精品解析：山东省烟台龙口市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025—2026学年度第二学期期中阶段性测试 初三数学试题 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.答选择题时,必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4.保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5.请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、书写与卷面（3分） 书写规范 卷面整洁 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，被开方数23是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件，该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. cm，，， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列各式中，能与合并的是（　　） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数为的同类二次根式，只需将各选项化简后，判断被开方数是否相同即可． 【详解】解：A选项：，化简后不含，不能与合并； B选项：是整数，不含，不能与合并； C选项：，化简后被开方数为，不是，不能与合并； D选项：，化简后被开方数为，与是同类二次根式，能与合并． 4. 下列问题中的两个量x、y成反比例的是（ ） A. 普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，平均每天使用的时间x（时）与它的可使用天数y（天） B. 一种商品的单价为a（元/件），购买的件数x（件）与所花费的钱数y（元） C. 小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y D. 长方形的长a不变时，它的宽x与长方形的周长y 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可判断，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A．普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，平均每天使用的时间x（时）与它的可使用天数y（天）是反比例关系，故符合题意； B．一种商品的单价为a（元/件），购买的件数x（件）与所花费的钱数y（元）不是反比例关系，故不符合题意； C．小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y不是反比例关系，故不符合题意； D．长方形的长a不变时，它的宽x与长方形的周长y不是反比例关系，故不符合题意； 故选：A． 5. 若一元二次方程可转化为的形式，则的值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法进行配方后，求出的值，进而求出的值即可； 【详解】解：， ， ， ， ∴, ∴， ∴. 6. 如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法． A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 7. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键． 8. 已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 9. 如图，D，E，F分别是，，的中点，下面的说法中：①与是位似图形；②与的相似比为；③与的周长之比为；④与的面积之比为．正确的是( ) A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，得出①与是位似图形，进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质得出： ①∵D，E，F分别是，，的中点， ∴， ∴， ∴，即与是位似图形，该项正确； ②与是相似图形，且相似比是：，该项错误； ③与的周长比等于相似比，即，该项正确； ④根据面积比等于相似比的平方，则与的面积比为，该项正确； 综上所述，正确的结论是：①③④． 10. 如图，中，．进行如下操作： （1）以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线； （2）以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点； （3）过点作交的延长线于点，连接．根据以上操作过程及所作图形，则下列结论中不一定正确的是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并熟练应用是解题的关键． 由作图知⊥，平分，根据垂直平分线的作法，全等三角形及相似三角形的判定和性质依次对选项判断即可得出结果． 【详解】解：由作图知⊥，平分， ∴， ∵ ∴ ∴，选项A正确，不符合题意； ∵平分，，⊥， ∴， ∴， ∵，⊥， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，选项B正确，不符合题意； ∵， ∴∽， ∴， 由题意知，垂直平分， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 无法证明，选项D错误，符合题意； 故选：D． 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得且， 解得：且． 故答案为：且． 12. 已知反比例函数的图象在所在象限内y的值随x的值增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此求解即可． 【详解】解；∵反比例函数的图象在所在象限内，y的值随x的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可知，，满足同一个一元二次方程，因此，可看作一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ． 14. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：2． 15. 反比例函数的图象如图所示，轴．若的面积为4，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴与的面积相等， 即． 又∵， ∴ 解得：， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 16. 如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，与图形有关的规律探究；由黄金三角形的定义得，同理求出，，可得第1个黄金三角形的腰长为，第2个黄金三角形的腰长是，第3个黄金三角形的腰长是，第4个黄金三角形的腰长是，得出规律第n个黄金三角形的腰长是，即可得出答案． 【详解】解：∵是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为， ∴， ， ∵是第2个黄金三角形， ∴，第2个黄金三角形的腰长是， ， ∵是第3个黄金三角形， ∴，第3个黄金三角形的腰长是， ， ∴第4个黄金三角形的腰长是， … 第n个黄金三角形的腰长是， 第2024个黄金三角形的腰长是， 故答案为：． 四、解答题（本大题共9个小题，满分69分） 17. 计算和解方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1） （2） （3） （4）11 （5）， （6）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解：， ， ， 开方得：， ∴，； 【小问6详解】 解：， ， 则或， 解得，． 18. 受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． （1）求证：． （2）求河宽的长． 【答案】（1）证明：由题可知，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【小问1详解】 证明略 【小问2详解】 解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 19. 为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数关系式； （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式； （3）当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】（1） （2） （3）对病毒有作用的时间长为分钟 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【小问1详解】 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 20. 已知一元二次方程有两个实数根为． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于k的方程，解之经检验后即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得出，，， ， ， 解得或， 由（1）知，不满足，舍去；满足所有条件， 故存在实数． 21. 如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 即可； （2）由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）若花圃的面积为，求花圃的一边的长； （2）花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）10米 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解； （2）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解． 【小问1详解】 解：设的长为米，则米 由题意可得：， 解得：，， ，即：， ， ∴的长为10米； 【小问2详解】 花圃的面积不能达到．理由如下： 设的长为米， 由题意可得：， 化简得， △， 方程无解， 花圃的面积不能达到． 23. 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． （2）【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】（1）；； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式． （2）点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①点P的坐标为或； ②存在，或或． 理由如下： ∵点P为y轴上一点，反比例函数的图象是否存在一点E， ∴设，， ∵，，以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； ∴存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【解析】 【分析】（1）先把代入求出m，再把点B坐标代入反比例函数解析式，即可得到结论； （2）①解方程得到，在中，令，进而求得，设，由，根据三角形的面积公式列方程求解； ②设，根据平行四边形的对角线中点交于一点列方程组求解，再验证明求得的E点是否在反比例函数上，即可得出结论． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入中得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：①解得或， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中阶段性测试 初三数学试题 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.答选择题时,必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4.保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5.请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、书写与卷面（3分） 书写规范 卷面整洁 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. cm，，， 3. 下列各式中，能与合并的是（　　） A. B. 4 C. D. 4. 下列问题中的两个量x、y成反比例的是（ ） A. 普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，平均每天使用的时间x（时）与它的可使用天数y（天） B. 一种商品的单价为a（元/件），购买的件数x（件）与所花费的钱数y（元） C. 小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y D. 长方形的长a不变时，它的宽x与长方形的周长y 5. 若一元二次方程可转化为的形式，则的值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 0 6. 如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法． A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 7. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，D，E，F分别是，，的中点，下面的说法中：①与是位似图形；②与的相似比为；③与的周长之比为；④与的面积之比为．正确的是( ) A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 10. 如图，中，．进行如下操作： （1）以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线； （2）以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点； （3）过点作交的延长线于点，连接．根据以上操作过程及所作图形，则下列结论中不一定正确的是（　　） A. B. C. 2 D. 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______________． 12. 已知反比例函数的图象在所在象限内y的值随x的值增大而增大，那么m的取值范围是________． 13. 已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 14. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是______． 15. 反比例函数的图象如图所示，轴．若的面积为4，则k的值为______． 16. 如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是_______． 四、解答题（本大题共9个小题，满分69分） 17. 计算和解方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 18. 受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． （1）求证：． （2）求河宽的长． 19. 为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数关系式； （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式； （3）当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 20. 已知一元二次方程有两个实数根为． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 21. 如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 22. 如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）若花圃的面积为，求花圃的一边的长； （2）花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 23. 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． （2）【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式． （2）点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $