】 解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 20. 如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了、和三个区域，分别摆放三种不同的花卉，已知，米，米，米，米． （1）证明：； （2）一天傍晚，老林和老李以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：在中，，米，米， 根据勾股定理，得， 即米， 在中，米，米， ∵米，米， ∴， 根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形， ∴； （2）线段的长度为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）在中，根据勾股定理，可得米，在中，可得，根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，即可证得； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理可列方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：由（1）知为直角三角形，， 根据题意可得，， 设米，则米， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∴线段的长度为米． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． （1）下面是小丁同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式（_______）（_______） 将代入，得原式_______． （2）请你用“换元法”对多项式进行因式分解． （3）请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，原式化简为，将代入，即可求解； （2）设，原式化简为，将代入，即可求解； （3）设，原式化简为，将代入，即可求解； 【小问1详解】 解：设， 原式， ， ， 将代入，得原式． 【小问2详解】 解：设， 原式， ， ， 将代入，得原式． 【小问3详解】 解：设， 原式， ， 将代入，得原式． 22. 如图，在平行四边形中，，为锐角．点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点、，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案：分别取，的中点，； 乙方案：作于点，于点； 请回答下列问题： （1）你认为按照甲方案得到的四边形是平行四边形吗？ 答：________（填是或者不是） （2）你认为按照乙的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． （3）请你给出一种和他们不同的方案，请用文字表达你的方案，并在图中标记字母，并写出证明． 【答案】（1）是 （2）乙的方案得到的四边形是平行四边形；理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质： （1）甲方案：根据两条对角线相互平分的四边形为平行四边形即可得证； （2）乙方案：根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （3）在上取，即可得到四边形为平行四边形． 【小问1详解】 解：甲的方案得到的四边形是平行四边形； 证明：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 故答案为：是； 【小问2详解】 解：乙的方案得到的四边形是平行四边形； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问3详解】 解：在上取，即可得到四边形为平行四边形， 证明：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 【答案】（1） 解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $