精品解析：北京十一学校2025-2026学年第四学段教与学质量诊断高二数学试题

北京十一学校2025~2026学年第四学段教与学质量诊断高二数学诊断试题（20260701） 总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．请将正确的答案直接填在答题卷对应题号后的横线上，其中排列与组合问题均用数字作答． 1. 已知，，则（ ） A. 空集 B. 或 C. 或且 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】， 或或， 所以. 故选：A 2. 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得且，即可将不等式等价转化为，求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以且，则， 所以不等式，即，即，等价于， 解得或， 所以不等式的解集为. 3. 已知，下列不等式判断中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，根据指数函数单调性判断；对于②，根据对数函数、幂函数单调性判断；对于③，根据幂函数、指数函数单调性判断；对于④，利用作差法判断. 【详解】对于①，因为在上单调递增， 当时，，所以，故①错误； 对于②，因为在上单调递增， 当时，， 因为在上单调递增， 所以，故②正确； 对于③，因为在上单调递减， 当时，， 因为在上单调递增， 所以，故③错误； 对于④，， 当时，， 所以，即，故④正确； 综上：正确的个数为2个. 4. 已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数在上单调递增的三个条件：两段分别单调递增、左段在分段点处的函数值不大于右段在分段点处的函数值，列不等式求解的取值范围. 【详解】分段函数在上为增函数，需同时满足以下三个条件： 当时，二次函数单调递增： 该二次函数开口向下，对称轴为， 需对称轴位于区间的右侧，即，解得； 当时，单调递增： 对求导得，需对任意恒成立， 即对恒成立，故； 分段点处，左段的极限函数值不大于右段的函数值： 左段在时的函数值为， 右段在处的函数值为， 故，解得； 综上：实数的取值范围是. 5. 设a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】当，取，，不成立； 当，取，此时，不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 6. 设函数，则使得(1)成立的的取值范围是( ) A. B. ，， C. D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得为偶函数且在，上为增函数，据此可得(1)(1)，解可得的取值范围，即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数，其定义域为， 有，即函数为偶函数， 当时，，函数和函数都是，上为增函数，则在，上为增函数， (1)(1)，解可得或， 即的取值范围为，，； 故选：. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性与单调性，属于基础题. 7. 定义在上的函数满足：对，且，有，且时有，若的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用赋值法，分别令与可得函数为奇函数，再令，结合函数单调性定义可得函数单调递增，即可得单调性，从而可得的最大值、最小值，即可得解. 【详解】令， 则， 令，则，即有， 令，则，即有， 又，故为奇函数， 由时有，故时有， 令，则， 故， 故，故在上单调递增， 则在上单调递增， 故 . 8. 某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】D 【解析】 【详解】已知衰减公式，当的质量衰减为最初的时，满足： ，即， 两边取对数得：， 则， 即． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用对数的换底公式或对数运算性质，统一等式两边的对数底数，构造函数，判断其在定义域上的单调性. 【详解】因为，其中，， 因此原等式可整理为：. 设函数， 因为 和 在上都是单调递增函数， 因此是定义域上的增函数. 对等式变形：， 代入得：，即， 因为单调递增，因此，故A错误，B正确. 排除选项C、D 举反例验证： 当时，原等式右侧为， 即，且，可得， 即，故D不成立； 当 时，原等式右侧为， 即，且， 得，此时，，故C不成立. 10. 在直角坐标系中,对于点,定义变换:将点变换为点,使得其中.这样变换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线.则四个函数,,,在坐标系内的图象,变换为坐标系内的四条曲线（如图）依次是 A. ②,③,①,④ B. ③,②,④,① C. ②,③,④,① D. ③,②,①,④ 【答案】A 【解析】 【分析】用x，y表示出a，b，根据反正切函数的单调性得出各自图象的a，b的范围及大小关系，从而得出答案． 【详解】解：由可得， 对于y3＝ex（x＞0），显然y3＞1，∴b＝arctany3，∴y3对应的图象为①； 对于y4＝lnx（x＞1），a＝arctanx＞arctan1，∴y4对应的图象为④； 对于y1和y2，当0＜x＜2时，2x＞x2，∴arctan2x＞arctanx2， 即当0＜a＜arctan2时，∴arctany1＞arctany2， ∴y1对应的图象为②，y2对应的图象为③． 故选A． 【点睛】本题考查了反正切函数的性质，基本初等函数的性质，属于中档题． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案直接填在答题卡对应题号后的横线上，其中排列与组合问题均用数字作答． 11. 已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【解析】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 12. 已知定义在上的函数满足是偶函数，且是奇函数，设，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数奇偶性推导的周期，求出对应函数值后代入计算得. 【详解】由是偶函数，得，即，是偶函数， 由是奇函数，得，且令得， 即，同时可知关于点对称， 结合是偶函数，， 由奇函数性质得：，换元得， 进一步可得：，因此的周期为， 由得， 又，因此， 代入得：. 13. 已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】∵ 为正实数，且， 对等式变形得 ，即. 若，则，矛盾， 若，则，此时，， 故，矛盾，故，结合可得，. 将目标式变形为， ∵ ，，由基本不等式可得， 将代入得， ∴ ，当且仅当时等号成立. 联立，将代入第二个方程得， 解得（负根舍去），即，此时，满足为正实数的条件. ∴ 当时，的最小值为. 14. 已知函数，当时的单增区间是_________；若且，使得成立，则实数的取值范围为_________． 【答案】 ①. 和 ②. 【解析】 【分析】当时，利用分段函数的基本性质可求出函数的递增区间；对实数进行分类讨论，讨论与的大小关系，结合可得出关于的等式，综合可得出实数的取值范围． 【详解】①：当时，， ：是开口向下的二次函数，对称轴为，因此在上单调递增，在上单调递减； ：是斜率为正的一次函数，因此在上单调递增； 因此的单增区间为和； ②：若，则，则，合乎题意； 若时： 若，则，显然若， 由于函数在上单调，故； 若，由可得， 整理得，解得或， 所以，解得， 且，解得，合乎题意，此时且； 若，由可得， 整理得，因为，解得，此时， 则，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是． 15. 一款运动测得某运动员百米赛跑后半小时内心率（单位：次/分钟）与停止运动后的时间（单位：分钟）之间的关系满足其中为正整数，表示不超过的最大整数；当时，心率为次/分钟，当心率不低于次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”；该运动员的静息心率（休息时的心率）为次/分钟；则下列结论中正确的序号是_________． ① ②y的最大值为 ③该运动员第分钟时恢复到静息心率 ④该运动员的“运动后活跃期”持续时间为分钟 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于②，对每段函数分别求最大值即可判断；对于③，将代入函数计算函数值即可判断；对于④根据“运动后活跃期”定义求得满足的的值即可判断． 【详解】对于①，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，①正确； 对于②，当且时，， 所以当时，取得最大值， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值， 综上，的最大值为，②正确； 对于③，当时，， 所以该运动员第分钟时没有恢复到静息心率，③错误； 对于④，当且时，， 当时，取得最小值， 所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，，解得， 所以，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为分钟，④正确． 三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：边上的中线； 条件③：的周长为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，得出关系，从而求得角； （2）由（1）得，又， 选①，无解； 选②，利用余弦定理求出后可得三角形面积； 选③，由已知求得与的关系，然后由周长得三边长，从而得三角形面积． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得． 所以，或． 因为，所以不满足题意舍去， 所以，所以． 所以． 【小问2详解】 选条件①：，由（1），，但，矛盾，三角形无解； 选条件②：因为边上的中线． 由（1）可知，，． 所以 由余弦定理可得 ． 解得 ． 所以． 选条件③：的周长为． 由（1）可知，，． 所以 , ， 所以. 解得. 所以． 17. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下: 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取2个，求恰好有1个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示) （2）用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，求抽取到1个精品果的概率；(结果用分数表示） （3）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考. 方案1:不分类卖出，售价为20元／， 方案2:分类卖出，分类后的水果售价如下， 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价(元／) 16 18 22 24 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(用数据分析） 【答案】（1）；（2）；（3）方案1 【解析】 【分析】（1）求出从100个水果中随机抽取一个抽到礼品果的概率值，再利用独立事件发生的概率公式计算有放回抽取2个，恰有1个为精品果的概率值； （2）用分层抽样法求抽出10个水果，其中精品果个数为4个，非精品果个数为6个，此时从中抽取3个，利用超几何分布的概率计算方法即可求出恰有1个精品果的概率值； （3）根据分布列，求出方案2的售价（元/kg）的数学期望，再与方案1作比较，即可判断应采用哪种方案． 【详解】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为， 则， 设有放回地随机抽取2个，恰好抽到1个礼品果为事件， ； （2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个， 则其中精品果4个，非精品果6个； 现从中抽取3个，则精品果的数量服从超几何分布， 则； （3）设方案2的单价为，则单价的期望值为 ； 因为，所以从采购商的角度考虑，应该采用方案1． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． （1）求证：E为的中点； （2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明：如图在中，过点作交于点，连接. 因为，所以.所以，，，四点共面. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）在中，过点作交于点，利用平面证明即可. （2）取中点，以为原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，利用直线与平面所成的角为即可求解点的坐标，从而可计算四棱锥的体积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接. 因为，所以. 因为，，所以四边形为正方形. 所以，. 因为，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面.因为平面，所以. 如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，，，， 设，. ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 直线与平面所成角为， 所以. 解得. 所以. 所以四棱锥的体积为. 19. 如图，点A、B、C分别为椭圆：的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线与直线相交于点Q，直线与x轴相交于点M． （1）求该椭圆的离心率，并求出直线的方程； （2）试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． （3）已知直线的方程为，线段的中点为，是否存在垂直于轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1）椭圆的离心率为；直线的方程为. （2）是定值，定值为4. （3）存在垂直于轴的直线，使得点到和的距离之积为定值，且的方程为. 【解析】 【分析】（1）利用，的值求出即可求离心率，从而得到点，的坐标，再利用截距式得到的方程； （2）设，分别求出点，坐标，从而得到，化简即可； （3）设，求出点坐标，设方程，求出点到和的距离之积，利用距离之积为定值可求得的值，从而得到的方程. 【小问1详解】 由椭圆方程得，， 所以. 所以椭圆的离心率. 又因为， 直线的方程为，即. 【小问2详解】 是定值. 设，，且，即. 因为，，所以直线方程为. 联立方程得解得. 所以. 因为，则直线方程为，令，得. 所以. 所以，. 所以. 所以是定值，定值为4. 【小问3详解】 设，. 因为，所以. 点在直线上，则，得 所以. 所以中点，即. 所以点T到：的距离. 设垂直于轴的直线方程为. 则点T到的距离. 所以. 因为，若为定值，则，即. 所以存在垂直于轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值，且的方程为. 20. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若的解集为，且，求实数a的取值范围； （3）对，求证：． 【答案】（1）的最小值为 （2）a的取值范围是 （3）由（1）结论得，变形得， 令，， 所以 ， 即． 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，求出极值点，结合单调性确定极小值即为函数最小值； （2）将区间恒成立不等式分与讨论，时分离参数构造新函数，通过导数求新函数最小值，得到的取值上限； （3）借用第一问指数不等式进行变形放缩，对通项构造指数上界，换元转化为等比数列求和，再通过放缩去掉含的项完成证明． 【小问1详解】 的定义域为，， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以处取极小值也是最小值，即； 【小问2详解】 由，得对，恒成立， 时，不等式恒成立，， 时，恒成立， 令，， 令，得， 时，，单调递减；时，，单调递增， 处取最小值， 所以，即a的取值范围是； 【小问3详解】 略 21. 已知集合A是正整数集的真子集，若A满足如下两个性质，则称A具有性质P.条件①：存在，使得；条件②：对任意，且，都有. （1）判断下列两个集合是否具有性质；（无需过程）；. （2）若集合A具有性质P，且A为有限集，求集合A的元素个数的最小值和最大值； （3）是否存在具有性质P且为无限集的集合A?如果存在，求出满足条件的所有集合A；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）具有性质；不具有性质； （2）最小值2,最大值5 （3）有；，，，，. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义验证即可； （2）先证明单元素集合不符合要求，然后由（2）有一个2元素集合符合要求，可得集合元素个数的最小值；分析集合中的元素的最大值，当超过6时，根据题意得到无限集合，当最大是5时，构造得到符合要求的集合，从而得到集合元素个数的最大值； （3）分析含有大于7的奇数时，必然得到包含所有的正整数，没有大于7的奇数时，必有大于7的偶数，由此得到必须包含所有的偶数，这时奇数1，3，5是可选的，的分析可得有5时必有1，3，有3时必有1，从而分析得到所有的满足条件的无限集合. 【小问1详解】 对于，若使得​，只能是，此时，所以具有性质P。 对于，取，则，但​， 不满足条件②，所以不具有性质P。 【小问2详解】 取，具有性质. ，则∴， 若，，， 时，，， ∴∣A∣最小值为2； ​设中的最大值为，则， 时，，， 时， 是满足性质的， 再添加，就必须添加1，这样集合，， 时，∵，∴， ，∴， 再添加1，2，3，，，满足性质的， 若时，， ，,， ∴∣A∣的最大值为5. 【小问3详解】 ，是奇数，， 以此类推，一切小于的正奇数都属于A， ∵，∴，， 记，， 依此类推，可得到任意大的偶数属于A， ， ， 依此类推得到所有偶数属于A， ∴只要具有性质P且为无限集的集合A中含有大于等于7的奇数，则所有的正整数都属于集合A. 若没有大于等于7的奇数，则必有大于7的偶数，，时比更大的偶数，由此得出任意大的偶数属于A，从而属于A，于是得出所有的偶数都属于A， 这样一来，奇数1，3，5是可选的， ∵， ∴集合A中5时必有1，3，有3时必有1，从而分析得到所有的满足条件的无限集合： 有大于等于7的奇数时，只有一个， 没有大于7的奇数时有4个： ，， ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十一学校2025~2026学年第四学段教与学质量诊断高二数学诊断试题（20260701） 总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．请将正确的答案直接填在答题卷对应题号后的横线上，其中排列与组合问题均用数字作答． 1. 已知，，则（ ） A. 空集 B. 或 C. 或且 D. 以上都不对 2. 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列不等式判断中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设函数，则使得(1)成立的的取值范围是( ) A. B. ，， C. D. ，， 7. 定义在上的函数满足：对，且，有，且时有，若的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在直角坐标系中,对于点,定义变换:将点变换为点,使得其中.这样变换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线.则四个函数,,,在坐标系内的图象,变换为坐标系内的四条曲线（如图）依次是 A. ②,③,①,④ B. ③,②,④,① C. ②,③,④,① D. ③,②,①,④ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案直接填在答题卡对应题号后的横线上，其中排列与组合问题均用数字作答． 11. 已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 12. 已知定义在上的函数满足是偶函数，且是奇函数，设，则_________． 13. 已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 14. 已知函数，当时的单增区间是_________；若且，使得成立，则实数的取值范围为_________． 15. 一款运动测得某运动员百米赛跑后半小时内心率（单位：次/分钟）与停止运动后的时间（单位：分钟）之间的关系满足其中为正整数，表示不超过的最大整数；当时，心率为次/分钟，当心率不低于次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”；该运动员的静息心率（休息时的心率）为次/分钟；则下列结论中正确的序号是_________． ① ②y的最大值为 ③该运动员第分钟时恢复到静息心率 ④该运动员的“运动后活跃期”持续时间为分钟 三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：边上的中线； 条件③：的周长为． 17. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下: 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取2个，求恰好有1个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示) （2）用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，求抽取到1个精品果的概率；(结果用分数表示） （3）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考. 方案1:不分类卖出，售价为20元／， 方案2:分类卖出，分类后的水果售价如下， 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价(元／) 16 18 22 24 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(用数据分析） 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． （1）求证：E为的中点； （2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 19. 如图，点A、B、C分别为椭圆：的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线与直线相交于点Q，直线与x轴相交于点M． （1）求该椭圆的离心率，并求出直线的方程； （2）试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． （3）已知直线的方程为，线段的中点为，是否存在垂直于轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由． 20. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若的解集为，且，求实数a的取值范围； （3）对，求证：． 21. 已知集合A是正整数集的真子集，若A满足如下两个性质，则称A具有性质P.条件①：存在，使得；条件②：对任意，且，都有. （1）判断下列两个集合是否具有性质；（无需过程）；. （2）若集合A具有性质P，且A为有限集，求集合A的元素个数的最小值和最大值； （3）是否存在具有性质P且为无限集的集合A?如果存在，求出满足条件的所有集合A；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $