2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义通过表格对比、步骤梳理系统构建二次函数与一元二次方程、不等式的知识体系，基础回顾部分用表格呈现判别式与方程根、不等式解集的对应关系，以“判号、求根、标根、写解集”四步解法串联知识点，突出函数与方程、不等式的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从解不含参不等式到含参讨论、根的分布及实际应用，如“刹车距离与车速关系”问题培养数学建模与应用意识，结合多选、解答题训练逻辑推理能力。课时精练覆盖不同难度，助力学生分层提升，为教师实施精准复习提供清晰框架。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【题型一】一元二次不等式根的分布问题 2 【题型二】解不含参的一元二次不等式 7 【题型三】解含参的一元二次不等式 11 【题型四】由一元二次不等式的解求参数 15 【题型五】不等式的恒成立与有解问题 20 【题型六】一元二次不等式的实际应用 24 【基础回顾】 知识点1：一元二次不等式的相关概念 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 （1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 （2）一般形式： ,，（其中） （3）一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。 知识点2：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫作二次函数的零点。 知识点3：函数与方程、不等式的对应关系 判别式 二次函数的图像 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 对应方程的根 两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 不等式的解集 知识点4：一元二次不等式的解法 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根; ③时，方程无解 （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间。 【题型一】一元二次不等式根的分布问题 1．（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为关于的一元二次方程有实根， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：B 2．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 3．（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 4．（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 5．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 6．（25-26高一上·河南新乡·期末）已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ， ， 设， 中恰有三个正整数， 有两个不同的解， ，， 的两个根为， ，， 转化为， 的解集为， 中恰有三个正整数，故， ， ， ，，， ，， ，，， ，，， 综上可知，， 实数的取值范围是. 故选：B. 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. （多选）8．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 【答案】ABD 【详解】因为二次函数， 所以方程， 所以，故A正确； 方程的两根为，且， 所以一元二次不等式的解集为，故B正确； 若且，则，故C错误； 二次函数对称轴为，开口向上， 所以当时，函数的图像在上单调递减， 所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递增， 所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递减，在上单调递增， 所以函数最小值为，故此情况无解， 综上，的值为或4，故D正确； 故选：ABD （多选）9．（25-26高一上·福建厦门·月考）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【详解】若，则，但， 故不是的一个必要条件，故A错误； 当时，，符合题意； 若，则当集合中只有一个元素时，，得， 综上，或，故B错误； 若一元二次方程有一正一负根， 则一元二次方程有一正一负根， 其充要条件是，即，故C正确； 因为，所以， 因为集合的子集个数有个，故集合的个数为4，故D正确. 故选：CD （多选）10．（重庆市求精中学校2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 【题型二】解不含参的一元二次不等式 1．（天津河东区2026届高三第二学期质量检测（二）数学试题）已知，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】或，解得或， ，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 2．（广东深圳市2026届高三年级下学期第二次调研考试数学试题）已知集合，则（   ） A． B．{1} C． D． 【答案】C 【详解】， 得 3．（2026·陕西西安·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，， 所以. 4．（2026·辽宁沈阳·三模）命题“ ”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式等价于，解得. 找充分不必要条件，即找集合的真子集，仅 C选项是原解集真子集. 5．（浙江省稽阳联谊学校2026届高三下学期4月联考数学试题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先求解集合，解不等式，因式分解得，解得，即. 已知，根据交集定义得. 6．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·月考）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价为， 对于，令，则或， 二次函数，二次项系数，图像开口向上， 不等式的解为或， 又因为，即， 综上可得，不等式的解集为或. 7．（2026·河北保定·一模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由解得：或，故或， 由，解得：，故， 所以 （多选）8．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． （多选）9．（25-26高一上·云南昆明·期末）下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】BCD 【详解】对于A，当，时，则，故A错误； 对于B， 可化为，解得，故B正确； 对于C，当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为5，C正确； 对于D，当时，不等式可化为恒成立，符合题意； 当时，由题意可知，解得； 综上所述，k的取值范围是，故D正确. 故选：BCD （多选）10．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知二次函数，满足则下列正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．若在上的值域为，则 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【详解】由，可得对称轴为，所以，A正确； 因为，所以，即，解得，B错误； 由在上的值域为，可知其最小值必为，故， 其最大值必为3，而，故须满足，解，得， 综上，，C正确； 因为在上不等式恒成立，所以， 因为，当且仅当时取得最小值，故，D正确. 故选：ACD 【题型三】解含参的一元二次不等式 含参数的一元二次不等式讨论依据： 1.对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2.当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3.当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 1．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 2．（25-26高一下·湖北十堰·月考）已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】C 【详解】若，则， 故不等式的解集为，故A正确； ， 若，则，则不等式的解集为，故B正确； ， 若，则对恒成立； 若，由于对恒成立， 所以，得， 故整数k的取值集合为，故C错误； 若，则，有无数个整数解，不符合； 若，则图像开口朝下，有无数个整数解，不符合； 故，则不等式的解集为， 欲使解集中仅存在两个整数，则，得，故D正确. 3．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】不等式 可化为， 当 时，不等式为 ，不满足对任意的 恒成立； 当 时， 的图像开口向下，不满足题意， 所以 ，且 ，所以 ， 所以 ，且 ； 所以 ，当且仅当 ， 即 时等号成立，所以 的最小值为 . 4．（2027高三·全国·专题练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为在上恒成立， 所以 解得．综上， 故选：C． 5．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】时，， 不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 6．（25-26高一上·江苏南通·期末）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且，所以. 所以不等式可化为 ， 所以或. 所以不等式的解集为. 故选：A 7．（25-26高三上·陕西商洛·月考）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. （多选）8.（25-26高一下·浙江·月考）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. （多选）9．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【详解】A选项，由题意得为一元二次方程的两个根，且， 故，即，A正确； B选项，，B不正确； C选项，由A选项可知，，解得，C正确； D选项，， 又，故，解得或，D正确. 故选：ACD （多选）10．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知关于的不等式解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】ABC 【详解】由关于的不等式的解集为， 得且方程的两个根为，即，解得， 对于A，，A正确； 对于B，不等式，即，解得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，不等式，即，整理得，解得，D错误. 故选：ABC 【题型四】由一元二次不等式的解求参数 1．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】易知是方程的根， 即，所以, 当时，不等式为，即,其解集为或. 故实数的值为1. 2．（25-26高一下·山东德州·月考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 又，则，当且仅当时取等号， 所以其最小值为. 3．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 4．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为， 且乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值， 可得，解得，所以不等式为， 又由，解得， 即不等式的解集为 5．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）已知函数，若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由不等式，可得，即， 令， 当时，可得；当时，可得， 可得， 要使得关于的不等式的解集中有且只有2个整数， 只需不等式的解集中有且只有2个整数， 画出函数的图像，如图所示，结合图像，则满足， 即实数的取值范围为. 6．（25-26高一上·上海·期中）关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式，得，解得或， 又，所以不成立， 故原不等式组等价于， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组有两个整数解，所以整数解为， 所以，解得. 7．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，， 因为，所以， 得， 由不等式（）解集中恰有2个整数， 得，得， 故实数取值范围是． （多选）8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． （多选）9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. （多选）10．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 【题型五】不等式的恒成立与有解问题 对于一元二次不等式的恒成立与有解问题，具体类型与方法后有专题讲解，可在学习专题后进行练习。 1．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 2．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为不等式恒成立， 所以. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以，所以， 所以实数m的取值范围是． 3．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 4．（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 要存在，使得不等式成立，则小于或等于的最大值， 因为，当时，取“”， 所以， 故选：C. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵不存在，使得不等式成立， ∴对任意，不等式恒成立， ∴方程对应的，解得． 7．（2025高一上·江苏·专题练习）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】由可得：， 所以，. 又，且，，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立，所以. 由二次函数的性质可知的图像开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 所以故实数的最小值是4. 故选：A （多选）8．（25-26高一上·重庆·期中）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C．当时，，上的值域为，则的取值范围是 D．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是. 【答案】BC 【详解】对于A：根据二次不等式的性质：不等式的解集为，所以；故选项错误； 对于B：由题意得：，，根据韦达定理：得：， 所以，，代入不等式得：，因为，所以，因为分解得，解集为；故选项正确； 对于C：由，，得：，，代入，，，因为上的值域为， 所以，由得，或，因为时，，所以当时，，此时；当时，，此时，所以的取值范围是；故选项正确； 对于：由题意得：，令，由对勾函数得：在上单调递增，所以，即，因为恒成立，所以，即，故，解集为：，故选项错误； 故选：. （多选）9．（25-26高一上·四川凉山·期中）关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为或 C．的解集为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 【答案】AB 【详解】由不等式的解集为，则，且，即， 对于A，由的对称轴，则是的两根， 所以，得，且，故A正确； 对于BC，由A知即，所以不等式变为， 又，所以，解得或，故B正确，C错误； 对于D，令，由对恒成立， 由于表示开口向上的抛物线， 所以，解得， 又，所以，故D错误. 故选：AB. （多选）10．（25-26高一上·黑龙江·期中）当时，关于的不等式有解的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】当时，关于的不等式有解， 即在上有解，即， 令，可得，因为，则， 将代入，可得，其中， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以，即的取值范围为， 设满足题意的必要不充分条件构成集合，则满足，即为的真子集， 结合选项，可得AB项符合题意. 故选：AB. 【题型六】一元二次不等式的实际应用 1．（25-26高一上·江苏·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 2．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 3．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可以验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 4．（25-26高一上·江苏南京·期中）设为实数，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】令， 则，将其视为关于的二次方程， 则， 因为为实数，则， 再整理为关于的二次不等式，则， 因为为实数，则该不等式有解，则， 当（包含的情况）时，该不等式成立； 当时，该不等式化简为，即，解得， 所以最大值为. 故选：B 5．（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设风暴中心最初在A处，经后到达B处，自B向x轴作垂线，垂足为C.若在点B处受到热带风暴的影响，则，所以，即，两边平方并化简，整理得，解得或（舍去）.所以进港避风的时间最迟应在13点40分. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. （多选）8．（25-26高一上·全国·课后作业）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速. （多选）9．（22-23高一上·江苏徐州·月考）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 【答案】CD 【详解】第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以. 故选：CD. （多选）10．（23-24高一上·四川泸州·月考）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（    ） A．18 B．15 C．16 D．20 【答案】ABC 【详解】设这批台灯的售价为x（元）， 则为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入， 所以，化简得：, 解得：. 故选：ABC. 课时精练 一、单选题 1．（2026·江苏镇江·二模）集合的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 【答案】A 【详解】由，得，即， 解得，所以， 所以集合的子集个数是. 2．（广东江门市2026届高考适应性测试数学试题）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 3．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 4．（2026年4月高中毕业班教学质量调研数学试卷）下列命题为真命题的是（   ） A．命题，，则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 【答案】B 【详解】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论， 故命题，的否定是：，，故A错误； 对于B，由可得；但时，满足，却得不到， 故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，设，则方程的两根都大于1等价于： ，解得，故C错误； 对于D，对于x的不等式，当时，不等式恒成立， 当时，不等式对一切实数x恒成立等价于，解得. 综上可得，是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件，故D错误. 5．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）“”是关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 6．（24-25高一上·安徽淮北·期末）若“，”是真命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，”是真命题， 当时， 原不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时 是二次函数，要使是对任意恒成立， 所以 ，即, 解得. 综上，的取值范围为. 7．（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件； ，解得， 的取值范围是，故A正确． 故选：A． 8．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知，则“在上恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在R上恒成立时， 当时，原不等式为，成立，故符合题意； 当时，关于的不等式在R上恒成立 ， 综上所述，的取值范围为， 而⫋，所以在上恒成立是的必要不充分条件. 故选：B 二、多选题 （多选）9．（25-26高一上·江苏常州·期末）下列说法错误的是（   ） A．已知集合，且，则实数为0或3 B．函数的最小值为2 C．不等式解集为或 D．一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，，与集合元素互异性矛盾， 当时，解得或， 时，，与集合元素互异性矛盾，时，，符合题意， 所以，故A错误； 对于B，设，则在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，故B错误； 对于C，不等式，等价于， 解得或，故C正确； 对于D，一元二次不等式恒成立，即， 解得：，故D错误． 故选：ABD． （多选）10．（25-26高一上·宁夏银川·期末）下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．若，则函数的最小值为2 C．不等式的解集为 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】AD 【详解】因为，所以，所以，即，故A正确； 因为，，所以，故B错误； 由可得，解得或，故C错误； 当时，对恒成立，满足题意； 当时，恒成立， 则，解得，综上k的取值范围是，故D正确. 故选：AD （多选）11．（25-26高三上·福建漳州·月考）下列说法正确的是（    ） A．若实数，，满足，则； B．若，则函数的最小值为； C．不等式的解集为； D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是． 【答案】AC 【详解】若实数，，满足，可得，则，故A正确； 若，设 ，函数 即， 由对勾函数的性质可知，函数在递增， 则函数的最小值为 ，故B错误； 不等式即为，解得， 即不等式的解集为，故C正确； 当时，不等式恒成立， 若，则恒成立； 若，则，解得． 综上的取值范围是，故D错误． 故选：AC 三、填空题 12．（25-26高二下·宁夏银川·月考）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】为假命题，则为真命题， 可得，解得，即实数的取值范围是. 13．（25-26高二下·全国·自主招生）已知对所有成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】将看作关于的二次函数：， 因为对任意的恒成立，故判别式恒成立， 故． 要使该式对任意恒成立，必须满足： ，解得，则. 故答案为：. 14．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】当时，不等式为，显然恒成立，符合题意； 当时， 因为关于的不等式对任意恒成立， 所以二次函数的图像在轴的下方， 所以，解得， 综上，可得的取值范围是． 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一下·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）解： ， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 16．（25-26高一上·四川巴中·月考）已知不等式的解集为，不等式的解集为． (1)若，不等式的解集为，求不等式的解集； (2)，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）等价于，解得，所以 当时，整理得，解得，所以 所以， 所以的解集为， 所以的两根为和， 所以，即， 所以可化为，即， 该不等式判别式，且二次项系数为正，因此对任意恒成立 故解集为 （2）①时，原不等式化为，恒成立，符合条件； ②时，因为，，所以 解得 综上，的取值范围是 17．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数． (1)当时，，恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数图像的顶点M在第二象限，且经过点，与x轴的另一个交点为C，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得， 当时，恒成立，当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）依题意，，由的图像过点，得，即， 因此， 由顶点在第二象限，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 18．