北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年第二学期6月诊断高二数学试题

首都师大附中2025-2026学年第二学期6月诊断 高二数学 2026.06 本试卷共6页，120分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知，，则 A． B． C． D． 2．已知命题p：，，则 A．：，，且为真命题 B．：，，且为真命题 C．：，，且为假命题 D．：，，且为假命题 3．已知a，，且，则 A． B． C． D． 4．已知函数，则是 A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 5．已知函数，甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中，符合题意的是 A． B． C． D． 6．小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为 A． B． C． D． 7．设，，，为1，2，3，4的一个排列，则满足的不同排列的个数为 A．24 B．16 C．8 D．2 8．已知函数，则“”是“在上为单调函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（）和燃料的质量M（）以及火箭（除燃料外）的质量N（）间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：） A．200 B．400 C．600 D．800 10．已知函数是上的奇函数，当时，．若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．函数的定义域为_____． 12．已知，且，则_____． 13．已知函数的定义域为，且，，．写出满足条件的一个函数解析式_____． 14．已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为_____；若的值域为，则的取值范围是_____． 15．若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质．将具有性质的函数所构成的集合记为．给出下列四个结论： ①存在，，使得； ②存在，，使得且； ③若，，且为增函数，则； ④若，，且为奇函数，为偶函数，则． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题共4小题，共55分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题12分） 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的最大值与最小值． 17．（本小题13分） 某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加10轮比赛，分数如下表： 轮次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． （Ⅰ）若从以上10轮比赛中任选2轮，求这2轮均“稳定发挥”的概率； （Ⅱ）假设甲再参加3轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率．记为甲在这3轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）假设选手乙参加10轮射击比赛，恰有8轮“稳定发挥”，从这十轮比赛中任选3轮，记为乙在这3轮比赛中“稳定发挥”的轮数，直接写出与的大小关系（用“>”、“=”或“<”连接，结论不要求证明）． 18．（本小题15分） 已知函数的定义域为，，函数．对任意，曲线在点处的切线方程为． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）已知，求过点且与曲线相切的直线的条数． 19．（本小题15分） 给定项数为（，）的数列，其中（）．若存在一个正整数（），若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”．例如数列：0，1，1，0，1，1，0．因为，，，与，，，，按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”． （Ⅰ）直接写出数列：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0和数列：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1是否是“5阶可重复数列”．如果是，请写出重复的这5项； （Ⅱ）若项数为的数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由； （Ⅲ）假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值． 学科网（北京）股份有限公司 $