第七章 课时1 空间几何体的结构特征讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦空间几何体结构特征高考核心考点，涵盖柱锥台球及组合体结构、斜二测直观图、展开图等内容，以多面体与旋转体对比梳理知识体系，通过基础回顾、考点扫描（含结构辨析、直观图计算、展开图最短路径）、规律总结及对点训练，构建系统性复习框架。 资料采用表格对比法明晰几何体结构差异，结合斜二测画法规则强化几何直观，通过圆锥侧面展开求最短路径等实例培养空间观念与创新意识。设置基础判断、选择及分层对点训练，融入2025模拟真题，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

课时1 空间几何体的结构特征 一、课标要求 1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2．用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图. 二、知识梳理 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相 且 任意多边形 互相 且 侧棱 互相 且 相交于 延长线交于 侧面形状 平行四边形 有一个 的三角形 梯形 [提醒]　特殊的四棱柱 四棱柱 平行六面体 （ ） 长方体 正四棱柱正方体 2．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 图形 母线 互相平行且相等， 于底面 长度相等且相交于 延长线交于 轴截面 全等的 全等的 全等的 侧面展开图 扇形 扇环 3． 直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为 ，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中 ． 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打×） （1） 一个棱柱至少有5个面. （ ） （2） 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. （ ） （3）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. （ ） （4）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. （ ） 2．如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是平行四边形O′A′B′C′，且O′C′＝2O′A′＝2，∠A′O′C′＝45°，则平面图形OABC的周长为(　 　) A．12　 B．4 C．5　 D．10 3．（多选题） 如图所示的组合体可以为（ ） A. 由一个长方体割去一个四棱柱所构成的 B. 由一个长方体与两个四棱柱组合而成的 C. 由一个长方体挖去一个四棱台所构成的 D. 由一个长方体与两个四棱台组合而成的 4． 如图所示为一个无盖的正方体盒子展开后的平面图， A， B，C是展开图上的三点，则在原正方体盒子中， ∠ABC的大小为 ． 四、考点扫描 考点一 空间几何体结构 例1 （1）下列几何体是棱台的为(　 　) （2）下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是平面多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．等腰梯形绕它上、下底边中点的连线旋转180°可以得到一个圆台 D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 规律方法： 对点训练（1）下列命题为真命题的个数是 ( ) ①每个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱； ②每个面都是三角形的多面体一定是棱锥； ③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台； ④侧面都是长方形的棱柱叫长方体. A．0 B．1 C．2 D．3 （2）（多选题）下列说法正确的有(　　) A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C．棱台的侧面是等腰梯形 D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 （3）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 考点二 直观图 例2 （多选题）已知等边三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则有（    ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C．的周长为 D．的面积为 规律方法： 对点训练（1）如图，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O′为坐标原点，顶点A′，B′均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O′B′的长度为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 （2）如图，一个水平放置的△ABO的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A′B′O′．若B′A′＝B′O′＝1，则原三角形ABO的面积为____． 考点三 展开图 例3 （1）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为(　　) A．12 B．16 C．24 D．24 （2）（2025·安徽马鞍山市模拟）如图，在正三棱锥S－ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，则一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为(　 　) A．2　 B．3 C．2 D．3 规律方法： 对点训练 （1）已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为(　 　) A．6π B． C． 6π D． （2）（2025·浙江温州市模拟）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，E为棱AB的中点．一个点从E出发在正方体的表面上依次经过棱BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA上的点，又回到E，则整个线路的最短长度为____． 课时1 空间几何体的结构特征参考答案 二、知识梳理 1. 平行 全等 平行 相似 平行 相等 同一点 一点 公共顶点 底面为平行四边形 直平行六面体 底面为矩形 底面边长相等 侧棱与底面边长相等 2. 垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 矩形 3．（2）45°(或135°) 变为原来的一半 三、基础回顾 1．（1） √【解析】三棱柱有5个面. （2） √【解析】平行六面体各面均为平行四边形. （3） √【解析】底面为平行四边形. （4） √【解析】正棱锥侧棱相等，底面为等边三角形. 2．D【解析】　根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如图，可知AB＝4，OA＝1，故平面图形OABC的周长为2(OA＋AB)＝10．故选D. 3．AB【解析】如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故选AB. 4．60°【解析】还原成正方体后如图所示，由正方体的性质可知，△ABC为等边三角形，故∠ABC＝60°. 四、考点扫描 例1（1）D【解析】A，C 不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故A，C 不符合题意；B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不符合题意；D符合棱台的定义．故选D. （2）C【解析】对于选项A， 如图所示的几何体中，平面ABCD平面EFGH，其余各面都是平行四边形，显然不是棱柱，A错误. 对于选项B， 如图所示，多边形ABCDE是平面多边形，其余各面都是三角形，显然不是棱锥，B错误. 对于选项C， 如图，等腰梯形上下边的中点M，N，则MN垂直于AB和CD，并且AD和BC延长后必定交于一点P，且点P在MN的延长线上，所以这个梯形绕MN旋转半周后是圆台，C正确. 对于选项D，如图， 上下圆周上的两点的连线未必平行于圆柱的中轴，CD不平行于EF，故不是母线，D错误. 故选C. 对点训练（1）A【解析】①底部全等的一个直四棱柱和一个斜四棱柱的组合体符合每个面是平行四边形，但不满足棱柱的定义，所以不正确；②不满足棱锥的定义，所以不正确；③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；没有说明两个平面平行，不满足棱台的定义，所以不正确；④侧面都是长方形的棱柱叫长方体.没有说明底面形状，不满足长方体的定义，所以不正确；正确命题的个数为零.故选A. （2）AD【解析】A正确；B错误，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C错误，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．故选AD. （3）B【解析】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.故选B. 例2 CD【解析】如图，因为正三角形的边长为，故，所以，.在中，.由余弦定理得，.在中，.由余弦定理，得.对于选项A，在△中，因为，由余弦定理知，A错误. 对于选项B和D，，B错误，D正确. 对于选项C，△的周长为，C正确.故选CD.    对点训练（1）B【解析】方法一：如图，画出△AOB的原图，为直角三角形， 且OA＝O′A′＝6，因为OB·OA＝12，所以OB＝4，所以O′B′＝OB＝2. 方法二：S直观图＝S原图形＝3，又S直观图＝O′A′·O′B′·sin∠A′O′B′，所以O′B′＝2.故选B. （2）【解析】　根据题意可得O′A′＝，如图，在△ABO中，OB＝O′B′＝1，OA＝2O′A′＝2，所以△ABO的面积为S＝×1×2＝． 例3 （1）　A【解析】如图，设圆锥侧面展开图的圆心角为θ， 则由题意可得2π×4＝12θ，则θ＝.在△POP′中，OP＝OP′＝12，则小虫爬行的最短路程为PP′＝＝12.故选A. （2） C【解析】将三棱锥S－ABC沿侧棱BS展开，其侧面展开图如图所示，其中∠BSB′＝120°，BS＝B′S＝2．一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为BB′.根据余弦定理，得BB′＝＝2．故选C. 对点训练 （1）B【解析】设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l.由题意可得解得l＝3r＝6，则圆锥的高h＝＝4，所以此圆锥的体积为h×πr2＝．故选B. （2）3【解析】　如图，将正方体六个面展开，从图中E到E，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，故所求的最小值为3． . 学科网（北京）股份有限公司 $