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【详解】（1）由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，. （2）由（1）可知，则， 则 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为4. （3）由，可得， ①当时，即，解集为； ② 当时，，不等式即为，解集为； ③ 当时，，不等式即为，解集为； ④ 当时，可得，解集为； ⑤ 当时，，不等式即为，解集为. 综上可得,的解集为: 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 19．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)，或， (2) 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则， 解得或，，所以的值为，或，. （2）当时，， 因为关于的不等式在上恒成立，所以， 解得. 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【题型一】一元二次不等式根的分布问题 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】ABD 9．【答案】CD 10．【答案】ABD 【题型二】解不含参的一元二次不等式 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】ACD 9．【答案】BCD 10．【答案】ACD 【题型三】解含参的一元二次不等式 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】A 8.【答案】ACD 9．【答案】ACD 10．【答案】ABC 【题型四】由一元二次不等式的解求参数 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】ABD 9．【答案】ABD 10．【答案】ACD 【题型五】不等式的恒成立与有解问题 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】BC 9．【答案】AB 10．【答案】AB 【题型六】一元二次不等式的实际应用 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】BC 9．【答案】CD 10．【答案】ABC 课时精练 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】ABD 10．【答案】AD 11．【答案】AC 12．【答案】 【详解】为假命题，则为真命题， 可得，解得，即实数的取值范围是. 13．【答案】 【详解】将看作关于的二次函数：， 因为对任意的恒成立，故判别式恒成立， 故． 要使该式对任意恒成立，必须满足： ，解得，则. 故答案为：. 14．【答案】 【详解】当时，不等式为，显然恒成立，符合题意； 当时， 因为关于的不等式对任意恒成立， 所以二次函数的图像在轴的下方， 所以，解得， 综上，可得的取值范围是． 故答案为： 15．【答案】(1) (2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）解： ， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 16．【答案】(1) (2) 【详解】（1）等价于，解得，所以 当时，整理得，解得，所以 所以， 所以的解集为， 所以的两根为和， 所以，即， 所以可化为，即， 该不等式判别式，且二次项系数为正，因此对任意恒成立 故解集为 （2）①时，原不等式化为，恒成立，符合条件； ②时，因为，，所以 解得 综上，的取值范围是 17．【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得， 当时，恒成立，当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）依题意，，由的图像过点，得，即， 因此， 由顶点在第二象限，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 18．【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【详解】（1）由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，. （2）由（1）可知，则， 则 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为4. （3）由，可得， ①当时，即，解集为； ② 当时，，不等式即为，解集为； ③ 当时，，不等式即为，解集为； ④ 当时，可得，解集为； ⑤ 当时，，不等式即为，解集为. 综上可得,的解集为: 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 19．【答案】(1)，或， (2) 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则， 解得或，，所以的值为，或，. （2）当时，， 因为关于的不等式在上恒成立，所以， 解得. 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【题型一】一元二次不等式根的分布问题 2 【题型二】解不含参的一元二次不等式 3 【题型三】解含参的一元二次不等式 5 【题型四】由一元二次不等式的解求参数 6 【题型五】不等式的恒成立与有解问题 8 【题型六】一元二次不等式的实际应用 9 【基础回顾】 知识点1：一元二次不等式的相关概念 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 （1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 （2）一般形式： ,，（其中） （3）一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。 知识点2：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫作二次函数的零点。 知识点3：函数与方程、不等式的对应关系 判别式 二次函数的图像 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 对应方程的根 两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 不等式的解集 知识点4：一元二次不等式的解法 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根; ③时，方程无解 （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间。 【题型一】一元二次不等式根的分布问题 1．（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 6．（25-26高一上·河南新乡·期末）已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 （多选）8．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 （多选）9．（25-26高一上·福建厦门·月考）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 （多选）10．（重庆市求精中学校2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【题型二】解不含参的一元二次不等式 1．（天津河东区2026届高三第二学期质量检测（二）数学试题）已知，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（广东深圳市2026届高三年级下学期第二次调研考试数学试题）已知集合，则（   ） A． B．{1} C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁沈阳·三模）命题“ ”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（浙江省稽阳联谊学校2026届高三下学期4月联考数学试题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·月考）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 7．（2026·河北保定·一模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． （多选）8．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 （多选）9．（25-26高一上·云南昆明·期末）下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 （多选）10．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知二次函数，满足则下列正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．若在上的值域为，则 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 【题型三】解含参的一元二次不等式 含参数的一元二次不等式讨论依据： 1.对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2.当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3.当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 1．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖北十堰·月考）已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 3．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2027高三·全国·专题练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏南通·期末）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·陕西商洛·月考）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （多选）8.（25-26高一下·浙江·月考）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 （多选）9．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 （多选）10．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知关于的不等式解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【题型四】由一元二次不等式的解求参数 1．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26高一下·山东德州·月考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 3．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）已知函数，若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（        ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·上海·期中）关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 （多选）9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 （多选）10．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【题型五】不等式的恒成立与有解问题 对于一元二次不等式的恒成立与有解问题，具体类型与方法后有专题讲解，可在学习专题后进行练习。 1．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 3．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一上·江苏·专题练习）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 （多选）8．（25-26高一上·重庆·期中）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C．当时，，上的值域为，则的取值范围是 D．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是. （多选）9．（25-26高一上·四川凉山·期中）关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为或 C．的解集为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 （多选）10．（25-26高一上·黑龙江·期中）当时，关于的不等式有解的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【题型六】一元二次不等式的实际应用 1．（25-26高一上·江苏·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 3．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏南京·期中）设为实数，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 5．（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ （多选）8．（25-26高一上·全国·课后作业）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 （多选）9．（22-23高一上·江苏徐州·月考）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 （多选）10．（23-24高一上·四川泸州·月考）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（    ） A．18 B．15 C．16 D．20 课时精练 一、单选题 1．（2026·江苏镇江·二模）集合的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 2．（广东江门市2026届高考适应性测试数学试题）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026年4月高中毕业班教学质量调研数学试卷）下列命题为真命题的是（   ） A．命题，，则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 5．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）“”是关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·安徽淮北·期末）若“，”是真命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知，则“在上恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 （多选）9．（25-26高一上·江苏常州·期末）下列说法错误的是（   ） A．已知集合，且，则实数为0或3 B．函数的最小值为2 C．不等式解集为或 D．一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 （多选）10．（25-26高一上·宁夏银川·期末）下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．若，则函数的最小值为2 C．不等式的解集为 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 （多选）11．（25-26高三上·福建漳州·月考）下列说法正确的是（    ） A．若实数，，满足，则； B．若，则函数的最小值为； C．不等式的解集为； D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是． 三、填空题 12．（25-26高二下·宁夏银川·月考）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是______． 13．（25-26高二下·全国·自主招生）已知对所有成立，则的取值范围是___________． 14．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________． 四、解答题 15．（25-26高一下·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 16．（25-26高一上·四川巴中·月考）已知不等式的解集为，不等式的解集为． (1)若，不等式的解集为，求不等式的解集； (2)，，求a的取值范围． 17．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数． (1)当时，，恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数图像的顶点M在第二象限，且经过点，与x轴的另一个交点为C，求实数a的取值范围. 18．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 19．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $