精品解析：云南曲靖一中沾益清源高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

曲靖一中沾益清源高级中学高一年级2026年春季学期 期末考试数学学科试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：牛程雉 审题人：唐振霄 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 则，其虚部为2． 2. 在中，为边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】如图， 故选：C. 3. 已知为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 由二倍角公式，代入得， 整理得. 已知为钝角，则. 因此. 4. 已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间线面、面面平行与垂直的判定及性质，逐一分析各选项的正误。 【详解】对选项A： 若，，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故A错误； 对选项B： 由面面平行的性质可知，若两个平行平面中的一个与一条直线垂直，则另一个平面也与该直线垂直，因此当，时，，故B正确； 对选项C： 若，，则与的位置关系可能为平行、相交或，并非一定垂直，故C错误； 对选项D：若 ，，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故D错误。 5. 若圆锥的底面直径与球的直径相等，且圆锥的体积与球的体积相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥底面直径为，圆锥的高为，则圆锥底面半径为，球的半径为 圆锥的体积与球的体积相等，所以，解得， 所以圆锥母线长为：， 所以圆锥侧面积，球的表面积， 所以，即圆锥的侧面积与球的表面积之比为. 6. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出． 【详解】由题意可得：，且， ，解得：， 所以（负值不符合题意舍去）， . 故选：C 7. 设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量在向量上的投影向量公式，由系数相等得到夹角的关系式，从而求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为，其中为与的夹角，且，因为在上的投影向量为，所以, 将，代入得，解得，因为，且，所以. 8. 若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数在上单调递增及，结合正弦函数单调性与零点性质，得到的取值范围和的含参表达式；再由推出为对称轴，建立的另一含参表达式；联立两式解出，回代并结合的条件，最终确定． 【详解】因为，在上单调递增，，， 所以且， 所以，， 又，则，故， 所以，解得， 因，则，所以， 又，则当，时，． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 已知角的终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可判断角的终边落在第三象限，求出，，利用诱导公式即可得解. 【详解】点的纵坐标为，且． 角的终边落在第三象限， 又，（负根舍去）， ，， ，，， 所以AD正确，BC错误. 10. 若复数，，则下列命题中正确的是（） A. 当或2时，是纯虚数 B. 当时， C. 当时，复数在复平面内所对应的点在第三象限 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的基本概念依次分析各选项即可. 【详解】选项A，实部：，解得或. 时，虚部； 时，虚部，此时为实数，不是纯虚数，故A错误. 选项B，当时， ， ， 所以，故B正确. 选项C，复数在复平面内所对应的点在第三象限时， ，解得：，即，故C错误. 选项D，因为，只有实数才能比较大小，因此都必须为实数. 为实数：虚部， 代入，， 满足，故D正确. 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；将目标式子转换为三角函数即可判断 D． 【详解】对于A，由题意得 ，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，故B正确； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得， 设， 所以， 当时，的最大值为5，故C错误； 对于D，由题意得， 可得， 因为，所以 ， ， 因为， 所以当时，取得最大值，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理可得边的关系，即可根据余弦定理求解. 【详解】由，故， 设，， 故 13. 向量，，若向量，的夹角为钝角，则x的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以且，不反向共线. 由，得，所以； 由，不反向共线，得，所以； 所以，的夹角为钝角，可得x的取值范围是. 14. 如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出截面图形，可知小球最大半径满足，求出半径后代入球的表面积公式即可得解. 【详解】设四分之一球的球心为，小球的球心为，最大半径为，作出截面图形如下： 由题意得，，因为，所以，解得， 小球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤） 15. 已知复数，. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值； （2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值. 【小问1详解】 由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. 【小问2详解】 因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 16. 在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答. 问题：在中，角所对的边分别为，已知_________. （1）求； （2）若的外接圆半径为1，且，求. 注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）选择条件①根据余弦定理边角互化可求解，选择条件②根据正弦定理边化角结合三角恒等变换求解； （2）根据余弦的和差角公式可得，进而利用正弦定理可得，，由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 选择条件①：因为， 在中，由余弦定理可得，化简得， 由余弦定理可得， 因为，所以. 选择条件②：因为，由正弦定理得， . 即， 则， 因为，，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以，即， 即，又因为， 所以. 由于的外接圆半径为，由正弦定理可得， 可得， 所以， 由余弦定理可得， 所以. 17. 已知正方体的棱长为2. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量坐标，通过计算数量积为，从而可证； （2）求得和平面的法向量，利用点面距离的向量公式即可求解. 【小问1详解】 以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴建立如图所示的坐标系． 由正方体的棱长为2知， 则，， 因为，所以，所以； 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为，因为，，所以， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为d，， 则. 18. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积是，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从从而可得，即可得到结果； （3）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即，因为，所以， 则，即. 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以， 则，所以， 则的周长为. 【小问3详解】 由可得， 则 ， 且为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以， 即的取值范围是. 19. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）取的中点F，连接，， 又为的中点，则，且， 又是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，且，， 则，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）①由题意知，， 又是等边三角形，底面为直角梯形， 则，，所以，即， 又因为，且，所以平面， 又平面，故平面平面． ②取的中点，连接，，则，， 又平面平面，且平面平面，所以平面， 所以以为坐标原点，直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又， 则，，，，， 所以，，，， 因为点在直线上， 不妨设， 所以， 设是平面的法向量，则， 取，则，，即， 假设存在点，使得平面，则， 所以， 但此方程组无解，故不存在点，使得平面． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形，直角梯形的性质推出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质，及线面平行的判定即可证明； （2）①先根据曲率的定义求出，再根据线面垂直的判定及性质推出面面垂直即可证明； ②先证明，，两两垂直，再建立对应的空间直角坐标系，根据空间向量的线性关系求出，再求出平面的法向量，再根据线面垂直的关系得到，进而列方程组求解即可判断点是否存在． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中沾益清源高级中学高一年级2026年春季学期 期末考试数学学科试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：牛程雉 审题人：唐振霄 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 在中，为边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 若圆锥的底面直径与球的直径相等，且圆锥的体积与球的体积相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（ ） A. B. C. D. 7. 设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 已知角的终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 若复数，，则下列命题中正确的是（） A. 当或2时，是纯虚数 B. 当时， C. 当时，复数在复平面内所对应的点在第三象限 D. 若，则 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则______. 13. 向量，，若向量，的夹角为钝角，则x的取值范围为________ 14. 如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤） 15. 已知复数，. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求的值. 16. 在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答. 问题：在中，角所对的边分别为，已知_________. （1）求； （2）若的外接圆半径为1，且，求. 注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分. 17. 已知正方体的棱长为2. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 18. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积是，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $