精品解析：北京市北京中学2025-2026学年高二第二学期6月质量调研数学试题

2025~2026学年度第二学期质量调研试题 高二年级数学 本试卷共8页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是偶函数，则实数（ ） A. B. C. D. 2 3. 从4位男生，2位女生中选择3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 96 4. 为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移2个单位，再向下平移2个单位 5. 甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用局胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，.已知，，则电池健康度从衰减到，循环次数大约需要增加（ ） （参考数据：，，） A. 220 B. 250 C. 270 D. 280 9. 设函数 ，若不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 10. 甲盒中有个红球，个白球和个黑球，乙盒中有个红球，个白球和个黑球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，分别以，，表示由甲盒取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒中随机取出一球，以表示由乙盒取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） ①，，是两两互斥的事件； ②事件与事件相互独立； ③； ④. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．） 11. 函数，则____________. 12. “京八件”是北京最具有代表性的传统糕点，包括福字饼、禄字饼、寿字饼、喜字饼、太师饼、椒盐饼、枣花糕和萨其马，每种口味互不相同．某同学不喜欢萨其马，计划从其余7种糕点中任意选取5种品尝，每种最多选一个．则该同学不同的选法种数为____________. 13. 的展开式中的系数为________． 14. 某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为____________. 15. 将函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象位于图象的上方，则的一个取值为____________，的最大值为____________. 16. 若集合，其中为非空集合，，，则称集合为集合的一个划分．例如：集合，，均为集合的一个划分．设为有理数集的一个划分，且满足对任意，任意，都有．则对于有： ①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值； 对于以上四种情况，可能成立的序号有______． 三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17. 已知函数，． （1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定．求函数的零点； （2）讨论函数的单调性． 条件①：函数的图象过点； 条件②：是函数的零点． 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 某企业招聘员工，其中A，B，C，D，E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到）如下： 岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例 A 269 167 40 24 B 40 12 202 62 C 177 57 184 59 D 44 26 38 22 E 3 2 3 2 总计 533 264 467 169 （1）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率； （2）从应聘E岗位的6人中随机选择2名男性和1名女性，记为这3人中被录用的人数，求的分布列和数学期望； （3）表中A，B，C，D，E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位.（只需直接写出结论） 19. 已知椭圆：的一个顶点坐标为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，为轴上一点．是否存在实数，使得以为直径的圆经过点，且？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由． 20. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求证：当时，恒成立； （3）设函数的定义域为，求证：对，且，都有 . 21. 对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. （1）当时，写出集合的所有“同形点”； （2）当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； （3）若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期质量调研试题 高二年级数学 本试卷共8页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用集合补集的定义与运算，即可求解. 【详解】由全集，集合， 根据集合补集的定义与运算，可得. 2. 已知是偶函数，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用，列出方程，求得的值，结合函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，可得，即， 可得，解得，即， 经验证：，所以函数为偶函数，符合题意. 3. 从4位男生，2位女生中选择3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】可将问题分为1女2男或2女1男两类情况分别计算后利用分类加法计数原理计算即得，或用间接法用总安排数减去全为男生的安排数求解. 【详解】解法一（分类法）： 根据至少1位女生入选的要求，分两类讨论： 选出1位女生、2位男生：选出3人的方法有种，再将选出的3人分配到3个场馆的方法有种，则该类安排方法有种； 选出2位女生、1位男生：选出3人的方法有种，再将选出的3人全排列分配到3个场馆的方法有种，则该类安排方法有种. 根据分类加法计数原理，总安排方法数为种. 解法二（间接法）： 从6人中任选3人分配到3个场馆的总安排数为，其中全为男生的安排数为， 因此符合条件的安排方法数为. 4. 为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移2个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数，由函数图象的平移得到答案. 【详解】， ∴将函数的图象上的所有点向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到函数的图象， 故选：A 5. 甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用局胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算乙每局获胜的概率，再将乙获胜分为比赛2局获胜、3局获胜两类互斥事件，分别计算概率后求和即可. 【详解】由题意可知，每局比赛乙获胜的概率为 ，且各局比赛结果相互独立，乙战胜甲有两类互斥情况： 第一类：乙连胜2局，那么 第二类：比赛共进行3局，前2局乙胜1局且第3局乙胜，那么 ， 故乙战胜甲的概率为 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 令，得； 令，得； 故． 7. 已知，，，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的判断，构造幂函数与指数函数求解. 【详解】令，因为，所以函数在上单调递减，又， 若，则， 令，因为，所以函数在上单调递增，又， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 8. 某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，.已知，，则电池健康度从衰减到，循环次数大约需要增加（ ） （参考数据：，，） A. 220 B. 250 C. 270 D. 280 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件求和的值，再求电池健康度为时对应的的值，再计算的值即可. 【详解】因为，所以，解得； 由，所以，所以. 设，则，所以，所以. 所以. 因为，所以电池健康度从衰减到，循环次数大约需要增加次. 9. 设函数 ，若不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域和不等式解集为，分析出函数的取值情况，进而得到与的关系，最后据此判断各选项 【详解】依题意，令，解得，所以函数定义域为, 因为的解集为，所以在上恒成立， 令，则或，解得或 又,在上都单调递增， 所以要使在上恒成立，则，即 所以A，B选项都错误， 对于C，D选项，因为，所以， 又， 所以，即，故D正确， 故选：D 10. 甲盒中有个红球，个白球和个黑球，乙盒中有个红球，个白球和个黑球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，分别以，，表示由甲盒取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒中随机取出一球，以表示由乙盒取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） ①，，是两两互斥的事件； ②事件与事件相互独立； ③； ④. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断的互斥性，再利用条件概率、全概率公式计算各相关概率，逐项验证结论即可. 【详解】对①：从甲盒中单次取球只能得到一种颜色的球，故事件不可能同时发生，满足两两互斥的定义，故①正确； 因为，，， ，，. 所以，故③正确； 因为，故④错误； 又,，所以，所以事件与事件不相互独立，故②错误. 综上正确结论有①③. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．） 11. 函数，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接求导，代入计算即可. 【详解】解：由题可得，所以. 12. “京八件”是北京最具有代表性的传统糕点，包括福字饼、禄字饼、寿字饼、喜字饼、太师饼、椒盐饼、枣花糕和萨其马，每种口味互不相同．某同学不喜欢萨其马，计划从其余7种糕点中任意选取5种品尝，每种最多选一个．则该同学不同的选法种数为____________. 【答案】21 【解析】 【分析】由题可知，选取无顺序限制，利用组合数计算即可. 【详解】解：由题意可得，从其余7种糕点中任意选取5种品尝，每种最多选一个，共有种， 即种. 13. 的展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】计算通项，取，解得答案. 【详解】展开式的通项为， 取，解得，系数为. 故答案为：. 14. 某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为____________. 【答案】 ##0.3 【解析】 【分析】先计算教师不站在两端的总排列数，再计算该条件下甲乙相邻的排列数，二者作商得到所求条件概率. 【详解】设事件为“教师不站在两端”，事件为“甲、乙相邻”，则题中所求为条件概率， 其中为事件的基本事件数，为事件同时发生的基本事件数. 先求：总共有6个站位，教师不能站两端，故从中间4个位置中选1个安排教师，剩余5名学生全排列， 即得. 再求：先将甲、乙捆绑为1个整体，内部排列有种，此时待排列元素共5个（甲乙整体、丙、丁、戊、教师）； 要求教师不站整排两端，即教师不能在5个元素的首尾位置，故从中间3个元素位置选1个安排教师，剩余4个元素全排列， 即得 . 则在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为. 15. 将函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象位于图象的上方，则的一个取值为____________，的最大值为____________. 【答案】 ①. 3 ②. 3 【解析】 【分析】先得到变换后的函数解析式，得到对恒成立，先分和两种情况求出，再检验，时成立， 即可求得的取值范围. 【详解】由题意可得，平移后的图象的函数解析式为， 因为的函数图象位于图象的上方，所以对于恒成立， 即， 则对恒成立， 令， 若，则， 则对于恒成立， 因为单调递增，所以，所以， 若，则，恒成立， 故， 当时，且时， 则， 由于在上单调递增，所以恒成立， 所以实数的取值范围是， 故的一个取值为3，的最大值为3. 16. 若集合，其中为非空集合，，，则称集合为集合的一个划分．例如：集合，，均为集合的一个划分．设为有理数集的一个划分，且满足对任意，任意，都有．则对于有： ①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值； 对于以上四种情况，可能成立的序号有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】通过举特例即可判断①②③，利用反证法即可判断④ 【详解】对于①，，，①可能成立； 对于②，，，②可能成立； 对于③，，，③可能成立； 对于④，假设④成立，不妨设中的元素的最大值为，中的元素的最小值为， 由题可知，所以， 因为为中的元素的最大值，所以， 因为为中的元素的最小值，所以， 又因为，所以，与矛盾， 所以假设不成立，即④不可能成立． 三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17. 已知函数，． （1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定．求函数的零点； （2）讨论函数的单调性． 条件①：函数的图象过点； 条件②：是函数的零点． 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）选择条件②，的零点为 （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 【解析】 【分析】（1）先分析可知选条件②，再求导代入得到，再求的零点即可； （2）求导，再分、两种情况讨论单调性即可． 【小问1详解】 条件①：函数的图象过点， ，则，故不能唯一确定， 条件②：是函数的零点， ，则，解得， ， ，令，解得或（舍去）； 故选择条件②，的零点为； 【小问2详解】 ， 当时，，在上单调递增； 当时，令，解得或（舍去）， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 18. 某企业招聘员工，其中A，B，C，D，E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到）如下： 岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例 A 269 167 40 24 B 40 12 202 62 C 177 57 184 59 D 44 26 38 22 E 3 2 3 2 总计 533 264 467 169 （1）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率； （2）从应聘E岗位的6人中随机选择2名男性和1名女性，记为这3人中被录用的人数，求的分布列和数学期望； （3）表中A，B，C，D，E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位.（只需直接写出结论） 【答案】（1） （2） 数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率； （2）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望； （3）分析发现A岗位中男性较多拉高了整体录用率，再去掉A岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论 【小问1详解】 因为表中所有应聘人员总数为， 被该企业录用的人数为 ， 所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为． 【小问2详解】 应聘E岗位的6人中，男性有3人，录用2人，女性有3人，录用2人， 则可取， ， 的分布列为 期望； 【小问3详解】 分析图表可得，A岗位中男女录取比例，但男性应聘人数明显更多，因此影响了总录取率， 除去A岗位则男性应聘人数为264，录用人数为97，录用率约为 ； 女性应聘人数为427，录用人数为145，录用率约为，二者之差的绝对值不大于5%， 故只考虑其中四种岗位，男性、女性的总录用比例也接近． 19. 已知椭圆：的一个顶点坐标为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，为轴上一点．是否存在实数，使得以为直径的圆经过点，且？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在实数，使得以为直径的圆经过点，且， 该直线的方程为或． 理由如下： 假设存在实数，使得以为直径的圆经过点，且， 由，得， ，解得， 设，，则，， 设中点，则，， 由以为直径的圆经过点，得， 又，所以为等腰直角三角形， 所以，且， 因为直线的斜率为，所以的斜率为， 所以所在直线的方程为， 令，得，解得，所以， ， ， 由，得，解得， ，， 由，得，即， 所以， ， 所以， 化简得 解得， 综上，存在实数，使得以为直径的圆经过点，且， 且该直线的方程为或． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆顶点与离心率求出，再结合算出，直接写出椭圆标准方程． （2）联立直线与椭圆方程，由判别式得到的范围；根据、判定为等腰直角三角形，求出中点与点坐标，借助和求解． 【小问1详解】 由椭圆：的一个顶点坐标为，得， 又离心率，所以， 由，得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 20. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求证：当时，恒成立； （3）设函数的定义域为，求证：对，且，都有 . 【答案】（1） （2）要证时，，即证 ，即， 所以只需证明.令，，， 所以当时，，单调递减，所以，即， 所以当时，恒成立. （3）由，得或， 即时，或时，， 因为， 所以函数对，且，都有时， 在定义域上单调递增. 下面证明函数在定义域上单调递增： ①函数的定义域为且，即，， 令，，则， 所以在上，单调递减，在上，单调递增， 所以当时，，所以，所以在上单调递增. ②下面证明时，． 为此先证明.. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以（当时取等） 所以时，，, 时，，. 所以． 综合得，当，，且，都有． 【解析】 【分析】（1）求出在处的导数，利用点斜式写出切线方程. （2）只需证明，令，，利用导数证明； （3）只需证明函数在定义域上单调递增即可． 【小问1详解】 由，得，，所以， 所以函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. （1）当时，写出集合的所有“同形点”； （2）当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； （3）若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）21. 【解析】 【分析】（1）根据“同形点”定义直接写出答案即可； （2）分、、以及讨论即可； （3）讨论存在和恒成立的情况即可. 【小问1详解】 ， 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0， 故其“同形点”为. 【小问2详解】 的＂同形点＂的个数为．证明如下： 设，由题：取集合． 若为的＂同形点＂，应有，且． ①当时，若且，取为， 则与的交集元素个数为0， 此时为的＂同形点＂，共有个； ②当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ③当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ④当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个． 综上可得的＂同形点＂的个数为． 【小问3详解】 的最小值为21． 证明如下： 首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11， 对于，设的元素个数为， 若存在，因为，所以存在，有， 不妨设，则中至少一个是的＂同形点＂； 若恒成立，因为，所以存在， 有，因为， 所以存在，使得，不妨设，则为的＂同形点＂． 其次当时，不妨设； ①若，则，取可得其无＂同形点＂； ②若，则， 取， 可得其无＂同形点＂； 综上的最小值为21． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $