3.1.1　第2课时　函数概念的综合应用----2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦函数概念综合应用，涵盖定义域、对应关系、值域等核心要素，通过商品购买实际问题导入，结合思维导图梳理区间与函数三要素，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接函数基础与综合应用。 其亮点在于以问题链驱动探究，如定义域求法融合分式与根式运算，函数值计算设计f(x)+f(1/x)定值问题，判断同一函数通过多选题辨析，渗透数学抽象与逻辑推理。类题通法总结与分层练习助力学生掌握，教师可直接应用提升教学效率，学生在实例中培养数学思维与应用能力。

第2课时　函数概念的综合应用 素养目标 思维导图 1.了解构成函数的要素(数学抽象). 2.能求简单函数的定义域(数学运算). 课前自主学习 问题:某种商品的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})件该商品需要y元. (1)问题中买商品的件数x与花费的钱数y这两个变量之间存在什么关系? (2)其中x,y的对应关系若可用y=f(x)来表示,其中x取哪些值,y取哪些值? (3)f(2)等于多少?f(3)呢?f(a)呢? (4)f(x)与f(a)是否相同?为什么? 提示:(1)函数关系.每一个x值都唯一对应着一个确定的y值. (2)x的取值为1,2,3,4,5;y的取值为5,10,15,20,25. (3)f(2)=10,f(3)=15.若a∈{1,2,3,4,5},则f(a)对应y的一个值,否则无法表示. (4)不同.f(x)表示y是x的函数,其中f为对应关系;而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值. 【核心概念】 区间的概念及表示 设a,b是两个实数,且a<b,则有下表: 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞), “∞”读作“无穷大”.如: 符号 定义 [a,+∞) {x|x≥a} (a,+∞) {x|x>a} (-∞,a] {x|x≤a} (-∞,a) {x|x<a} 课堂合作探究 探究点一　函数定义域 【典例1】(1)求下列函数的定义域: ①f(x)=; ②f(x)=; ③f(x)=; ④f(x)=. 【思维导引】根据分母不等于零,二次根式大于等于零等,来分析此题,即可得到我们所需要的答案. 【解析】①要使有意义,只需x-4≠0,即x≠4.所以函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≠4}. ②因为对于x∈R的任何一个值,f(x)=都有意义,所以f(x)=的定义域为R. ③要使有意义,只需x2-3x+2≠0,即x≠1且x≠2. 所以函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≠1且x≠2}. ④要使有意义,只需所以x≤4且x≠1.所以函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≤4且x≠1}. (2)(一题多问) 已知f(x)=,回答下列问题. ①求f(x)的定义域; ②求y=的定义域; ③求函数g(x)=的定义域; ④求h(x)=f(2x)+的定义域. 【问题解读】①由函数有意义列出不等式组求解; ②③④利用抽象函数和具体函数的定义域求解. 【解析】①要使f(x)=有意义,则需,解得x≤1且x≠0, 所以f(x)的定义域为{x|x<0或0<x≤1}. ②由函数f(x)的定义域为{x|x<0或0<x≤1}得 解得x<0或0<x≤, 故y=的定义域为(-∞,0)∪(0,]. ③由函数f(x)的定义域为{x|x<0或0<x≤1},对于函数g(x)=, 则有, 解得x<-2或-2<x<-或-<x≤0. 因此,函数g(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,-)∪(-,0]. ④由函数f(x)的定义域为{x|x<0或0<x≤1}得解得-3≤x<0或0<x≤,故h(x)=f(2x)+的定义域为[-3,0)∪(0,]. 【题后反思】函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示. 【类题通法】要使函数有意义,应有: (1)分式的分母不为0; (2)偶次根下非负; (3)y=x0中要求x≠0; (4)实际问题中函数的定义域,要考虑实际意义. 【定向训练】 1.f(x)=的定义域为[3,+∞),则正实数a的取值集合为　　　　.  【解析】因为f(x)=的定义域为[3,+∞), 所以由a2x-9≥0,可得x≥=3,又a>0, 所以a=,故正实数a的取值集合为{}. 答案:{} 2.已知函数f(x)的定义域为[0,2],则g(x)=f(x+)+f(x-)的定义域为　　　　　.  【解析】因为f(x)的定义域是[0,2],且g(x)=f(x++f(x-), 所以则 所以≤x≤,所以g(x)的定义域为[,]. 答案:[,] 探究点二　求函数值 【典例2】已知函数f(x)=. (1)求f(2)+f()的值. (2)求证:f(x)+f()是定值. (3)求2f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 024)+f()的值. 【思维导引】(1)根据函数解析式代入运算可得解; (2)根据函数解析式列式运算可得证; (3)由(2)的结论,结合运算即可得解. 【解析】(1)因为f(x)=, 所以f(2)+f()==5×()=5. (2)f(x)+f()===5×=5为定值. (3)由(2)可知,f(x)+f()=5,f(1)==,所以2f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 024)+ f()=[f(1)+f(1)]+[f(2)+f()]+[f(3)+f()]+…+[f(2 024)+f()]=5×2 024=10 120. 【类题通法】 求函数值的方法 (1)替换:求函数值时,只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)替换后进行计算即可. (2)原则:求f(f(x))时,应遵循由里到外的原则. 【定向训练】 1.已知函数f(x)=(x≠-1且x≠0). (1)求f(2)+f()的值; (2)求证:f(x)+f()是定值. 【解析】(1)已知f(x)=,代入计算可得f(2)+f()===1. (2)f(x)=,f(x)+f()===1(x≠-1且x≠0). 2.已知函数f(x)=x2+1,x∈R. (1)分别计算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值. (2)由(1)你发现了什么结论?并加以证明. 【解析】(1)f(1)-f(-1)=(12+1)-[(-1)2+1]=2-2=0;f(2)-f(-2)=(22+1)-[(-2)2+1]=5-5=0; f(3)-f(-3)=(32+1)-[(-3)2+1]=10-10=0. (2)由(1)可发现结论:对任意x∈R,有f(x)-f(-x)=0.证明如下:因为f(-x)=(-x)2+1= x2+1=f(x),所以对任意x∈R,总有f(x)-f(-x)=0. 探究点三　判断是否为同一个函数 【典例3】(多选题)下列各选项给出的两个函数中,表示同一个函数的有(　　) A.f(x)=x与g(x)= B.f(t)=|t-1|与g(x)=|x-1| C.f(x)=与g(x)=-x D.f(x)=与g(x)=x-1 【思维导引】对于两个函数,只要定义域相同,对应关系相同,则两函数为同一个函数. 【解析】选BC.对于A:f(x),g(x)定义域都为R,但f(x)=x,g(x)=|x|,对应关系不同,故不是同一个函数;对于B:f(t)=|t-1|定义域为R,g(x)=|x-1|定义域为R,定义域相同,对应关系也相同,故为同一个函数;对于C:f(x)=定义域为x≤0,且可化简为f(x)=-x,函数g(x)=-x·定义域为x≤0,两函数定义域相同,对应关系相同,故为同一个函数;对于D:f(x)=的定义域为x≠-1,g(x)=x-1的定义域为R,定义域不同,故不是同一个函数. 【类题通法】判断同一个函数的方法与注意点 (1)方法:先求定义域,若定义域不同,则不相同;若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同. (2)两个注意点: ①函数的表示:与变量用什么字母表示无关; ②解析式的化简:在化简解析式时,必须是等价变形. 【定向训练】 1.下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A.f(x)=x-2,g(x)= B.f(x)=,g(x)=1 C.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1 D.f(x)=,g(x)= 【解析】选C.选项A中f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠-2},故定义域不同,因此不是同一个函数;选项B中f(x)的定义域为{x|x≠0}, g(x)的定义域为R,故定义域不同,因此不是同一个函数;选项D中f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠1},定义域不同,因此不是同一个函数;而C选项只是表示变量的字母不一样,表示同一个函数. 2.在下列函数中,与函数y=是同一个函数的为(　　) A.y= B.y= C.y= D.y= 【解析】选A.函数y=的定义域是R,函数式化简为y=x,y=的定义域是R,函数式可化简为y=x,是同一个函数, y=的定义域是{x|x≠1},不是同一个函数, y=的定义域是R,函数式可化简为y=|x|,对应关系不相同,不是同一个函数, y=的定义域是{x|x≠0},不是同一个函数. 课堂练习 1.函数f(x)=(x∈R)的值域是(　　) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 【解析】选B.由于x∈R,所以x2+1≥1,0<≤1,即0<y≤1. 2.(多选题)下列四组函数中,表示同一个函数的是(　　) A.f(x)=|x|,g(x)=()2 B.f(x)=2x,g(x)= C.f(x)=x,g(x)= D.f(x)=1-x2,g(t)=(1+t)(1-t) 【解析】选CD.函数f(x)=|x|的定义域为R,g(x)=()2的定义域为[0,+∞),定义域不同,不是同一个函数;函数f(x)=2x的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≠0},定义域不同,不是同一个函数;f(x)=x,g(x)==x,两函数为同一个函数;D.定义域和对应关系都相同,是同一个函数. √ √ √ 3.函数f(x)=的定义域为　　　.  【解析】由题意得-x2+10x-21≥0, 所以x2-10x+21≤0,即(x-3)(x-7)≤0, 解得3≤x≤7. 答案:{x|3≤x≤7} 4.已知区间(4p-1,2p+1),则p的取值范围为　　　　　.  【解析】由题意,得4p-1<2p+1, 所以p<1. 答案:(-∞,1) 5.若f(x)=,且f(a)=2,则a=　　　　.  【解析】由f(a)==2,得a=2或a=. 答案:2或 谢 谢 $