精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

玉溪一中2025—2026学年下学期高一期末考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集运算直接求解即可. 【详解】由题知，， 所以. 故选：B 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为, 故选：C. 3. 若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知方程有实数解，即求. 【详解】由题知方程有实数解， ∴， 解得， 故选：B. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用线面平行的性质判断；对于C，利用线面垂直的判定判断；对于C，利用线面垂直的性质判断；对于D，利用线面平行的判定判断即可 【详解】解：对于A，若，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，所以A错误； 对于B，若，，则直线与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以B错误； 对于C，若，，，则，所以C正确； 对于D，若，，则与可能平行，也有可能直线在平面内，所以D错误， 故选：C 5. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 6. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 所以 ，选D. 7. 在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则△外接圆的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，，故， 所以，则， 故△外接圆的直径，故A正确. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分情况解不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数的定义域上是奇函数，即， 则，所以偶函数， 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 因为，则， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 综上：不等式的解集是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与的夹角为锐角，则 C. 若，则 D. 与共线的单位向量 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平面向量垂直、平行的坐标表示公式，结合平面向量数量积的性质、单位向量的定义逐一判断即可. 【详解】由，所以选项A正确； 因为与的夹角为锐角，所以有且与不是同向向量， 即，假设与是同向向量，故有，因为，所以方程组无实数解， 因此选项B正确； 由，所以有， 所以选项C不正确； 因为，所以与共线的单位向量为， 即或，所以选项D不正确， 故选：AB 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当M，P分别为线段，中点时，， B. 取得最小值 C. 当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为 D. 对任意点M，平面平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.首先判断和的关系，即可判断A；B.将三角形和三角形展成一个平面，根据，即可求解；C.利用补体法，求四面体外接球的半径，即可判断C；根据几何关系，判断平面，判断D. 【详解】对于A.如图，，， ，所以当点是的中点时，与不垂直，故A错误； 对于B.如图，等腰直角三角形和直角三角形展成一个平面，当三点共线时，此时最小，为， ，， ，故B正确； 对于C.四面体的外接球和四棱锥是同一个外接球， 可以将四棱锥补成如图的长方体， 所以外接球的直径，即， 所以外接球的体积，故C正确； 对于D.如图，平面，平面，所以， 且，且，且平面，所以平面， 平面，所以， 同理， 且，且平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用倍角公式化简后换元求值域 【详解】利用，代入原函数：. 令，则原函数转化为：，为开口向上的二次函数，对称轴; 对称轴在区间的右边，即在单调递减. 当(即)时，；当(即)时，， 所以函数的值域为 13. 已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】设正的边长为2，求出圆锥底面圆半径、高、母线及球的半径，再利用体积、表面积公式计算即得. 【详解】依题意，设正的边长为2，则圆锥的底面圆半径为1，高为，母线长为2， 因此，， 球半径即为正的边心距，因此，， 所以. 故答案为：1 14. 设函数，．若对任意的，存在，使得成立，则实数m的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，故原问题转化为存在，使得成立. 【详解】解：由题意可知，所以的最小值为2， 所以存在，使得成立, 假设对任意，都有成立， 即，, 从而有，, 由于，当且仅当时取得等号 所以， 从而当存在，使得成立时，, 综上可得实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在内的频率； （2）估计本次考试的平均分； （3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段内的概率． 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）频率分布直方图中各小长方形面积为概率，其和为1，由此可求解； （2）利用组中值根据求均值的计算方法可求平均分： （3）先按分层抽样确定分数段与分数段的人数各为2人和4人，从中任取2人共有15种基本事件，其中2人皆在分数段内包含6种基本事件，因此至多有1人在分数段包含15-6=9种基本事件，从而可求概率 【小问1详解】 分数在内的频率为 ． 【小问2详解】 估计平均分为 ． 【小问3详解】 由题意，分数段的人数为（人） 在分数段的人数为（人）． ∵用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在分数段内抽取2人，并分别记为； 在分数段内抽取4人，并分别记为； 设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”为事件， 则基本事件共有，共15个． 则事件包含的基本事件有共9个． ∴． 16. 在中，是边上的中线. （1）求的面积； （2）求中线的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出，从而得到，最后利用三角形面积公式即可； （2）首先求得，再利用余弦定理即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 所以. 解得. 因为，所以， 所以， 所以. 又， 所以的面积. 【小问2详解】 在中，，因为是中点， 所以，由余弦定理，得 . 所以. 17. 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由菱形可得， 平面平面，平面平面， 又正方形中， 平面，又平面，， ，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证. （2）过作于，过作于，连接，利用线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角，在中直接求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，则平面. 过作于，连接， 因平面，则， 又平面，，故平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 在中，设，，， ，，， . 即二面角的余弦值为. 18. 设函数． （1）若不等式的解集，求的值； （2）若， ①，求的最小值； ②若在R上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）①9；② 【解析】 【分析】（1）利用不等式的解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可； （2）①利用基本不等式中“1”的应用求解即可；②把转化为在R上恒成立，利用判别式求解即可. 【小问1详解】 若不等式的解集， 则， 所以. 解得. 【小问2详解】 若，即，. ①，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为9， ②在R上恒成立， 即在R上恒成立， 故， 解得： 故a的取值范围为 19. 近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：米3）之间的函数关系为（，k为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为（单位：万元）. （1）解释的实际意义，并写出关于的函数关系； （2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使最小，并求出最小值. （3）要使不超过140万元，求的取值范围. 【答案】（1）的实际意义是未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；，；（2）该合作社应修建容积为立方米的沼气发电池时，可使最小，且最小值为万元；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根据题中函数关系式，可直接得到的实际意义；求出，进而可得关于的函数关系； （2）根据（1）中的函数关系，利用基本不等式，即可求出最小值； （3）将，转化为关于的不等式，求解即可. 【详解】（1）的实际意义是修建这种沼气发电池的面积为时的用电费用， 即未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费； 由题意可得，，则； 所以该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为，； （2）由（1）， 当且仅当，即时，等号成立, 即该合作社应修建容积为立方米的沼气发电池时， 可使最小，且最小值为万元； （3）为使不超过140万元，只需， 整理得， 则，解得， 即的取值范围是 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年下学期高一期末考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 7. 在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则△外接圆的直径为（ ） A. B. C. D. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与的夹角为锐角，则 C. 若，则 D. 与共线的单位向量 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当M，P分别为线段，中点时，， B. 取得最小值 C. 当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为 D. 对任意点M，平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为______. 13. 已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则__________. 14. 设函数，．若对任意的，存在，使得成立，则实数m的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在内的频率； （2）估计本次考试的平均分； （3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段内的概率． 16. 在中，是边上的中线. （1）求的面积； （2）求中线的长. 17. 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 设函数． （1）若不等式的解集，求的值； （2）若， ①，求的最小值； ②若在R上恒成立，求实数a的取值范围． 19. 近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：米3）之间的函数关系为（，k为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为（单位：万元）. （1）解释的实际意义，并写出关于的函数关系； （2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使最小，并求出最小值. （3）要使不超过140万元，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $