精品解析：山东省烟台龙口市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题（五四制）

2024—2025学年第二学期期末阶段性测试 初三数学试题 （120分钟） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数非负，解一元一次不等式，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件，即被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得， 解得： 故选：D． 2. 反比例函数的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而减小，则k的值可以是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的性质，当系数为正时，随的增大而减小，需满足，即，据此即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小， ∴，解得， 选项中只有A选项满足，而B、C、D选项的值均不小于1，不符合条件， 故选：A． 3. 下列二次根式，与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 把和各选项中的式子化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：， A、与的被开方数相同，是同类二次根式，不符合题意； B、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，符合题意； C、，与被开方数相同，同类二次根式，不符合题意； D、，与的被开方数相同，是同类二次根式，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 5. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法依次判断即可．本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， A.若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故A选项正确，不符合题意； B. 若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故B选项正确，不符合题意； C. 若添加，则不能得出，故C选项错误，符合题意； D. 若添加，则根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似” 可得，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 6. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的性质可知，然后代入计算求解即可，熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：由相似多边形的性质可知，， ∵四边形的面积是， ∴， ∴， 故选：． 7. 雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2022年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2024年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，由此可解． 【详解】解：若设每年的下降率为x，则2023年雾霾天气天数为，2024年雾霾天气天数为， 故所列方程为． 故选B． 8. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再由求出，再由勾股定理可得，得，即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解． 利用方程根的定义及根与系数的关系，通过降次化简表达式即可得出答案． 【详解】∵是方程的根， ， ， ， 又∵、是方程的两个实根， ， ． 故选：C． 10. 如图，点A在反比例函数y=的图象上，以为一边作等腰直角三角形，其中，，则线段长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作轴，交轴于，过作轴，垂足为，交于，则，证明，可得，，设，则，，，可得 ，再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案． 【详解】解：如图，过作轴，交轴于，过作轴，垂足为，交于，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，，，， ∴， ∴， ∵，而当，时，则， ∴， ∴的最小值是， ∴最小值是， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如果，那么________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，先根据得出，然后再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 12. 将一元二次方程化成的形式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．直接根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为． 13. 已知两个不相等的实数，分别满足方程和，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据两个不相等的实数，分别满足方程和，可知、是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数关系可得：，，计算可得． 【详解】解：两个不相等的实数，分别满足方程和， 、是一元二次方程的两个实数根， 整理， 可得：， ，， ． 故答案为：． 14. 若点，都在同一个反比例函数的图象上，则a的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，在反比例函数图象上的点横纵坐标一定满足其函数解析式，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵都在反比例函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：1． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把扩大，则点B的对应点的坐标是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，关键是掌握若位似比是k，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．分当点在第二象限和第四象限两种情况，根据位似的性质求解即可． 【详解】解：当点在第二象限时， ，， ∴； 当在第四象限时， ，， ∴； 故答案为：或． 16. 已知，则式子的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、解一元二次方程，利用换元法解方程是解答的关键．设，，则，则，，进而转化为解方程，得或，分别求解即可得出答案． 【详解】解：设，， ∵， ∴，则， 又， ∴，整理，得， 解得或， 当时，，则，此时， ∴； 当时，，则不成立，舍去， ∴， 古答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法计算法则计算，再进行相加减即可； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算，再进行相加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法； （1）把方程化为，再进一步求解即可； （2）原方程整理得，再利用公式法解方程即可. 小问1详解】 解： 方程整理得， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 原方程整理得， ∵，，， ∴， 则 即. 19. 宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？ 【答案】应该将每间房每天定价为（350﹣175）元 【解析】 【分析】设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得． 【详解】解：设房价定为x元， 根据题意，得（x﹣20）（50﹣）＝10890． 整理，得x2﹣700x+122500＝0， 解得 x＝350+175（舍去）或x＝350﹣175． 答：应该将每间房每天定价为（350﹣175）元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 20. 请观察图形并分析下列各式，然后解答问题． …… （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律： ， ； （2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ （3）求出的值． 【答案】（1）， （2）它是第32个三角形 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，图形的规律探索，二次根式的性质，二次根式的乘法，正确理解题意和熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理和三角形的面积求解即可； （2）根据（1）中的规律计算即可； （3）根据（1）的结论列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：根据题中反映的规律可得：， 则； 故答案为：n；； 【小问2详解】 解：，一个三角形的面积是， ， ∴， 故它是第32个三角形； 【小问3详解】 解：= ． 21. 已知关于x的方程 （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． （1）根据根的判别式先求出“”的值，再判断即可； （2）根据根与系数的关系得出由得求出，从而得出，再根据列方程求解即可． 小问1详解】 证明： ， 所以，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：由题意得， 又∵， ∴ ∴， ∴ 又， ∴， 整理得，， 解得，，， 当时， ∴不符合题意； 当时， ∴． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点M在线段上，过点M作轴于点C，交反比例函数的图象于点N，若的面积为2，求点M的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为： （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设，则，利用三角形面积公式得到，整理得：，解方程即可求得的值，从而求得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，则， ， 把代入得， 解得， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 设，则，， ， ， ∴，整理得：， 解得， ∴点的坐标为或． 23. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进间地面F点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）求的长． （2）请利用上述数据，求出围墙的高度． 【答案】（1）（2）围墙的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的性质与判定，熟练掌握定理是解题的关键． （1）根据题意证明，，根据相似的性质即可得到答案． （2）利用（1）中信息，直接求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接． ， ． ．即． ． 同理，． ．即． ． 解得，． （2）由（1）知：，， ． ∴围墙的高度为． 24. 已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点． （1）如图1，若四边形是矩形，且，求证：． （2）如图2，若四边形是平行四边形，当时，第（1）问的结论是否仍成立？若成立给予证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）成立，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据四边形为矩形，同角的余角相等可证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证； （2）当时，成立，理由为：如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质以及同角的补角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，成立， 证明：如图，在的延长线上取点，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等边对等角，平行线的性质，同等的余角（或补角）相等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期末阶段性测试 初三数学试题 （120分钟） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而减小，则k的值可以是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 1 3. 下列二次根式，与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线和被所截，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2022年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2024年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，点A在反比例函数y=的图象上，以为一边作等腰直角三角形，其中，，则线段长的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如果，那么________． 12. 将一元二次方程化成的形式为___________． 13. 已知两个不相等的实数，分别满足方程和，则代数式的值为___________． 14. 若点，都在同一个反比例函数的图象上，则a的值为________． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把扩大，则点B对应点的坐标是___________． 16. 已知，则式子的值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18 解方程： （1）； （2）． 19. 宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？ 20. 请观察图形并分析下列各式，然后解答问题． …… （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律： ， ； （2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ （3）求出的值． 21. 已知关于x的方程 （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点M在线段上，过点M作轴于点C，交反比例函数的图象于点N，若的面积为2，求点M的坐标． 23. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进间地面F点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）求的长． （2）请利用上述数据，求出围墙的高度． 24. 已知四边形中，，分别是，边上点，与交于点． （1）如图1，若四边形是矩形，且，求证：． （2）如图2，若四边形是平行四边形，当时，第（1）问的结论是否仍成立？若成立给予证明，若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$