2027届数学高考一轮复习：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式

该高中数学讲义聚焦集合核心考点，涵盖元素特征、集合关系、运算及含参问题等高考高频内容，知识梳理系统整合概念与性质，题型按基础应用到综合创新分层设计，通过考点精讲、真题示例与针对性练习，帮助学生构建完整知识体系，突破易错难点。 资料以“数学思维”培养为核心，创新采用“题型归类+方法提炼”模式，如子集个数问题结合元素互异性规律总结，新定义问题引导抽象数学对象属性，通过基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合真题情境训练，有效提升学生解题效率与应考能力，为教师把握复习节奏提供清晰路径。

专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P50-P58） 1．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【常用结论】 1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 2．已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足； 3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 4．已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足． 【题型1 不含参一元二次不等式的求解】 【例1】（2025·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 练习： 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·江西上饶·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型2 含参一元二次不等式的求解】 【例2】（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 4.（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 【例3】一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选 ）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 3.（2025·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【题型4 分式、高次、绝对值不等式的求解】 【例4】（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2.（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 3.（2025·上海崇明·二模）不等式的解为 ． 4.（2026·吉林延边·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5.（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6.设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（2025·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·山西·阶段练习）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（24-25高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 2.（2025·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 【例7】（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 2.（24-25高一上·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 课后作业： 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5.（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象恒过点 B．的图象必与轴有两个不同的交点 C．的最小值可能为 D．的最小值可能为 8．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间的长度为，设，若对于任意，不等式的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为（）． A．1 B． C．2 D．3 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·西藏·二模）（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 三、填空题 12．（2025·上海·三模）不等式的解集为 13．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 14．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 四、解答题 15．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 16．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且的解集为． (1)求和的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 综合提升题 1.（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 2.（多选 2026·江西九江·模拟预测）（多选题）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 3.（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 基本不等式及其应用 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P44-P49） 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．基本不等式与最值 已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 3．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 4．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型1 直接法求最值】 【例1】（24-25高一上·重庆·期末）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 练习： 1.（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 2.（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2023·上海·高考）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 4．（2025·山东菏泽·一模）“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2 配凑法求最值】 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 练习： 1.（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2.（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 分式求最值】 【例3】（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 练习： 1.（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 3.（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 4.（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 常数代换法求最值】 【例4】（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 2.（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 3.（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【题型5 消元法求最值】 【例5】（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 练习： 1.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·河南·模拟预测）设正实数a，b，c满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【题型6 和积共存求最值】 【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 练习 1.（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【题型7 多次使用基本不等式求最值】 【例7】（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 练习： 1.（2025·河南·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 2.（2025·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】 【例8】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2.（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【题型9 利用基本不等式解决实际问题】 【例9】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 练习： 1.（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 2.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 3.（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 课后作业 一、单选题 1．（2025·安徽·三模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 4．（2025·重庆·三模）已知，则的最大值为（   ） A．6 B．-6 C．8 D．-8 5．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 7．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则 的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 二、多选题 9．（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C． 的最大值为 D．的最小值为 10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 三、填空题 12．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 . 13．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 .. 14．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）若正数满足： ， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 16.（25-26高一下·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 综合提升题 1.（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 2.（多选 2026·山东日照·模拟预测）已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 一元二次方程根的分布问题 复习目标： 1. 会根据一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题； 2. 会利用方程的根与函数的零点间的关系，借助函数图象，解决一元二次方程根的分布问题 知识清单 解决一元二次方程根的分布问题,主要根据以下几个方面建立系数变量的不等式(组)进行求解. （1）判别式Δ的符号; (2)根与系数的关系 (3)对应图象的对称轴方程x=-与所给区间的关系; (4)区间端点处函数值的符号. 题型一　已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根的正负情况 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 核心依托韦达定理+判别式，无需分析对称轴，分四类标准情形： 1.一正一负根：仅需，此时自动成立； 2.两个正根（含重根）： 3.两个负根（含重根）： 4.至少一个负根：分两类讨论——①一正一负；②两负根，取参数范围并集； 5.含零根：，再单独判断另一根正负。 【例1】（2026高三·广东广州·阶段检测）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是__________． 练习： 1．（2026高三·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 2．（2026高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____. 3．（2026高三·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026高三·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 题型二　已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根与实数k的大小关系 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 1.一根小于、一根大于（跨点分布）：仅需，自动满足，计算最简； 2.两根均大于： 3.两根均小于： 原理：结合抛物线开口，对称轴控制根整体位置，保证两点在同侧。 【例2】（2026高三·全国·专题练习）若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为______． 练习 1．（2026高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程两根都小于1，求实数m的取值范围． 2．（2026高三·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是________． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 题型三　根在区间上的分布 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根都在闭区间内，四个约束条件缺一不可： 拓展：恰有一根在内：①；②端点取等，一根等于区间端点、另一根在区间内部，需单独验证。 【例3】（2026高三·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 练习 1.（2026高三·全国·课后作业）关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）关于x的方程的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为_______． 3．（2026高三·吉林长春·阶段检测）已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 4．（2026高三·全国·开学考试）若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为____________． 5．（2026高三·江苏南京·期中）方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是_____． 题型四 根在区间外的分布 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根分居区间两侧，无需判别式、对称轴，仅需端点函数值异号： 1.一根，一根： 开口向上时；开口向下时； 2.简化记忆：抛物线两端点函数值同时与开口反向，图像穿过区间左右外侧。 【例4】（2026高三·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1．（2026高三·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是_____． 3．（浙江省G5联盟2025-2026学年高三学期期中联考数学试卷）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 题型五 整数根问题 规律与方法 1.基础思路： ①先讨论二次项系数为0（一次方程）； ②二次方程优先因式分解，直接解出根，利用整数条件限制参数； ③无法因式分解时用韦达定理：均为整数，构造参数表达式，利用整除求解。 2.拓展题型（不等式整数解限定）： 二次不等式解集内仅有个整数，结合二次函数零点区间，列不等式锁定零点左右边界，限制整数个数。 【例5】（2026高三·北京·开学考试）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根；(2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 练习： 1.（2026高三·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 2．【多选】（2026高三·福建泉州·期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A．0 B． C．1 D． 课后作业 基础题组 1．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 2．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 3.若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 4.一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 6．已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，则a的取值范围是 ． 7. 若关于x的一元二次方程两根都小于1，则实数m取值范围是 8．已知是方程的两根，若两根都大于1，则的取值范围是 ． 综合提升题组 9.已知关于x的方程2cos2x－asin x－2a＋1＝0在（－，0）内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为　 　. 10.不等式对任意恒成立，求m的取值范围。 ． 学科 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P2-P16） 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 4．集合的运算性质 (1)，，． (2)，，． (3)，，． 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 【题型1 元素与集合的关系】 【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3.（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 集合中元素个数问题】 【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 练习： 1.（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2026·河北邯郸·三模）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型3 子集的个数问题】 【例3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 练习： 1.（2026·山东淄博·二模）已知，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 3.（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【题型4 判断集合间的关系】 【例4】（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 2.（2025·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 3.（2025·天津·一模）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 【例5】(江西宜春中学等校2026届高三5月试题)若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 练习： 1.（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 4.（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型6 集合的运算】 【例6】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2026·上海闵行·模拟预测）已知集合，，则__________ 2．（2026全国 1卷第3题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3.（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 【例7】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 练习： 1.（2025·贵州·二模）已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3.（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型8 集合中的新定义问题】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 练习： 1.（2025·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 2.（2025·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 3.（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 课后作业 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 4．（2025·山西·三模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 8.（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题 9．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 10．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ） A．. B．. C．若，则. D．若，则. 11．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 三、填空题 12．（2025·上海青浦·模拟预测）已知集合，则 . 13．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 14．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ． 四、解答题 15.（2025·上海闵行·一模）已知，集合. (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围. 16.（25-26高三上·江西·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 17．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 18.（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2常用逻辑用语 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P17-P35） 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ∀ ”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃ ”表示． 4．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x)” ∃x∈M，p(x)” 否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，p(x)” 5．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 【常用结论】 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反. 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 【例1】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 练习： 1.（2026·哈尔滨师大附中·模拟）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·天津河东·二模）已知，命题p：，命题q：，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】 【例2】（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·山东泰安·模拟预测）已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例3】（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 练习： 1.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3.（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 【例4】（2026·湖南邵阳·三模）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 练习： 1．（2026·湖南长沙·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知命题：“”，则为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西安康·模拟预测）已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（    ） A．真，：， B．假，：， C．真，：， D．假，：， 【题型5 根据命题的真假求参数】 【例5】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练习： 1.（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（多选 23-24高三上·惠州·阶段检测）已知命题“，”为假命题，则实数的可能取值是（    ） A．1 B．3 C． D．4 3.（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为______． 【题型6 常用逻辑用语与集合综合】 【例6】（2024·四川达州·二模）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是____________. 练习： 1.（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 2.（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）已知集合，集合，非空集合． (1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； (2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 3.（2024·山西·模拟预测）已知集合，. (1)若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若函数的定义域为，且，求的取值范围. 课后作业 一、单选题 1.（2026·重庆·模拟预测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津和平·三模）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 5．（2025·吉林·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 6．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 10．（2025·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 三、填空题 12．（2025·四川成都·模拟预测）已知命题，，则是 . 13．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为 14．（2025·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 等式性质与不等式性质 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P37-P43） 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质； ②假分数的性质. 4．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【常用结论】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解. 【题型1 不等式性质的应用】 【例1】（2026·湖南株洲四中·学考模拟二）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知实数，满足，则，故A正确，B错误； ，，故，即，故C，D错误． 练习： 1.（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小. 【解答过程】当时，，且，故，C项错误； 因为，，所以，故B项错误； ，故D项正确. 故选：D. 2.（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】若，，则， 则，即，充分性成立； 若，，则， 所以，必要性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C. 3.（2025·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A, 由于，,故A错误， 对于B，由于关系不确定，故不一定成立，故B错误， 对于C，由于，所以，C错误， 对于D，由于，则，故，D正确， 故选；D. 【题型2 用不等式表示不等关系】 【例2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 练习： 1.（2024·江西抚州·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（    ）个 A．20 B．22 C．24 D．26 【解题思路】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，根据题意列出不等式可分别求出范围，即可求出. 【解答过程】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，且，，，为正整数， 则由题意得，，，，可得， 所以，，，即至少有个. 故选：B. 2.（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【解题思路】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不等式性质求解即可. 【解答过程】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 3.（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【解题思路】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【解答过程】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 【题型3 比较数（式）的大小】 【例3】（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果. 【解答过程】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A. 练习： 1.（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误. 【解答过程】 ，即，故选项A正确； 当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误； 当时，由可得，故选项D错误. 故选:A． 2.（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据作差法比较大小,首先将要比较的,用表示,后作差变形,运用这个条件,判断正负即可比较出大小. 【解答过程】根据题意得,,,, 对于A选项, 对于B选项, 对于C选项, 对于D选项, 故选：B. 3.（2025·广西来宾·模拟预测）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【解题思路】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断. 【解答过程】方案一：设每次购入的黄金数量为，则平均购买成本； 方案二：设每次购入的黄金金额为，则平均购买成本为 ， 所以， 且，则，即， 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低.故选：D. 【题型4 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 【例4】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用不等式的性质，线性运算即可求出的取值范围. 【解答过程】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 练习： 1．（多选 2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】举出反例即可判断A，由不等式的性质代入计算即可判断BD，由作差法即可判断C. 【解答过程】对于A，取，满足，但是，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又因为，所以，而，即，， 所以，故C正确； 对于D，设，即， 则，解得，所以， 又，则，且， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD. 2.（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【解题思路】根据不等式的基本性质计算即可求解. 【解答过程】由，得，又，所以， 所以，即，所以的最大值为27.故选：A. 3.（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【解答过程】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ，注意到， ，因为，所以 故选：B. 【题型5 糖水不等式】 【例5】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案. 【解答过程】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了， 即糖水的浓度增加了， 加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：； 所以. 故选：A. 练习： 1.（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得. 【解答过程】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C. 2.（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【解答过程】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 课后作业 一、单选题 1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【解题思路】利用特殊值法和不等式的性质即可求解. 【解答过程】对于A选项，令，则，所以不成立，故A错误； 对于B选项，令，则，所以不成立，故B错误； 对于C选项，令，则，所以不成立，故C错误； 对于D选项，由及不等式的可加性可得，故D正确. 故选：D. 2．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】依次分析充分性和必要性即可得解. 【解答过程】若，则，充分性成立； 设，则有满足， 此时有，不满足，故必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【解答过程】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 4．（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【解答过程】因为，为实数，当，时，满足，但是， 所以若则是假命题； 而由，当时，得； 当时，得，所以由得， 所以若则是真命题； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 5．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质即可求解. 【解答过程】由可得， 故， 故选：D. 6．（2025·重庆·模拟预测）设 为均不为零的实数，且 ，则（     ） A． B． C． D． 【解题思路】对A，B，根据题意可得，当时易判断；对C，根据条件结合绝对值三角不等式求解判断；对D，举反例说明. 【解答过程】因为为均不为零的实数，且， 所以， 对于A，由，当时，得，故A错误； 对于B，由，当时，得，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，举反例，如，满足条件，但，故D错误. 故选：C. 7．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】易得，再结合已知可得，由，得，即可比较，利用作差法即可比较，即可得解. 【解答过程】由，得， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为，所以， 当时，，此时，， 这与矛盾，所以， 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 由A选项知，当时，不符题意， 所以， 由，可得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 由，得， 则， 因为，， 所以， 又因为，所以，所以， 综上所述，. 故选：A. 8．（2025·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得. 【解答过程】当时，，所以A错. 当时， ，所以B错. 当时，，所以C错. 若，则，则成立，所以D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断. 【解答过程】对于A，，因为， 所以，即，所以，故A正确； 对于B，取，此时，故B错误； 对于C，取，则，故C错误， 对于D，若，则显然成立， 若，则成立， 若，则成立， 综上所述，只要，就一定有，故D正确. 故选：AD. 10.（多选题）（2026·河南名校·模拟）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系； 对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系； 对于选项C，可通过作差法比较与的大小； 对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 11．（2025·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误. 【解答过程】对于A，由和不等式性质可得，故A正确； 对于B，因，若取，，，， 则，，所以，故B错误； 对于C，因，若取，，，， 则，，所以，故C错误； 对于D，因为，则，又因则， 由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确． 故选：AD． 三、填空题 12．（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为 ． 【解题思路】当取最小的正整数时，所求最大. 【解答过程】，要使其最大，则都最小即可， 因为，且为正整数，故取， 此时， 故答案为：. 13．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 ． 【解题思路】先得到，并根据得到，从而求出. 【解答过程】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为：. 14．（2025·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【解题思路】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【解答过程】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围. 【解题思路】计算出，从而得到，得到答案. 【解答过程】设， ∴， ∴，解得， 故， ∵，， ∴，， ∴，即，故的取值范围为. 16．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【解题思路】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P2-P16） 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 4．集合的运算性质 (1)，，． (2)，，． (3)，，． 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 【题型1 元素与集合的关系】 【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.91 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据元素与集合的关系求参数 【详解】由，代入得，解得. 练习： 1.（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：C. 2.（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【解答过程】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 3.（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、分式不等式 【详解】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 【题型2 集合中元素个数问题】 【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项. 【详解】由中元素的互异性，得，即且， 而，则当且时，与均互异， 因此中至少有元素，取，此时，有4个元素， ∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 练习： 1.（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】将集合与集合所代表方程的关系进行联立求解，利用代入法得到一个关于的方程，求解的值后再得到对应的值，从而确定两个集合的交集. 【解答过程】将代入，得，解得或0， 所以.则中元素的个数为3个. 故选：C. 2.（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据给定条件，求出集合即可. 【解答过程】集合，则， 所以集合C的元素个数为3个. 故选：C. 3.（2026·河北邯郸·三模）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】列举法表示集合、判断元素与集合的关系 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 【题型3 子集的个数问题】 【例3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.8 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据交集结果求集合或参数 【详解】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 练习： 1.（2026·山东淄博·二模）已知，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、特殊角的三角函数值、交集的概念及运算 【详解】因为， 所以，进而的子集个数为. 2.（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】由集合的无序性结合集合的关系确定，进而可求集合的真子集个数. 【详解】因为，所以，所以的真子集个数为. 3.（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【解题思路】首先求集合中的元素，再根据集合的元素个数，代入公式，即可求解. 【解答过程】由条件可知，，，，，，， 所以集合，集合的子集的个数为个. 故选：C. 【题型4 判断集合间的关系】 【例4】（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【解答过程】由 ，则.故选：B. 练习： 1.（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【解题思路】由集合，即可判断集合间的关系. 【解答过程】由，显然为奇数， 而，所以⫋. 故选：C. 2.（2025·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知：，则是的真子集，对比选项分析即可. 【解答过程】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 3.（2025·天津·一模）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将集合中的元素进行通分，即可根据分子的形式进行比较，集合子集定义即可求解. 【解答过程】,故, 由于，故， 由于为任意整数，故 ，因此, ,故， 故，所以， 故选：B． 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 【例5】(江西宜春中学等校2026届高三5月试题)若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 【答案】C 【详解】当时，满足； 当时，因为，所以， 此时，满足． 练习： 1.（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解. 【解答过程】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 2.（2025·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的包含关系列不等式，解不等式可得结论. 【解答过程】由，得， 解得且， 故实数的取值范围是． 故选：C． 3.（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【难度】0.92 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 4.（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 【题型6 集合的运算】 【例6】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、具体函数的定义域、分式不等式 【详解】依题意， ，则. 练习： 1.（2026·上海闵行·模拟预测）已知集合，，则__________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】公式法解绝对值不等式、交集的概念及运算 【详解】因为，解得，得， ，，. 2（2026全国 1卷第3题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 3.（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【解答过程】由，则， 集合，故故选：D. 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 【例7】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由，得，进而得到关于的方程，结合集合的性质求解即可. 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 练习： 1.（2025·贵州·二模）已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用交集的结果求出范围. 【解答过程】集合，，而，则， 所以的取值范围是. 故选：C. 2.（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据交集的结果直接得出答案. 【解答过程】由题意知，， 因为， 所以. 故选：B. 3.（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数集的并集运算求参数的取值范围. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：A. 【题型8 集合中的新定义问题】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【解题思路】由题定义先得，进而可得真子集的个数为. 【解答过程】集合，， 定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有真子集的个数为， 故选：B. 练习： 1.（2025·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 【解题思路】先确定集合有四个元素，则可得其非空子集的个数. 【解答过程】根据题意，， 则集合的非空子集的个数是. 故选：B. 2.（2025·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【解题思路】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论． 【解答过程】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 3.（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【答案】50 【难度】0.4 【知识点】组合数的性质及应用、集合新定义 【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解即可. 【详解】解法一：若中各含1个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有个， 若中各含2个元素时，“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 解法二：当集合中有1个元素时，有，共4种情况， 集合是由集合中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集， 可得这样的“互斥子集组”有个， 当集合中有2个元素时，有， 共6种情况，而集合是由集合中去2个元素后， 剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有个， 当集合中有3个元素时，有，共4种情况， 而集合是由集合中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集， 则此时“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 课后作业 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【解答过程】因为，所以， 故选：D. 2．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：C. 3．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【解题思路】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C. 4．（2025·山西·三模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围. 【解答过程】因为，所以，解得．所以的取值范围是． 故选：A. 5．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【解题思路】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【解答过程】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 6．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【解答过程】由 ，则. 故选：B. 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出集合的交集，然后求出集合的并集，最后求出阴影部分的元素组成. 【解答过程】因为， 所以， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 8.（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由可知中元素必属于，故或；分别求解后，结合集合元素的互异性排除，最终得或． 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 二、多选题 9．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【解题思路】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【解答过程】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 10．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ） A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【解题思路】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【解答过程】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 11．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【解题思路】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12．（2025·上海青浦·模拟预测）已知集合，则 . 【解题思路】解不等式求出集合A，即可求集合的交集. 【解答过程】解集合A中的不等式，得， 就是求既属于A又属于的元素，所以. 故答案为：. 13．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 3 ． 【解题思路】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【解答过程】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 14．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ． 【解题思路】由集合运算求出，然后得到. 【解答过程】，∴， 故答案为：. 四、解答题 15.（2025·上海闵行·一模）已知，集合. (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、分式不等式 【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式即可求解； （2）由集合运算转化为子集关系，再讨论空集和非空子集，来求解参数范围. 【详解】（1）由，得，解得或， 则或； 由； 当时，，解得. （2）由，得，由， ①当时，得，符合题意； ②当时，若，则， 由，或, 可得，此时； 若，则，此时恒成立，故符合题意； 综上所述，实数的取值范围为. 16.（25-26高三上·江西·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）先求出集合，再根据得出即可求解； （2）先根据及，得出集合，再列式计算求参. 【详解】（1）当时，，又因为， 所以，所以，所以； （2）当时，， 因为，， 所以只有一个元素且， 所以，所以. 17．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【解题思路】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【解答过程】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 18.（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 【答案】(1) (2)4 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、集合新定义 【分析】（1）根据定义直接写出结果即可； （2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数； （3）对任意元素，可证或，故可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为中的元素是要么只属于，要么只属于， 所以； （2）设，则，因为， 故符合条件的的个数为. (3) 对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且． 若，则；若，则． 故，从而． 因此，结论成立． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 常用逻辑用语 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P17-P35） 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ∀ ”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃ ”表示． 4．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x)” ∃x∈M，p(x)” 否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，p(x)” 5．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 【常用结论】 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反. 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 【例1】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】对于A，若，满足，而，则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而，则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，，则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即，所以“”是“”的必要条件，故D正确. 练习： 1.（2026·哈尔滨师大附中·模拟）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，，解得， ，，当满足，则其一定满足， 即由可以推出，“”是“”的充分条件; 若时，其满足，不满足，即由不能推出; “”不是“”的必要条件，“”是“”的充分不必要条件. 2.（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【解答过程】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A. 3.（2025·天津河东·二模）已知，命题p：，命题q：，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】由命题间的必要不充分条件判断即可. 【解答过程】命题p：即，命题q：即， 所以命题能推出命题，而命题不能推出命题，所以p是q的必要不充分条件.故选：C. 【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】 【例2】（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【解答过程】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但，所以．故选：B. 练习： 1.（2025·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【解答过程】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 2.（2025·山东泰安·模拟预测）已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用绝对值不等式的解法化简，再由充分条件与必要条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可. 【解答过程】因为：， 所以，记； ，记为．因为是的必要不充分条件，所以A⫋， 所以，解得．故选：A． 3.（2025·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意是的子集，从而求解. 【解答过程】， 因为的充分条件是，所以，则，故选：B. 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例3】（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 【解题思路】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说明. 【解答过程】对于命题，因为当时，，故命题是假命题； 对于命题，当时，，故命题是真命题.故选：B. 练习： 1.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】判断出、的真假，即可得出结论. 【解答过程】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 2.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】判断出、的真假，即可得出结论. 【解答过程】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 3.（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】利用判断命题的真假，举例说明，令，可判断命题的真假性. 【解答过程】由，得是真命题，是假命题； 当时，，则，则是真命题，是假命题． 综上，和都是真命题. 故选：A.   【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 【例4】（2026·湖南邵阳·三模）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【详解】因为带量词的命题的否定只需改变量词，否定结论， 所以命题“”的否定是“”. 练习： 1．（2026·湖南长沙·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定， 因此命题“，”的否定为命题“，”. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知命题：“”，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【详解】全称量词的否定为改变量词，否定结论， 所以若命题为， 则命题的否定为. 3．（2026·陕西安康·模拟预测）已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（    ） A．真，：， B．假，：， C．真，：， D．假，：， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、特称命题的否定及其真假判断 【分析】先通过特殊整数验证命题的真假，再依据特称命题的否定规则得出的形式. 【详解】取，此时，，满足，因此命题p为真命题， 根据特称命题的否定规则，特称命题的否定为全称命题， 因此命题的否定为. 【题型5 根据命题的真假求参数】 【例5】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 练习： 1.（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【解答过程】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或，即a的范围是 故选：D. 2.（多选23-24高三上·广东惠州·阶段检测）已知命题“，”为假命题，则实数的可能取值是（    ） A．1 B．3 C． D．4 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据题意，由条件可得“，”为真命题，然后分离参数，即可得到结果. 【详解】因为命题“，”为假命题， 则命题“，”为真命题， 所以，， 令，因为为增函数，为增函数， 所以在单调递增，当时，有最小值，即， 所以. 故选：BD 3.（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、判断一般幂函数的单调性 【分析】写出命题的否定，依题意可得在区间内有解，根据函数的单调性求出，即可得解. 【详解】由题意得“，”为真命题， 所以在区间内有解，又知在区间内单调递增，所以， 故的取值范围为．故答案为： 【题型6 常用逻辑用语与集合综合】 【例6】（2024·四川达州·二模）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先解对数不等式，再结合充分不必要条件求出参数范围. 【详解】因为所以, 因为是的充分不必要条件， 所以. 故答案为：. 练习： 1.（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误. 【解答过程】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误； 对于B，因为，所以， 因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误； 对于C，因为，所以，当时， 成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件， 由，可得，所以，所以是的必要条件， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：D. 2.（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）已知集合，集合，非空集合． (1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； (2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】（1）求出集合，利用充分条件的定义，结合包含关系列式求解. （2）由全称量词命题为真及集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）非空集合，由“”是“”的充分条件，得， 而，则或，解得或， 所以实数b的取值构成的集合为. （2）由“，都有”为真命题，得， 而，，则或， 当时，，解得；当时，，解得， 所以实数a的取值构成的集合是. 3.（2024·山西·模拟预测）已知集合，. (1)若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若函数的定义域为，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据二次函数的最值或值域求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可； （2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为，最后结合二次函数的值域即可求参. 【详解】（1）由题意知， 解不等式，解得，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围是. （2）因为，所以在上有解， 所以， 令，则， 所以，即的取值范围是. 课后作业 一、单选题 1.（2026·重庆·模拟预测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】因为，故，则， 若，解得或， 故是的充分不必要条件. 2．（2025·天津和平·三模）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题即可求解. 【解答过程】命题“，”的否定是“，”， 故选：D. 3．（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【解题思路】分类讨论求解，即可判断． 【解答过程】当时，，不成立； 当时，，不成立； 当时，，成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 4．（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【解题思路】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解. 【解答过程】当时，， 所以是假命题，且. 故选：C. 5．（2025·吉林·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】举出反例证明为假命题，所以为真；找出实例证明为真命题，所以为假；由此即可求解. 【解答过程】对于命题，时，， 所以，为假命题，为真命题， 对于命题，，解得，或， 所以，，为真命题，为假命题， 所以和都是真命题. 故选：C. 6．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【解答过程】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则， 则A是D的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7．（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案. 【解答过程】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题. 故选：B. 8．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数的取值范围. 【解答过程】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题， 可知其否定“”为真命题. 由，，移项可得， 因为，两边同时除以，得到在上恒成立. 在中，因为，所以2x和都是正实数，则， 当且仅当，即时等号成立. 因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值， 即，所以实数的取值范围是. 实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 【解题思路】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【解答过程】A 选项：当时，满足，但是不能推出； 反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误； B选项：当，,但是不能推出 当时，，故 B 正确； C选项：当时，不能由推出,故 C 错误； D选项：等价于等价于，故 D正确； 故选：BD. 10．（2025·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解. 【解答过程】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【解题思路】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即可. 【解答过程】由题意得，解得，则BC符合题意. 故选：BC. 三、填空题 12．（2025·四川成都·模拟预测）已知命题，，则是 . 【解题思路】根据全称量词命题的否定要求即得. 【解答过程】由，可得：. 故答案为：. 13．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为 ． 【解题思路】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案. 【解答过程】命题p：，的否定为：， 故答案为：. 14．（2025·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【解题思路】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可. 【解答过程】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解题思路】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可. (2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知所代表的范围是所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得. 【解答过程】（1）时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； （2）， ， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 16.（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）由可得，分和两种情况讨论即可； （2）由p是q的充分不必要条件可得真包含于，根据包含关系列出不等式组即可. 【详解】（1）由可得， 当时，则，解得； 当时，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （2）若p是q的充分不必要条件，则真包含于，这等价于且， 由可得，解得， 又（即且）无解，故恒成立， 所以实数的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P2-P16） 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 4．集合的运算性质 (1)，，． (2)，，． (3)，，． 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 【题型1 元素与集合的关系】 【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.91 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据元素与集合的关系求参数 【详解】由，代入得，解得. 练习： 1.（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：C. 2.（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【解答过程】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 3.（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、分式不等式 【详解】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 【题型2 集合中元素个数问题】 【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项. 【详解】由中元素的互异性，得，即且， 而，则当且时，与均互异， 因此中至少有元素，取，此时，有4个元素， ∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 练习： 1.（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】将集合与集合所代表方程的关系进行联立求解，利用代入法得到一个关于的方程，求解的值后再得到对应的值，从而确定两个集合的交集. 【解答过程】将代入，得，解得或0， 所以.则中元素的个数为3个. 故选：C. 2.（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据给定条件，求出集合即可. 【解答过程】集合，则， 所以集合C的元素个数为3个. 故选：C. 3.（2026·河北邯郸·三模）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】列举法表示集合、判断元素与集合的关系 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 【题型3 子集的个数问题】 【例3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.8 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据交集结果求集合或参数 【详解】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 练习： 1.（2026·山东淄博·二模）已知，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、特殊角的三角函数值、交集的概念及运算 【详解】因为， 所以，进而的子集个数为. 2.（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】由集合的无序性结合集合的关系确定，进而可求集合的真子集个数. 【详解】因为，所以，所以的真子集个数为. 3.（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【解题思路】首先求集合中的元素，再根据集合的元素个数，代入公式，即可求解. 【解答过程】由条件可知，，，，，，， 所以集合，集合的子集的个数为个. 故选：C. 【题型4 判断集合间的关系】 【例4】（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【解答过程】由 ，则.故选：B. 练习： 1.（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【解题思路】由集合，即可判断集合间的关系. 【解答过程】由，显然为奇数， 而，所以⫋. 故选：C. 2.（2025·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知：，则是的真子集，对比选项分析即可. 【解答过程】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 3.（2025·天津·一模）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将集合中的元素进行通分，即可根据分子的形式进行比较，集合子集定义即可求解. 【解答过程】,故, 由于，故， 由于为任意整数，故 ，因此, ,故， 故，所以， 故选：B． 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 【例5】(江西宜春中学等校2026届高三5月试题)若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 【答案】C 【详解】当时，满足； 当时，因为，所以， 此时，满足． 练习： 1.（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解. 【解答过程】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 2.（2025·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的包含关系列不等式，解不等式可得结论. 【解答过程】由，得， 解得且， 故实数的取值范围是． 故选：C． 3.（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【难度】0.92 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 4.（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 【题型6 集合的运算】 【例6】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、具体函数的定义域、分式不等式 【详解】依题意， ，则. 练习： 1.（2026·上海闵行·模拟预测）已知集合，，则__________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】公式法解绝对值不等式、交集的概念及运算 【详解】因为，解得，得， ，，. 2（2026全国 1卷第3题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 3.（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【解答过程】由，则， 集合，故故选：D. 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 【例7】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由，得，进而得到关于的方程，结合集合的性质求解即可. 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 练习： 1.（2025·贵州·二模）已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用交集的结果求出范围. 【解答过程】集合，，而，则， 所以的取值范围是. 故选：C. 2.（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据交集的结果直接得出答案. 【解答过程】由题意知，， 因为， 所以. 故选：B. 3.（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数集的并集运算求参数的取值范围. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：A. 【题型8 集合中的新定义问题】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【解题思路】由题定义先得，进而可得真子集的个数为. 【解答过程】集合，， 定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有真子集的个数为， 故选：B. 练习： 1.（2025·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 【解题思路】先确定集合有四个元素，则可得其非空子集的个数. 【解答过程】根据题意，， 则集合的非空子集的个数是. 故选：B. 2.（2025·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【解题思路】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论． 【解答过程】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 3.（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【答案】50 【难度】0.4 【知识点】组合数的性质及应用、集合新定义 【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解即可. 【详解】解法一：若中各含1个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有个， 若中各含2个元素时，“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 解法二：当集合中有1个元素时，有，共4种情况， 集合是由集合中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集， 可得这样的“互斥子集组”有个， 当集合中有2个元素时，有， 共6种情况，而集合是由集合中去2个元素后， 剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有个， 当集合中有3个元素时，有，共4种情况， 而集合是由集合中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集， 则此时“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 课后作业 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【解答过程】因为，所以， 故选：D. 2．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：C. 3．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【解题思路】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C. 4．（2025·山西·三模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围. 【解答过程】因为，所以，解得．所以的取值范围是． 故选：A. 5．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【解题思路】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【解答过程】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 6．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【解答过程】由 ，则. 故选：B. 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出集合的交集，然后求出集合的并集，最后求出阴影部分的元素组成. 【解答过程】因为， 所以， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 8.（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由可知中元素必属于，故或；分别求解后，结合集合元素的互异性排除，最终得或． 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 二、多选题 9．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【解题思路】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【解答过程】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 10．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ） A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【解题思路】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【解答过程】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 11．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【解题思路】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12．（2025·上海青浦·模拟预测）已知集合，则 . 【解题思路】解不等式求出集合A，即可求集合的交集. 【解答过程】解集合A中的不等式，得， 就是求既属于A又属于的元素，所以. 故答案为：. 13．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 3 ． 【解题思路】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【解答过程】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 14．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ． 【解题思路】由集合运算求出，然后得到. 【解答过程】，∴， 故答案为：. 四、解答题 15.（2025·上海闵行·一模）已知，集合. (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、分式不等式 【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式即可求解； （2）由集合运算转化为子集关系，再讨论空集和非空子集，来求解参数范围. 【详解】（1）由，得，解得或， 则或； 由； 当时，，解得. （2）由，得，由， ①当时，得，符合题意； ②当时，若，则， 由，或, 可得，此时； 若，则，此时恒成立，故符合题意； 综上所述，实数的取值范围为. 16.（25-26高三上·江西·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）先求出集合，再根据得出即可求解； （2）先根据及，得出集合，再列式计算求参. 【详解】（1）当时，，又因为， 所以，所以，所以； （2）当时，， 因为，， 所以只有一个元素且， 所以，所以. 17．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【解题思路】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【解答过程】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 18.（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 【答案】(1) (2)4 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、集合新定义 【分析】（1）根据定义直接写出结果即可； （2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数； （3）对任意元素，可证或，故可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为中的元素是要么只属于，要么只属于， 所以； （2）设，则，因为， 故符合条件的的个数为. (3) 对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且． 若，则；若，则． 故，从而． 因此，结论成立． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 一元二次方程根的分布问题 复习目标： 1. 会根据一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题； 2. 会利用方程的根与函数的零点间的关系，借助函数图象，解决一元二次方程根的分布问题 知识清单 解决一元二次方程根的分布问题,主要根据以下几个方面建立系数变量的不等式(组)进行求解. （1）判别式Δ的符号; (2)根与系数的关系 (3)对应图象的对称轴方程x=-与所给区间的关系; (4)区间端点处函数值的符号. 题型一　已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根的正负情况 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 核心依托韦达定理+判别式，无需分析对称轴，分四类标准情形： 1.一正一负根：仅需，此时自动成立； 2.两个正根（含重根）： 3.两个负根（含重根）： 4.至少一个负根：分两类讨论——①一正一负；②两负根，取参数范围并集； 5.含零根：，再单独判断另一根正负。 【例1】（2026高三·广东广州·阶段检测）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据两根之积小于0列不等式，求解可得结果. 【详解】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是，此时，符合题意. 故答案为：. 练习： 1．（2026高三·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 2．（2026高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，即实数的取值范围是. 故答案为： 3．（2026高三·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2026高三·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求参数的取值范围. 【详解】由题意：设方程的两根为，，（）. 则. 故选：A 题型二　已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根与实数k的大小关系 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 1.一根小于、一根大于（跨点分布）：仅需，自动满足，计算最简； 2.两根均大于： 3.两根均小于： 原理：结合抛物线开口，对称轴控制根整体位置，保证两点在同侧。 【例2】（2026高三·全国·专题练习）若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意，利用三个二次的关系作出对应的一元二次函数的图象，列出不等式求解即得. 【详解】设，如图所示， 要使方程的一个根大于1，另一个根小于1，需使，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 练习 1．（2026高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程两根都小于1，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】应用一元二次方程的根都小于1，根据判别式，对称轴，与开口的关系列不等式计算求参. 【详解】设， 由已知方程的两根都小于1，应满足，化简得， 解得或． 故实数 m的取值范围为． 2．（2026高三·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，结合题意分析可得，运算求解即可. 【详解】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 题型三　根在区间上的分布 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根都在闭区间内，四个约束条件缺一不可： 拓展：恰有一根在内：①；②端点取等，一根等于区间端点、另一根在区间内部，需单独验证。 【例3】（2026高三·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】令，当不是方程的根时，得到，求解得到的范围；再验证当以及是方程的根时是否满足题意，即可得出结果. 【详解】在区间内、外各有一个实数根， 令， 当不是方程的根时， 所以， 解得：； 当是方程的根时， 得， 此时方程变为：， 解得：或， 在区间内，在区间外，符合题意； 当是方程的根时，得， 此时方程变为：， 解得：或， 此时方程的两根均在区间外，不符合题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，解题时要注意分析判别式、对称轴以及端点（与根比大小的数）的函数值符号. 练习 1.（2026高三·全国·课后作业）关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，从恰有一个零点属于，分为两种情况，一种是另一根刚好过端点，另一种是另一根不过端点求解； 【详解】解：方程对应的二次函数设为：， 因为方程恰有一根属于，则需要满足： ① 或者②函数有一个零点刚好经过点或者，另一个零点属于， 解①得：，解得： 解②得： 把点代入，解得：，此时方程为，两根为0，，而，不合题意，舍去， 把点代入，解得：，此时方程为，两根为1，，而，故符合题意， 综上：实数m的取值范围为 故选：B 2．（2026高三·全国·专题练习）关于x的方程的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据方程因式分解求出方程的根，由题意得到不等式组，求解即得. 【详解】由可得， 依题意，，解得. 故答案为：. 3．（2026高三·吉林长春·阶段检测）已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 【答案】10 【分析】根据一元二次方程根的分布的特征得出满足的条件，进而通过取值范围讨论求解即可. 【详解】由题意得，，即， 因为a，， 由，得， 若，则，即，无解； 若，则，即，无解； 若，则，即，则或， 显然时，取最小值10， 若，由，得， 所以的最小值为10. 4．（2026高三·全国·开学考试）若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为____________． 【答案】 【分析】结合二次函数根的区间分布，列出不等式组，解出即可. 【详解】设，由题可知，若都在区间内， 则需满足，所以解得． 故答案为：. 5．（2026高三·江苏南京·期中）方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】设，根据根的分布情况，得到不等式，求出答案. 【详解】设，开口向上， 由题意得，解不等式得 实数m的取值范围是. 故答案为： 题型4 根在区间外的分布 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根分居区间两侧，无需判别式、对称轴，仅需端点函数值异号： 1.一根，一根： 开口向上时；开口向下时； 2.简化记忆：抛物线两端点函数值同时与开口反向，图像穿过区间左右外侧。 【例4】（2026高三·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得，所以．故选：B． 练习： 1．（2026高三·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】设， 根据已知结合二次函数性质，作图    则有， 解得. 故选：C. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据已知条件及方程的根与函数零点的等价关系，再结合二次函数的性质即可求解. 【详解】显然，关于的方程对应的二次函数 当时，二次函数的图象开口向上， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； ②当时，二次函数的图象开口向下， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； 综上所述，实数的范围是． 故答案为：． 3．（浙江省G5联盟2025-2026学年高三学期期中联考数学试卷）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 题型5 整数根问题 规律与方法 1.基础思路： ①先讨论二次项系数为0（一次方程）； ②二次方程优先因式分解，直接解出根，利用整数条件限制参数； ③无法因式分解时用韦达定理：均为整数，构造参数表达式，利用整除求解。 2.拓展题型（不等式整数解限定）： 二次不等式解集内仅有个整数，结合二次函数零点区间，列不等式锁定零点左右边界，限制整数个数。 【例5】（2026高三·北京·开学考试）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根；(2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）先讨论m是否为0，再根据二次函数的判别式判断即可； （2）因式分解求解二次方程，再判断根为整数的情况即可. 【详解】（1）当时，方程为，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，， 此时方程有解. 综上，不论m取何值，方程都有实数根. （2）方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数，故或 练习： 1.（2026高三·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3. 2．【多选】（2026高三·福建泉州·期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】BC 【分析】原不等式可化为，根据一次函数和二次函数的图象可知和为原不等式的两个整数解，由此列不等式组求的范围即可. 【详解】可化为， 因为关于的不等式的解集中恰有两个整数， 由一次函数和二次函数的图象可知和为不等式的解集中的两个整数，    所以解得， 故选：BC 课后作业 基础题组 1．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知，即，解得. 故选：B 2．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 3.若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设，由题可知，若都在区间内，则需满足所以解得，故B，C符合. 4.一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次方程判别式以及两根的符号，结合韦达定理列不等式求出a的取值范围,再根据充分、必要条件的定义可得答案 【详解】设两个不等负实数根分别为， 则需满足， 解得，即， 所以是方程有两个不相等负根的充要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件， 故选：B. 5．关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 故，即， 而由韦达定理得，， 代入不等式中得到，解得， 故答案为： 6．已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，因式分解得， 故方程两根为和， 则由题意得， ∴． 7. 若关于x的一元二次方程两根都小于1，则实数m取值范围是 【答案】 【详解】设， 由已知方程的两根都小于1，应满足，化简得， 解得或． 故实数 m的取值范围为． 8．已知是方程的两根，若两根都大于1，则的取值范围是 ． 【答案】. 【详解】依题意，，解得或， ，由，得， 则，即，则，解得， 因此，，当且仅当，即时取等号，而，所以的最小值为10，即的取值范围是. 综合提升题组 9.已知关于x的方程2cos2x－asin x－2a＋1＝0在（－，0）内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为　 　. 解析：原方程可化为2sin2x＋asin x＋2a－3＝0.令t＝sin x，则方程可化为2t2＋at＋2a－3＝0.因为x∈（－，0），所以t∈（－1，0）.依题意，关于t的一元二次方程2t2＋at＋2a－3＝0在（－1，0）内有两个不相等的实数根， 则有解得＜a＜8－2，故实数a的取值范围是（，8－2）. 10.不等式对任意恒成立，求m的取值范围 ． 解析：当时，不等式为，显然成立； 当时，记，为二次函数，对称轴为， 当时，由，得， 由题意得，解得； 当时，由，得， 由题意得，解得， 综上，. 学科 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 基本不等式及其应用 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P44-P49） 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．基本不等式与最值 已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 3．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 4．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型1 直接法求最值】 【例1】（24-25高一上·重庆·期末）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 练习： 1.（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 2.（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2023·上海·高考）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 4．（2025·山东菏泽·一模）“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2 配凑法求最值】 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 练习： 1.（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2.（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 分式求最值】 【例3】（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 练习： 1.（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 3.（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 4.（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 常数代换法求最值】 【例4】（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 2.（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 3.（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【题型5 消元法求最值】 【例5】（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 练习： 1.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·河南·模拟预测）设正实数a，b，c满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【题型6 和积共存求最值】 【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 练习 1.（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【题型7 多次使用基本不等式求最值】 【例7】（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 练习： 1.（2025·河南·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 2.（2025·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】 【例8】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2.（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【题型9 利用基本不等式解决实际问题】 【例9】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 练习： 1.（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 2.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 3.（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 课后作业 一、单选题 1．（2025·安徽·三模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 4．（2025·重庆·三模）已知，则的最大值为（   ） A．6 B．-6 C．8 D．-8 5．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 7．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则 的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 二、多选题 9．（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C． 的最大值为 D．的最小值为 10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 三、填空题 12．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 . 13．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 .. 14．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）若正数满足： ， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 16.（25-26高一下·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 综合提升题 1.（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 2.（多选 2026·山东日照·模拟预测）已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 常用逻辑用语 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P17-P35） 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ∀ ”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃ ”表示． 4．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x)” ∃x∈M，p(x)” 否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，p(x)” 5．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 【常用结论】 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反. 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 【例1】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】对于A，若，满足，而，则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而，则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，，则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即，所以“”是“”的必要条件，故D正确. 练习： 1.（2026·哈尔滨师大附中·模拟）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，，解得， ，，当满足，则其一定满足， 即由可以推出，“”是“”的充分条件; 若时，其满足，不满足，即由不能推出; “”不是“”的必要条件，“”是“”的充分不必要条件. 2.（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【解答过程】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A. 3.（2025·天津河东·二模）已知，命题p：，命题q：，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】由命题间的必要不充分条件判断即可. 【解答过程】命题p：即，命题q：即， 所以命题能推出命题，而命题不能推出命题，所以p是q的必要不充分条件.故选：C. 【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】 【例2】（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【解答过程】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但，所以．故选：B. 练习： 1.（2025·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【解答过程】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 2.（2025·山东泰安·模拟预测）已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用绝对值不等式的解法化简，再由充分条件与必要条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可. 【解答过程】因为：， 所以，记； ，记为．因为是的必要不充分条件，所以A⫋， 所以，解得．故选：A． 3.（2025·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意是的子集，从而求解. 【解答过程】， 因为的充分条件是，所以，则，故选：B. 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例3】（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 【解题思路】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说明. 【解答过程】对于命题，因为当时，，故命题是假命题； 对于命题，当时，，故命题是真命题.故选：B. 练习： 1.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】判断出、的真假，即可得出结论. 【解答过程】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 2.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】判断出、的真假，即可得出结论. 【解答过程】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 3.（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】利用判断命题的真假，举例说明，令，可判断命题的真假性. 【解答过程】由，得是真命题，是假命题； 当时，，则，则是真命题，是假命题． 综上，和都是真命题. 故选：A.   【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 【例4】（2026·湖南邵阳·三模）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【详解】因为带量词的命题的否定只需改变量词，否定结论， 所以命题“”的否定是“”. 练习： 1．（2026·湖南长沙·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定， 因此命题“，”的否定为命题“，”. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知命题：“”，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【详解】全称量词的否定为改变量词，否定结论， 所以若命题为， 则命题的否定为. 3．（2026·陕西安康·模拟预测）已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（    ） A．真，：， B．假，：， C．真，：， D．假，：， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、特称命题的否定及其真假判断 【分析】先通过特殊整数验证命题的真假，再依据特称命题的否定规则得出的形式. 【详解】取，此时，，满足，因此命题p为真命题， 根据特称命题的否定规则，特称命题的否定为全称命题， 因此命题的否定为. 【题型5 根据命题的真假求参数】 【例5】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 练习： 1.（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【解答过程】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或，即a的范围是 故选：D. 2.（多选23-24高三上·广东惠州·阶段检测）已知命题“，”为假命题，则实数的可能取值是（    ） A．1 B．3 C． D．4 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据题意，由条件可得“，”为真命题，然后分离参数，即可得到结果. 【详解】因为命题“，”为假命题， 则命题“，”为真命题， 所以，， 令，因为为增函数，为增函数， 所以在单调递增，当时，有最小值，即， 所以. 故选：BD 3.（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、判断一般幂函数的单调性 【分析】写出命题的否定，依题意可得在区间内有解，根据函数的单调性求出，即可得解. 【详解】由题意得“，”为真命题， 所以在区间内有解，又知在区间内单调递增，所以， 故的取值范围为．故答案为： 【题型6 常用逻辑用语与集合综合】 【例6】（2024·四川达州·二模）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先解对数不等式，再结合充分不必要条件求出参数范围. 【详解】因为所以, 因为是的充分不必要条件， 所以. 故答案为：. 练习： 1.（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误. 【解答过程】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误； 对于B，因为，所以， 因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误； 对于C，因为，所以，当时， 成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件， 由，可得，所以，所以是的必要条件， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：D. 2.（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）已知集合，集合，非空集合． (1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； (2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】（1）求出集合，利用充分条件的定义，结合包含关系列式求解. （2）由全称量词命题为真及集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）非空集合，由“”是“”的充分条件，得， 而，则或，解得或， 所以实数b的取值构成的集合为. （2）由“，都有”为真命题，得， 而，，则或， 当时，，解得；当时，，解得， 所以实数a的取值构成的集合是. 3.（2024·山西·模拟预测）已知集合，. (1)若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若函数的定义域为，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据二次函数的最值或值域求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可； （2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为，最后结合二次函数的值域即可求参. 【详解】（1）由题意知， 解不等式，解得，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围是. （2）因为，所以在上有解， 所以， 令，则， 所以，即的取值范围是. 课后作业 一、单选题 1.（2026·重庆·模拟预测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】因为，故，则， 若，解得或， 故是的充分不必要条件. 2．（2025·天津和平·三模）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题即可求解. 【解答过程】命题“，”的否定是“，”， 故选：D. 3．（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【解题思路】分类讨论求解，即可判断． 【解答过程】当时，，不成立； 当时，，不成立； 当时，，成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 4．（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【解题思路】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解. 【解答过程】当时，， 所以是假命题，且. 故选：C. 5．（2025·吉林·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】举出反例证明为假命题，所以为真；找出实例证明为真命题，所以为假；由此即可求解. 【解答过程】对于命题，时，， 所以，为假命题，为真命题， 对于命题，，解得，或， 所以，，为真命题，为假命题， 所以和都是真命题. 故选：C. 6．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【解答过程】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则， 则A是D的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7．（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案. 【解答过程】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题. 故选：B. 8．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数的取值范围. 【解答过程】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题， 可知其否定“”为真命题. 由，，移项可得， 因为，两边同时除以，得到在上恒成立. 在中，因为，所以2x和都是正实数，则， 当且仅当，即时等号成立. 因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值， 即，所以实数的取值范围是. 实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 【解题思路】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【解答过程】A 选项：当时，满足，但是不能推出； 反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误； B选项：当，,但是不能推出 当时，，故 B 正确； C选项：当时，不能由推出,故 C 错误； D选项：等价于等价于，故 D正确； 故选：BD. 10．（2025·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解. 【解答过程】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【解题思路】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即可. 【解答过程】由题意得，解得，则BC符合题意. 故选：BC. 三、填空题 12．（2025·四川成都·模拟预测）已知命题，，则是 . 【解题思路】根据全称量词命题的否定要求即得. 【解答过程】由，可得：. 故答案为：. 13．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为 ． 【解题思路】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案. 【解答过程】命题p：，的否定为：， 故答案为：. 14．（2025·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【解题思路】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可. 【解答过程】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解题思路】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可. (2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知所代表的范围是所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得. 【解答过程】（1）时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； （2）， ， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 16.（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）由可得，分和两种情况讨论即可； （2）由p是q的充分不必要条件可得真包含于，根据包含关系列出不等式组即可. 【详解】（1）由可得， 当时，则，解得； 当时，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （2）若p是q的充分不必要条件，则真包含于，这等价于且， 由可得，解得， 又（即且）无解，故恒成立， 所以实数的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P50-P58） 1．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【常用结论】 1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 2．已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足； 3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 4．已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足． 【题型1 不含参一元二次不等式的求解】 【例1】（2025·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 练习： 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·江西上饶·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型2 含参一元二次不等式的求解】 【例2】（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 4.（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 【例3】一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选 ）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 3.（2025·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【题型4 分式、高次、绝对值不等式的求解】 【例4】（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2.（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 3.（2025·上海崇明·二模）不等式的解为 ． 4.（2026·吉林延边·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5.（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6.设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（2025·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·山西·阶段练习）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（24-25高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 2.（2025·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 【例7】（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 2.（24-25高一上·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 课后作业： 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5.（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象恒过点 B．的图象必与轴有两个不同的交点 C．的最小值可能为 D．的最小值可能为 8．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间的长度为，设，若对于任意，不等式的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为（）． A．1 B． C．2 D．3 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·西藏·二模）（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 三、填空题 12．（2025·上海·三模）不等式的解集为 13．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 14．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 四、解答题 15．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 16．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且的解集为． (1)求和的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 综合提升题 1.（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 2.（多选 2026·江西九江·模拟预测）（多选题）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 3.（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 等式性质与不等式性质 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P37-P43） 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质；②假分数的性质. 4．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【常用结论】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解. 【题型1 不等式性质的应用】 【例1】（2026·湖南株洲四中·学考模拟二）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 练习： 1.（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2025·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 用不等式表示不等关系】 【例2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2024·江西抚州·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（    ）个 A．20 B．22 C．24 D．26 2.（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 3.（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【题型3 比较数（式）的大小】 【例3】（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 练习： 1.（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 3.（2025·广西来宾·模拟预测）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【题型4 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 【例4】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1．（多选 2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 3.（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 糖水不等式】 【例5】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 课后作业 一、单选题 1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·重庆·模拟预测）设 为均不为零的实数，且 ，则（     ） A． B． C． D． 7．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 9．（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10.（2026·河南名校·模拟）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 11．（2025·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为 ． 13．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 ． 14．（2025·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围. 16．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 等式性质与不等式性质 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P37-P43） 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质； ②假分数的性质. 4．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【常用结论】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解. 【题型1 不等式性质的应用】 【例1】（2026·湖南株洲四中·学考模拟二）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知实数，满足，则，故A正确，B错误； ，，故，即，故C，D错误． 练习： 1.（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小. 【解答过程】当时，，且，故，C项错误； 因为，，所以，故B项错误； ，故D项正确. 故选：D. 2.（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】若，，则， 则，即，充分性成立； 若，，则， 所以，必要性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C. 3.（2025·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A, 由于，,故A错误， 对于B，由于关系不确定，故不一定成立，故B错误， 对于C，由于，所以，C错误， 对于D，由于，则，故，D正确， 故选；D. 【题型2 用不等式表示不等关系】 【例2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 练习： 1.（2024·江西抚州·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（    ）个 A．20 B．22 C．24 D．26 【解题思路】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，根据题意列出不等式可分别求出范围，即可求出. 【解答过程】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，且，，，为正整数， 则由题意得，，，，可得， 所以，，，即至少有个. 故选：B. 2.（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【解题思路】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不等式性质求解即可. 【解答过程】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 3.（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【解题思路】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【解答过程】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 【题型3 比较数（式）的大小】 【例3】（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果. 【解答过程】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A. 练习： 1.（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误. 【解答过程】 ，即，故选项A正确； 当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误； 当时，由可得，故选项D错误. 故选:A． 2.（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据作差法比较大小,首先将要比较的,用表示,后作差变形,运用这个条件,判断正负即可比较出大小. 【解答过程】根据题意得,,,, 对于A选项, 对于B选项, 对于C选项, 对于D选项, 故选：B. 3.（2025·广西来宾·模拟预测）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【解题思路】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断. 【解答过程】方案一：设每次购入的黄金数量为，则平均购买成本； 方案二：设每次购入的黄金金额为，则平均购买成本为 ， 所以， 且，则，即， 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低.故选：D. 【题型4 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 【例4】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用不等式的性质，线性运算即可求出的取值范围. 【解答过程】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 练习： 1．（多选 2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】举出反例即可判断A，由不等式的性质代入计算即可判断BD，由作差法即可判断C. 【解答过程】对于A，取，满足，但是，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又因为，所以，而，即，， 所以，故C正确； 对于D，设，即， 则，解得，所以， 又，则，且， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD. 2.（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【解题思路】根据不等式的基本性质计算即可求解. 【解答过程】由，得，又，所以， 所以，即，所以的最大值为27.故选：A. 3.（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【解答过程】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ，注意到， ，因为，所以 故选：B. 【题型5 糖水不等式】 【例5】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案. 【解答过程】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了， 即糖水的浓度增加了， 加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：； 所以. 故选：A. 练习： 1.（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得. 【解答过程】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C. 2.（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【解答过程】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 课后作业 一、单选题 1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【解题思路】利用特殊值法和不等式的性质即可求解. 【解答过程】对于A选项，令，则，所以不成立，故A错误； 对于B选项，令，则，所以不成立，故B错误； 对于C选项，令，则，所以不成立，故C错误； 对于D选项，由及不等式的可加性可得，故D正确. 故选：D. 2．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】依次分析充分性和必要性即可得解. 【解答过程】若，则，充分性成立； 设，则有满足， 此时有，不满足，故必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【解答过程】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 4．（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【解答过程】因为，为实数，当，时，满足，但是， 所以若则是假命题； 而由，当时，得； 当时，得，所以由得， 所以若则是真命题； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 5．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质即可求解. 【解答过程】由可得， 故， 故选：D. 6．（2025·重庆·模拟预测）设 为均不为零的实数，且 ，则（     ） A． B． C． D． 【解题思路】对A，B，根据题意可得，当时易判断；对C，根据条件结合绝对值三角不等式求解判断；对D，举反例说明. 【解答过程】因为为均不为零的实数，且， 所以， 对于A，由，当时，得，故A错误； 对于B，由，当时，得，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，举反例，如，满足条件，但，故D错误. 故选：C. 7．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】易得，再结合已知可得，由，得，即可比较，利用作差法即可比较，即可得解. 【解答过程】由，得， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为，所以， 当时，，此时，， 这与矛盾，所以， 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 由A选项知，当时，不符题意， 所以， 由，可得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 由，得， 则， 因为，， 所以， 又因为，所以，所以， 综上所述，. 故选：A. 8．（2025·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得. 【解答过程】当时，，所以A错. 当时， ，所以B错. 当时，，所以C错. 若，则，则成立，所以D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断. 【解答过程】对于A，，因为， 所以，即，所以，故A正确； 对于B，取，此时，故B错误； 对于C，取，则，故C错误， 对于D，若，则显然成立， 若，则成立， 若，则成立， 综上所述，只要，就一定有，故D正确. 故选：AD. 10.（多选题）（2026·河南名校·模拟）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系； 对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系； 对于选项C，可通过作差法比较与的大小； 对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 11．（2025·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误. 【解答过程】对于A，由和不等式性质可得，故A正确； 对于B，因，若取，，，， 则，，所以，故B错误； 对于C，因，若取，，，， 则，，所以，故C错误； 对于D，因为，则，又因则， 由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确． 故选：AD． 三、填空题 12．（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为 ． 【解题思路】当取最小的正整数时，所求最大. 【解答过程】，要使其最大，则都最小即可， 因为，且为正整数，故取， 此时， 故答案为：. 13．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 ． 【解题思路】先得到，并根据得到，从而求出. 【解答过程】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为：. 14．（2025·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【解题思路】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【解答过程】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围. 【解题思路】计算出，从而得到，得到答案. 【解答过程】设， ∴， ∴，解得， 故， ∵，， ∴，， ∴，即，故的取值范围为. 16．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【解题思路】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 等式性质与不等式性质 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P37-P43） 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质；②假分数的性质. 4．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【常用结论】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解. 【题型1 不等式性质的应用】 【例1】（2026·湖南株洲四中·学考模拟二）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 练习： 1.（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2025·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 用不等式表示不等关系】 【例2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2024·江西抚州·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（    ）个 A．20 B．22 C．24 D．26 2.（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 3.（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【题型3 比较数（式）的大小】 【例3】（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 练习： 1.（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 3.（2025·广西来宾·模拟预测）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【题型4 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 【例4】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1．（多选 2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 3.（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 糖水不等式】 【例5】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 课后作业 一、单选题 1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·重庆·模拟预测）设 为均不为零的实数，且 ，则（     ） A． B． C． D． 7．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 9．（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10.（2026·河南名校·模拟）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 11．（2025·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为 ． 13．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 ． 14．（2025·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围. 16．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 一元二次方程根的分布问题 复习目标： 1. 会根据一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题； 2. 会利用方程的根与函数的零点间的关系，借助函数图象，解决一元二次方程根的分布问题 知识清单 解决一元二次方程根的分布问题,主要根据以下几个方面建立系数变量的不等式(组)进行求解. （1）判别式Δ的符号; (2)根与系数的关系 (3)对应图象的对称轴方程x=-与所给区间的关系; (4)区间端点处函数值的符号. 题型一　已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根的正负情况 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 核心依托韦达定理+判别式，无需分析对称轴，分四类标准情形： 1.一正一负根：仅需，此时自动成立； 2.两个正根（含重根）： 3.两个负根（含重根）： 4.至少一个负根：分两类讨论——①一正一负；②两负根，取参数范围并集； 5.含零根：，再单独判断另一根正负。 【例1】（2026高三·广东广州·阶段检测）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据两根之积小于0列不等式，求解可得结果. 【详解】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是，此时，符合题意. 故答案为：. 练习： 1．（2026高三·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 2．（2026高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，即实数的取值范围是. 故答案为： 3．（2026高三·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2026高三·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求参数的取值范围. 【详解】由题意：设方程的两根为，，（）. 则. 故选：A 题型二　已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根与实数k的大小关系 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 1.一根小于、一根大于（跨点分布）：仅需，自动满足，计算最简； 2.两根均大于： 3.两根均小于： 原理：结合抛物线开口，对称轴控制根整体位置，保证两点在同侧。 【例2】（2026高三·全国·专题练习）若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意，利用三个二次的关系作出对应的一元二次函数的图象，列出不等式求解即得. 【详解】设，如图所示， 要使方程的一个根大于1，另一个根小于1，需使，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 练习 1．（2026高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程两根都小于1，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】应用一元二次方程的根都小于1，根据判别式，对称轴，与开口的关系列不等式计算求参. 【详解】设， 由已知方程的两根都小于1，应满足，化简得， 解得或． 故实数 m的取值范围为． 2．（2026高三·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，结合题意分析可得，运算求解即可. 【详解】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 题型三　根在区间上的分布 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根都在闭区间内，四个约束条件缺一不可： 拓展：恰有一根在内：①；②端点取等，一根等于区间端点、另一根在区间内部，需单独验证。 【例3】（2026高三·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】令，当不是方程的根时，得到，求解得到的范围；再验证当以及是方程的根时是否满足题意，即可得出结果. 【详解】在区间内、外各有一个实数根， 令， 当不是方程的根时， 所以， 解得：； 当是方程的根时， 得， 此时方程变为：， 解得：或， 在区间内，在区间外，符合题意； 当是方程的根时，得， 此时方程变为：， 解得：或， 此时方程的两根均在区间外，不符合题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，解题时要注意分析判别式、对称轴以及端点（与根比大小的数）的函数值符号. 练习 1.（2026高三·全国·课后作业）关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，从恰有一个零点属于，分为两种情况，一种是另一根刚好过端点，另一种是另一根不过端点求解； 【详解】解：方程对应的二次函数设为：， 因为方程恰有一根属于，则需要满足： ① 或者②函数有一个零点刚好经过点或者，另一个零点属于， 解①得：，解得： 解②得： 把点代入，解得：，此时方程为，两根为0，，而，不合题意，舍去， 把点代入，解得：，此时方程为，两根为1，，而，故符合题意， 综上：实数m的取值范围为 故选：B 2．（2026高三·全国·专题练习）关于x的方程的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据方程因式分解求出方程的根，由题意得到不等式组，求解即得. 【详解】由可得， 依题意，，解得. 故答案为：. 3．（2026高三·吉林长春·阶段检测）已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 【答案】10 【分析】根据一元二次方程根的分布的特征得出满足的条件，进而通过取值范围讨论求解即可. 【详解】由题意得，，即， 因为a，， 由，得， 若，则，即，无解； 若，则，即，无解； 若，则，即，则或， 显然时，取最小值10， 若，由，得， 所以的最小值为10. 4．（2026高三·全国·开学考试）若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为____________． 【答案】 【分析】结合二次函数根的区间分布，列出不等式组，解出即可. 【详解】设，由题可知，若都在区间内， 则需满足，所以解得． 故答案为：. 5．（2026高三·江苏南京·期中）方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】设，根据根的分布情况，得到不等式，求出答案. 【详解】设，开口向上， 由题意得，解不等式得 实数m的取值范围是. 故答案为： 题型4 根在区间外的分布 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根分居区间两侧，无需判别式、对称轴，仅需端点函数值异号： 1.一根，一根： 开口向上时；开口向下时； 2.简化记忆：抛物线两端点函数值同时与开口反向，图像穿过区间左右外侧。 【例4】（2026高三·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得，所以．故选：B． 练习： 1．（2026高三·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】设， 根据已知结合二次函数性质，作图    则有， 解得. 故选：C. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据已知条件及方程的根与函数零点的等价关系，再结合二次函数的性质即可求解. 【详解】显然，关于的方程对应的二次函数 当时，二次函数的图象开口向上， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； ②当时，二次函数的图象开口向下， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； 综上所述，实数的范围是． 故答案为：． 3．（浙江省G5联盟2025-2026学年高三学期期中联考数学试卷）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 题型5 整数根问题 规律与方法 1.基础思路： ①先讨论二次项系数为0（一次方程）； ②二次方程优先因式分解，直接解出根，利用整数条件限制参数； ③无法因式分解时用韦达定理：均为整数，构造参数表达式，利用整除求解。 2.拓展题型（不等式整数解限定）： 二次不等式解集内仅有个整数，结合二次函数零点区间，列不等式锁定零点左右边界，限制整数个数。 【例5】（2026高三·北京·开学考试）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根；(2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）先讨论m是否为0，再根据二次函数的判别式判断即可； （2）因式分解求解二次方程，再判断根为整数的情况即可. 【详解】（1）当时，方程为，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，， 此时方程有解. 综上，不论m取何值，方程都有实数根. （2）方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数，故或 练习： 1.（2026高三·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3. 2．【多选】（2026高三·福建泉州·期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】BC 【分析】原不等式可化为，根据一次函数和二次函数的图象可知和为原不等式的两个整数解，由此列不等式组求的范围即可. 【详解】可化为， 因为关于的不等式的解集中恰有两个整数， 由一次函数和二次函数的图象可知和为不等式的解集中的两个整数，    所以解得， 故选：BC 课后作业 基础题组 1．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知，即，解得. 故选：B 2．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 3.若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设，由题可知，若都在区间内，则需满足所以解得，故B，C符合. 4.一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次方程判别式以及两根的符号，结合韦达定理列不等式求出a的取值范围,再根据充分、必要条件的定义可得答案 【详解】设两个不等负实数根分别为， 则需满足， 解得，即， 所以是方程有两个不相等负根的充要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件， 故选：B. 5．关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 故，即， 而由韦达定理得，， 代入不等式中得到，解得， 故答案为： 6．已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，因式分解得， 故方程两根为和， 则由题意得， ∴． 7. 若关于x的一元二次方程两根都小于1，则实数m取值范围是 【答案】 【详解】设， 由已知方程的两根都小于1，应满足，化简得， 解得或． 故实数 m的取值范围为． 8．已知是方程的两根，若两根都大于1，则的取值范围是 ． 【答案】. 【详解】依题意，，解得或， ，由，得， 则，即，则，解得， 因此，，当且仅当，即时取等号，而，所以的最小值为10，即的取值范围是. 综合提升题组 9.已知关于x的方程2cos2x－asin x－2a＋1＝0在（－，0）内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为　 　. 解析：原方程可化为2sin2x＋asin x＋2a－3＝0.令t＝sin x，则方程可化为2t2＋at＋2a－3＝0.因为x∈（－，0），所以t∈（－1，0）.依题意，关于t的一元二次方程2t2＋at＋2a－3＝0在（－1，0）内有两个不相等的实数根， 则有解得＜a＜8－2，故实数a的取值范围是（，8－2）. 10.不等式对任意恒成立，求m的取值范围 ． 解析：当时，不等式为，显然成立； 当时，记，为二次函数，对称轴为， 当时，由，得， 由题意得，解得； 当时，由，得， 由题意得，解得， 综上，. 学科 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P50-P58） 1．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【常用结论】 1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 2．已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足； 3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 4．已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足． 【题型1 不含参一元二次不等式的求解】 【例1】（2025·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断. 【解答过程】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. 练习： 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解绝对值不等式及一元二次不等式可得集合，再由交集的定义可得. 【详解】由得，即， 又因为，所以，即. 由，解得，所以. 因此，，所以的元素个数为. 2.（2025·江西上饶·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解不等式求得集合，由，可得，求解即可. 【解答过程】由，得，解得，所以， ， 由，所以，解得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 3.（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求解不等式，得到集合，再由“”是“”成立的充分不必要条件， 分析得到，再列出不等式组，求解即可. 【解答过程】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以，所以有，解得， 故选：A. 【题型2 含参一元二次不等式的求解】 【例2】（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【解答过程】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 练习： 1.（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【解答过程】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 2.（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【解答过程】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A. 3.（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C. 4.（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】由，得到，解得，则, 又， 当时，，当时，，当时，， 又，当时，， 当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 【例3】一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 练习： 1.（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分类时，分别得出解析计算求参. 【解答过程】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 2．（多选 ）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 3.（2025·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】由已知可得是一元二次方程的根，进而可得，可得，可求的最小值. 【解答过程】因为关于的实系数二次不等式的解集为， 所以是一元二次方程的根， 所以，解得，所以，所以， 所以 当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故选：C. 【题型4 分式、高次、绝对值不等式的求解】 【例4】（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【解答过程】即为即，故， 故解集为， 故选：C. 练习： 1.（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先解分式不等式得集合B，再由交集的概念及运算可得结果. 【解答过程】. 由，可得，所以. 所以. 故选：C. 2.（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【解题思路】转化为一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 3.（2025·上海崇明·二模）不等式的解为 ． 【解题思路】结合绝对值不等式的解法，以及区间的定义，即可求解． 【解答过程】解：，即，解得， 故所求解集为． 故答案为：． 4.（2026·吉林延边·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因， 解得或，即或 又，则. 5.（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 6.设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求得集合，然后利用集合交集定义运算的结果. 【详解】由可得，则，即， 又由可得，则，即， ∴. 故选：A. 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（2025·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【解答过程】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. 练习： 1.（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【解答过程】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则， 解得，综上所述，，故选：D． 2.（24-25高三上·山西·阶段练习）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】问题转化为当时，恒成立，利用二次函数的性质，求出在上的最大值，解不等式求实数的取值范围即可. 【解答过程】因为为假命题，所以为真命题， 即当时，恒成立. 因为函数图象的对称轴为， 所以当时，， 所以，即， 解得或，即实数的取值范围为.故选：D. 3.（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【解题思路】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【解答过程】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为.故选：C. 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（24-25高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【解答过程】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 练习： 1.（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【解题思路】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【解答过程】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 2.（2025·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案. 【解答过程】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是 故选：C. 3.（2025·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果. 【解答过程】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 【例7】（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设这批削笔器的销售价格定为元/个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解. 【解答过程】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B. 练习： 1.（2025高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【解题思路】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间. 【解答过程】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 2.（24-25高一上·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，令，解一元二次不等式即可得结果. 【解答过程】由题意可得：， 令，即，解得， 所以排球能够在拋出点以上的位置最多停留秒. 故选：C. 3.（24-25高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【解题思路】根据题意列出不等式求解. 【解答过程】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 课后作业： 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】解不等式可得，结合充分条件及必要条件的定义判断结论. 【解答过程】解不等式，可得， 所以不等式成立的一个充分不必要条件必须为的非空真子集， 所以可以排除选项A，B，C， 因为由可推得，由不能推得， 所以使不等式成立的一个充分不必要条件为． 故选：D． 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【解答过程】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：C. 3．（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由不等式的解集为可得，即可求解. 【解答过程】因为不等式的解集为，所以，所以， 所以“的解集为”是“”的充分不必要条件. 故选：. 4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】按照正负分类讨论取绝对值，运算得解. 【解答过程】当，即或时， 不等式等价于，即， 解得，所以； 当，即时，不等式等价于不等式，即， 解得或，所以. 综上，不等式的解集是. 故选：C. 5．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论，进行求解即可. 【解答过程】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 6．（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【解答过程】由的解集为，可得，且方程的解为， 所以，则，所以，即，又， 所以，解得，即关于的不等式的解集为. 故选：C. 7．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象恒过点 B．的图象必与轴有两个不同的交点 C．的最小值可能为 D．的最小值可能为 【解题思路】举反例求与判别式可判断AB，求函数的最小值，再判断范围，即可判断CD. 【解答过程】A.当时，， 所以的图象不恒过点，故A错误； B.当时，， 此时的图象必与轴只有1个交点，故B错误； CD.， 则的最小值为， 所以函数的最小值不可能是，可能为，故C错误，D正确. 故选：D. 8．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间的长度为，设，若对于任意，不等式的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为（）． A．1 B． C．2 D．3 【解题思路】原不等式等价于，构造函数，结合“三个”二次的关系，得到原不等式的解集，由韦达定理及题意可列出方程求解. 【解答过程】不妨设， 原不等式等价于， 整理得:， 因为，可设方程的两根为, 令, 则的零点为，原不等式即. 因为, 0, 结合二次函数图像，可知：. 则不等式的解集为, 则此解集的区间长度之和为, 因为由韦达定理可得，， 所以此不等式的解集的区间长度之和为, 解得， 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内. 【解答过程】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.   综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 10．（2026·西藏林芝·二模）（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【解题思路】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【解答过程】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（2025·上海·三模）不等式的解集为 【解答过程】不等式等价于，且， 解得，所以不等式的解集为， 故答案为：. 13．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 【解题思路】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【解答过程】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 【解题思路】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【解答过程】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【解题思路】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【解答过程】（1）解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 16．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且的解集为． (1)求和的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解， （2）将问题转化为在上恒成立，即可利用二次函数零点分布求解. 【解答过程】（1）由得， 易知，则，解得， 由于的解集为，则，解得． （2）由（1）知，由得， 得在上恒成立， ，故． 令，若在上恒成立， 则，即，解得或， 故实数的取值范围为． 综合提升题 1.（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将看作整体，然后由二次不等式解法可得答案； （2）由题可得，然后由基本不等式求得最小值可得答案. 【详解】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 2.（多选 2026·江西九江·模拟预测）（多选题）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】BC 【分析】首先根据绝对值三角不等式求的最小值，再根据不等式恒成立，转化为，即可求解. 【详解】不等式， 由不等式恒成立，可知， 即，解得：， 选项中满足条件的只有BC. 3.（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小值，进而求解的范围. 【详解】由已知得，所以问题转化为恒成立， 设，则，代入上式，所以问题转化为时恒成立，则只需即可， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，所以，解得. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 基本不等式及其应用 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P44-P49） 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．基本不等式与最值 已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 3．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 4．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型1 直接法求最值】 【例1】（24-25高一上·重庆·期末）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【解题思路】利用基本不等式即可得解. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立.则的最小值是.故选：D. 练习： 1.（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【解题思路】由基本不等式即可求解. 【解答过程】，当且仅当，即，等号成立， 所以的最小值为6，故选：A. 2.（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】将式子利用多项式乘以多项式展开，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为2，故选：D. 3．（2023·上海·高考）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等，所以的最大值为.故答案为： 4．（2025·山东菏泽·一模）“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据基本不等式等号成立条件判断充分性，取特值验证判断必要性即可. 【详解】若，则，所以， 由得，因为，所以取不到等号，即， 所以“”是“”的充分条件； 又时，，所以“”不是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【题型2 配凑法求最值】 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【解题思路】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．故选：C． 练习： 1.（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】变形应用基本不等式求解即可. 【解答过程】由，得，又， 当且仅当，即时等号成立.故选：A. 2.（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式可得最值. 【解答过程】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立，综上所述的最大值为，故选：D. 3.（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式来求得正确答案. 【解答过程】， ， 当且仅当时等号成立故选：D. 【题型3 分式求最值】 【例3】（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 练习： 1.（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先变形已知，再利用基本不等式求最值. 【解答过程】，， ， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C. 2.（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得. 【解答过程】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立.故选：C. 3.（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【解题思路】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】由题意知， 当且仅当，且 ，即，时等号成立， 即的最小值为.故选:A. 4.（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 【题型4 常数代换法求最值】 【例4】（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围. 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 练习： 1.（2025·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【解题思路】代入，再由基本不等式即可求解； 【解答过程】由题意知， 当且仅当，即时，等号成立． 因此，的最小值为．故选:C. 2.（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 3.（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 【题型5 消元法求最值】 【例5】（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【解题思路】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值. 【解答过程】由可得，因，则， 于是， 因，当且仅当时等号成立， 即，时，的最小值为.故选：D. 练习： 1.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【解答过程】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A. 2.（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式可得最值. 【解答过程】根据题意，，可得，则， 设，则，原式为，当且仅当时等号成立，故选：C. 3.（2025·河南·模拟预测）设正实数a，b，c满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【解题思路】由题意得，从而利用基本不等式求得的最大值及成立的条件，从而化为，最后利用二次函数性质求解即可. 【解答过程】依题意，由，得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 则代入中，得 ，所以， 因此， 当且仅当时取等号，所以当，，，时，取得最大值. 故选：B. 【题型6 和积共存求最值】 【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 练习 1.（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 2.（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【难度】0.56 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】解析：因为正实数满足，即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立，联立可得， 所以当时，取最大值，， 故选：A 3．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值、条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 【题型7 多次使用基本不等式求最值】 【例7】（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【解题思路】利用基本不等式即得. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当，且，即时，取等号，所以的最小值为2.故选：D. 练习： 1.（2025·河南·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【解题思路】先根据基本不等式求出.然后即可根据不等式的性质得出，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，，，. 因为 ， 当且仅当，即时等号成立.所以，， 当且仅当，即时，两个等号同时成立.所以，.故选：D. 2.（2025·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【解答过程】因为为非零实数，，，均为正实数， 则， 当且仅当且，即时取等号，则的最大值为．故选：B． 3.（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合条件可得，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为，故选：A. 【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】 【例8】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【解答过程】因为正实数,满足，所以， 则：，当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以．故选：B． 练习： 1.（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】先由题意得到是的一个根，从而得到之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可. 【解答过程】由题意可得，需满足是的一个根， 即，且，所以，， 当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：A. 2.（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则，所以 ，当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A. 3.（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【解题思路】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可. 【解答过程】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号，所以不等式恒成立，只需，故选：B. 【题型9 利用基本不等式解决实际问题】 【例9】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【解题思路】求出，利用基本不等式可得答案. 【解答过程】由可知，且，故， 当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.故选：A. 练习： 1.（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【解题思路】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【解答过程】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得，，当且仅当时，取到等号，而，所以.故选：B. 2.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【解题思路】由题意求出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案. 【解答过程】由题意得，， 因为，故，，即，故选：B. 3.（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【解题思路】根据题意可得，结合基本不等式即可得的最小值. 【解答过程】由题可知， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：B. 课后作业 一、单选题 1．（2025·安徽·三模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据基本不等式和充分条件和必要条件证明过程,求结果. 【解答过程】时，结合基本不等式，，充分性成立； 当，时，满足，但此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】由，得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A. 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可. 【解答过程】因为 所以.其中均正数. 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 4．（2025·重庆·三模）已知，则的最大值为（   ） A．6 B．-6 C．8 D．-8 【解题思路】本题主要考查代数最值的求解方法，涉及代数式的变形、均值不等式应用. 【解答过程】由，两边除以，得：，目标为求的最大值， 的最大值，即求的最小值， 将结合变形为：展开计算：， 由均值不等式，令， 则：，因此：(当且仅当即时取等号). 目标式最大值：. 故选：B. 5．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【解题思路】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度. 【解答过程】由可知，故， 当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：B. 6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【解题思路】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值. 【解答过程】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为， 故选：D. 7．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C. 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则 的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【解题思路】本题分两种情况讨论，当和时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小值. 【解答过程】设， 当时，， 因为均为正数，所以 ， 当且仅当，，时，等式成立； 当时，， 当且仅当，，时，等式成立. 综上可知，t的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【解题思路】利用基本不等式进行求解. 【解答过程】因为正实数满足， 对A选项：，当且仅当时等号成立，故A正确；   对B选项：，，当时等号成立，故B错误； 对C选项：由，则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对D选项：，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误. 【解答过程】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确； 对于B，由，则，由，则， 所以，故B错误； 对于C，，当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，由B易知，当且仅当，等号成立，则，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 【解题思路】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【解答过程】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 . 【解题思路】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【解答过程】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4. 13．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 .. 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】由正数满足，得， 则， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值是16. 故答案为：16. 14．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 【解题思路】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【解答过程】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）若正数满足： ， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【解题思路】（1）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解； （2）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解. 【解答过程】（1）由条件等式与基本不等式，得，即， 即，解得 ，所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为． （2）由条件等式与基本不等式，得， 令，得， 解得或（舍去），即，所以的取值范围为. 16.（25-26高一下·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【难度】0.76 【知识点】分式型函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由“利润＝销售收入－固定成本－可变成本”列出关系式并化简即得的解析式； （2）利用基本不等式可求得年利润最大值. 【详解】（1）由题意知，年利润 （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 此时，取得最大值为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 综合提升题 1.（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】由题意可知，即，则， 由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号， 则，所以，当且仅当，即时取等号， 综上所述，当时，取得最小值. 2.（多选 2026·山东日照·模拟预测）已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.42 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式即可判断A；利用拼凑法和基本不等式即可判断B；利用和基本不等式即可判断C；将拆分成，再利用基本不等式即可判断D， 【详解】对于A，已知，，由基本不等式有， 两边平方得，当且仅当 ，即，时等号成立，故A正确； 对于B，因为，所以， 由基本不等式有， 当且仅当 ，即时等号成立， 因为，所以，故B错误； 对于C，已知，，由可得， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，已知，，，则，， ， 由基本不等式有， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P2-P16） 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 4．集合的运算性质 (1)，，． (2)，，． (3)，，． 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 【题型1 元素与集合的关系】 【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3.（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 集合中元素个数问题】 【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 练习： 1.（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2026·河北邯郸·三模）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型3 子集的个数问题】 【例3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 练习： 1.（2026·山东淄博·二模）已知，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 3.（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【题型4 判断集合间的关系】 【例4】（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 2.（2025·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 3.（2025·天津·一模）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 【例5】(江西宜春中学等校2026届高三5月试题)若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 练习： 1.（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 4.（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型6 集合的运算】 【例6】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2026·上海闵行·模拟预测）已知集合，，则__________ 2．（2026全国 1卷第3题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3.（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 【例7】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 练习： 1.（2025·贵州·二模）已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3.（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型8 集合中的新定义问题】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 练习： 1.（2025·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 2.（2025·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 3.（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 课后作业 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 4．（2025·山西·三模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 8.（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题 9．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 10．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ） A．. B．. C．若，则. D．若，则. 11．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 三、填空题 12．（2025·上海青浦·模拟预测）已知集合，则 . 13．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 14．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ． 四、解答题 15.（2025·上海闵行·一模）已知，集合. (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围. 16.（25-26高三上·江西·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 17．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 18.（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2常用逻辑用语 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P17-P35） 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ∀ ”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃ ”表示． 4．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x)” ∃x∈M，p(x)” 否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，p(x)” 5．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 【常用结论】 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反. 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 【例1】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 练习： 1.（2026·哈尔滨师大附中·模拟）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·天津河东·二模）已知，命题p：，命题q：，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】 【例2】（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·山东泰安·模拟预测）已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例3】（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 练习： 1.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3.（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 【例4】（2026·湖南邵阳·三模）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 练习： 1．（2026·湖南长沙·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知命题：“”，则为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西安康·模拟预测）已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（    ） A．真，：， B．假，：， C．真，：， D．假，：， 【题型5 根据命题的真假求参数】 【例5】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练习： 1.（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（多选 23-24高三上·惠州·阶段检测）已知命题“，”为假命题，则实数的可能取值是（    ） A．1 B．3 C． D．4 3.（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为______． 【题型6 常用逻辑用语与集合综合】 【例6】（2024·四川达州·二模）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是____________. 练习： 1.（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 2.（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）已知集合，集合，非空集合． (1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； (2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 3.（2024·山西·模拟预测）已知集合，. (1)若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若函数的定义域为，且，求的取值范围. 课后作业 一、单选题 1.（2026·重庆·模拟预测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津和平·三模）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 5．（2025·吉林·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 6．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 10．（2025·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 三、填空题 12．（2025·四川成都·模拟预测）已知命题，，则是 . 13．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为 14．（2025·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P50-P58） 1．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【常用结论】 1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 2．已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足； 3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 4．已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足． 【题型1 不含参一元二次不等式的求解】 【例1】（2025·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断. 【解答过程】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. 练习： 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解绝对值不等式及一元二次不等式可得集合，再由交集的定义可得. 【详解】由得，即， 又因为，所以，即. 由，解得，所以. 因此，，所以的元素个数为. 2.（2025·江西上饶·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解不等式求得集合，由，可得，求解即可. 【解答过程】由，得，解得，所以， ， 由，所以，解得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 3.（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求解不等式，得到集合，再由“”是“”成立的充分不必要条件， 分析得到，再列出不等式组，求解即可. 【解答过程】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以，所以有，解得， 故选：A. 【题型2 含参一元二次不等式的求解】 【例2】（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【解答过程】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 练习： 1.（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【解答过程】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 2.（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【解答过程】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A. 3.（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C. 4.（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】由，得到，解得，则, 又， 当时，，当时，，当时，， 又，当时，， 当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 【例3】一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 练习： 1.（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分类时，分别得出解析计算求参. 【解答过程】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 2．（多选 ）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 3.（2025·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】由已知可得是一元二次方程的根，进而可得，可得，可求的最小值. 【解答过程】因为关于的实系数二次不等式的解集为， 所以是一元二次方程的根， 所以，解得，所以，所以， 所以 当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故选：C. 【题型4 分式、高次、绝对值不等式的求解】 【例4】（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【解答过程】即为即，故， 故解集为， 故选：C. 练习： 1.（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先解分式不等式得集合B，再由交集的概念及运算可得结果. 【解答过程】. 由，可得，所以. 所以. 故选：C. 2.（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【解题思路】转化为一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 3.（2025·上海崇明·二模）不等式的解为 ． 【解题思路】结合绝对值不等式的解法，以及区间的定义，即可求解． 【解答过程】解：，即，解得， 故所求解集为． 故答案为：． 4.（2026·吉林延边·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因， 解得或，即或 又，则. 5.（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 6.设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求得集合，然后利用集合交集定义运算的结果. 【详解】由可得，则，即， 又由可得，则，即， ∴. 故选：A. 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（2025·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【解答过程】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. 练习： 1.（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【解答过程】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则， 解得，综上所述，，故选：D． 2.（24-25高三上·山西·阶段练习）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】问题转化为当时，恒成立，利用二次函数的性质，求出在上的最大值，解不等式求实数的取值范围即可. 【解答过程】因为为假命题，所以为真命题， 即当时，恒成立. 因为函数图象的对称轴为， 所以当时，， 所以，即， 解得或，即实数的取值范围为.故选：D. 3.（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【解题思路】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【解答过程】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为.故选：C. 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（24-25高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【解答过程】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 练习： 1.（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【解题思路】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【解答过程】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 2.（2025·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案. 【解答过程】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是 故选：C. 3.（2025·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果. 【解答过程】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 【例7】（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设这批削笔器的销售价格定为元/个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解. 【解答过程】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B. 练习： 1.（2025高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【解题思路】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间. 【解答过程】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 2.（24-25高一上·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，令，解一元二次不等式即可得结果. 【解答过程】由题意可得：， 令，即，解得， 所以排球能够在拋出点以上的位置最多停留秒. 故选：C. 3.（24-25高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【解题思路】根据题意列出不等式求解. 【解答过程】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 课后作业： 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】解不等式可得，结合充分条件及必要条件的定义判断结论. 【解答过程】解不等式，可得， 所以不等式成立的一个充分不必要条件必须为的非空真子集， 所以可以排除选项A，B，C， 因为由可推得，由不能推得， 所以使不等式成立的一个充分不必要条件为． 故选：D． 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【解答过程】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：C. 3．（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由不等式的解集为可得，即可求解. 【解答过程】因为不等式的解集为，所以，所以， 所以“的解集为”是“”的充分不必要条件. 故选：. 4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】按照正负分类讨论取绝对值，运算得解. 【解答过程】当，即或时， 不等式等价于，即， 解得，所以； 当，即时，不等式等价于不等式，即， 解得或，所以. 综上，不等式的解集是. 故选：C. 5．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论，进行求解即可. 【解答过程】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 6．（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【解答过程】由的解集为，可得，且方程的解为， 所以，则，所以，即，又， 所以，解得，即关于的不等式的解集为. 故选：C. 7．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象恒过点 B．的图象必与轴有两个不同的交点 C．的最小值可能为 D．的最小值可能为 【解题思路】举反例求与判别式可判断AB，求函数的最小值，再判断范围，即可判断CD. 【解答过程】A.当时，， 所以的图象不恒过点，故A错误； B.当时，， 此时的图象必与轴只有1个交点，故B错误； CD.， 则的最小值为， 所以函数的最小值不可能是，可能为，故C错误，D正确. 故选：D. 8．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间的长度为，设，若对于任意，不等式的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为（）． A．1 B． C．2 D．3 【解题思路】原不等式等价于，构造函数，结合“三个”二次的关系，得到原不等式的解集，由韦达定理及题意可列出方程求解. 【解答过程】不妨设， 原不等式等价于， 整理得:， 因为，可设方程的两根为, 令, 则的零点为，原不等式即. 因为, 0, 结合二次函数图像，可知：. 则不等式的解集为, 则此解集的区间长度之和为, 因为由韦达定理可得，， 所以此不等式的解集的区间长度之和为, 解得， 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内. 【解答过程】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.   综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 10．（2026·西藏林芝·二模）（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【解题思路】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【解答过程】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（2025·上海·三模）不等式的解集为 【解答过程】不等式等价于，且， 解得，所以不等式的解集为， 故答案为：. 13．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 【解题思路】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【解答过程】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 【解题思路】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【解答过程】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【解题思路】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【解答过程】（1）解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 16．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且的解集为． (1)求和的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解， （2）将问题转化为在上恒成立，即可利用二次函数零点分布求解. 【解答过程】（1）由得， 易知，则，解得， 由于的解集为，则，解得． （2）由（1）知，由得， 得在上恒成立， ，故． 令，若在上恒成立， 则，即，解得或， 故实数的取值范围为． 综合提升题 1.（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将看作整体，然后由二次不等式解法可得答案； （2）由题可得，然后由基本不等式求得最小值可得答案. 【详解】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 2.（多选 2026·江西九江·模拟预测）（多选题）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】BC 【分析】首先根据绝对值三角不等式求的最小值，再根据不等式恒成立，转化为，即可求解. 【详解】不等式， 由不等式恒成立，可知， 即，解得：， 选项中满足条件的只有BC. 3.（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小值，进而求解的范围. 【详解】由已知得，所以问题转化为恒成立， 设，则，代入上式，所以问题转化为时恒成立，则只需即可， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，所以，解得. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 一元二次方程根的分布问题 复习目标： 1. 会根据一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题； 2. 会利用方程的根与函数的零点间的关系，借助函数图象，解决一元二次方程根的分布问题 知识清单 解决一元二次方程根的分布问题,主要根据以下几个方面建立系数变量的不等式(组)进行求解. （1）判别式Δ的符号; (2)根与系数的关系 (3)对应图象的对称轴方程x=-与所给区间的关系; (4)区间端点处函数值的符号. 题型一　已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根的正负情况 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 核心依托韦达定理+判别式，无需分析对称轴，分四类标准情形： 1.一正一负根：仅需，此时自动成立； 2.两个正根（含重根）： 3.两个负根（含重根）： 4.至少一个负根：分两类讨论——①一正一负；②两负根，取参数范围并集； 5.含零根：，再单独判断另一根正负。 【例1】（2026高三·广东广州·阶段检测）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是__________． 练习： 1．（2026高三·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 2．（2026高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____. 3．（2026高三·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026高三·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 题型二　已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根与实数k的大小关系 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 1.一根小于、一根大于（跨点分布）：仅需，自动满足，计算最简； 2.两根均大于： 3.两根均小于： 原理：结合抛物线开口，对称轴控制根整体位置，保证两点在同侧。 【例2】（2026高三·全国·专题练习）若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为______． 练习 1．（2026高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程两根都小于1，求实数m的取值范围． 2．（2026高三·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是________． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 题型三　根在区间上的分布 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根都在闭区间内，四个约束条件缺一不可： 拓展：恰有一根在内：①；②端点取等，一根等于区间端点、另一根在区间内部，需单独验证。 【例3】（2026高三·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 练习 1.（2026高三·全国·课后作业）关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）关于x的方程的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为_______． 3．（2026高三·吉林长春·阶段检测）已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 4．（2026高三·全国·开学考试）若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为____________． 5．（2026高三·江苏南京·期中）方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是_____． 题型四 根在区间外的分布 规律与方法 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根分居区间两侧，无需判别式、对称轴，仅需端点函数值异号： 1.一根，一根： 开口向上时；开口向下时； 2.简化记忆：抛物线两端点函数值同时与开口反向，图像穿过区间左右外侧。 【例4】（2026高三·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习： 1．（2026高三·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是_____． 3．（浙江省G5联盟2025-2026学年高三学期期中联考数学试卷）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 题型五 整数根问题 规律与方法 1.基础思路： ①先讨论二次项系数为0（一次方程）； ②二次方程优先因式分解，直接解出根，利用整数条件限制参数； ③无法因式分解时用韦达定理：均为整数，构造参数表达式，利用整除求解。 2.拓展题型（不等式整数解限定）： 二次不等式解集内仅有个整数，结合二次函数零点区间，列不等式锁定零点左右边界，限制整数个数。 【例5】（2026高三·北京·开学考试）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根；(2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 练习： 1.（2026高三·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 2．【多选】（2026高三·福建泉州·期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A．0 B． C．1 D． 课后作业 基础题组 1．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 2．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 3.若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 4.一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 6．已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，则a的取值范围是 ． 7. 若关于x的一元二次方程两根都小于1，则实数m取值范围是 8．已知是方程的两根，若两根都大于1，则的取值范围是 ． 综合提升题组 9.已知关于x的方程2cos2x－asin x－2a＋1＝0在（－，0）内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为　 　. 10.不等式对任意恒成立，求m的取值范围。 ． 学科 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 基本不等式及其应用 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P44-P49） 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．基本不等式与最值 已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 3．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 4．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型1 直接法求最值】 【例1】（24-25高一上·重庆·期末）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【解题思路】利用基本不等式即可得解. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立.则的最小值是.故选：D. 练习： 1.（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【解题思路】由基本不等式即可求解. 【解答过程】，当且仅当，即，等号成立， 所以的最小值为6，故选：A. 2.（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】将式子利用多项式乘以多项式展开，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为2，故选：D. 3．（2023·上海·高考）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等，所以的最大值为.故答案为： 4．（2025·山东菏泽·一模）“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据基本不等式等号成立条件判断充分性，取特值验证判断必要性即可. 【详解】若，则，所以， 由得，因为，所以取不到等号，即， 所以“”是“”的充分条件； 又时，，所以“”不是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【题型2 配凑法求最值】 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【解题思路】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．故选：C． 练习： 1.（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】变形应用基本不等式求解即可. 【解答过程】由，得，又， 当且仅当，即时等号成立.故选：A. 2.（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式可得最值. 【解答过程】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立，综上所述的最大值为，故选：D. 3.（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式来求得正确答案. 【解答过程】， ， 当且仅当时等号成立故选：D. 【题型3 分式求最值】 【例3】（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 练习： 1.（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先变形已知，再利用基本不等式求最值. 【解答过程】，， ， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C. 2.（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得. 【解答过程】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立.故选：C. 3.（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【解题思路】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】由题意知， 当且仅当，且 ，即，时等号成立， 即的最小值为.故选:A. 4.（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 【题型4 常数代换法求最值】 【例4】（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围. 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 练习： 1.（2025·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【解题思路】代入，再由基本不等式即可求解； 【解答过程】由题意知， 当且仅当，即时，等号成立． 因此，的最小值为．故选:C. 2.（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 3.（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 【题型5 消元法求最值】 【例5】（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【解题思路】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值. 【解答过程】由可得，因，则， 于是， 因，当且仅当时等号成立， 即，时，的最小值为.故选：D. 练习： 1.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【解答过程】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A. 2.（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式可得最值. 【解答过程】根据题意，，可得，则， 设，则，原式为，当且仅当时等号成立，故选：C. 3.（2025·河南·模拟预测）设正实数a，b，c满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【解题思路】由题意得，从而利用基本不等式求得的最大值及成立的条件，从而化为，最后利用二次函数性质求解即可. 【解答过程】依题意，由，得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 则代入中，得 ，所以， 因此， 当且仅当时取等号，所以当，，，时，取得最大值. 故选：B. 【题型6 和积共存求最值】 【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 练习 1.（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 2.（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【难度】0.56 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】解析：因为正实数满足，即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立，联立可得， 所以当时，取最大值，， 故选：A 3．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值、条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 【题型7 多次使用基本不等式求最值】 【例7】（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【解题思路】利用基本不等式即得. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当，且，即时，取等号，所以的最小值为2.故选：D. 练习： 1.（2025·河南·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【解题思路】先根据基本不等式求出.然后即可根据不等式的性质得出，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，，，. 因为 ， 当且仅当，即时等号成立.所以，， 当且仅当，即时，两个等号同时成立.所以，.故选：D. 2.（2025·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【解答过程】因为为非零实数，，，均为正实数， 则， 当且仅当且，即时取等号，则的最大值为．故选：B． 3.（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合条件可得，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为，故选：A. 【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】 【例8】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【解答过程】因为正实数,满足，所以， 则：，当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以．故选：B． 练习： 1.（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】先由题意得到是的一个根，从而得到之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可. 【解答过程】由题意可得，需满足是的一个根， 即，且，所以，， 当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：A. 2.（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则，所以 ，当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A. 3.（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【解题思路】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可. 【解答过程】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号，所以不等式恒成立，只需，故选：B. 【题型9 利用基本不等式解决实际问题】 【例9】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【解题思路】求出，利用基本不等式可得答案. 【解答过程】由可知，且，故， 当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.故选：A. 练习： 1.（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【解题思路】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【解答过程】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得，，当且仅当时，取到等号，而，所以.故选：B. 2.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【解题思路】由题意求出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案. 【解答过程】由题意得，， 因为，故，，即，故选：B. 3.（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【解题思路】根据题意可得，结合基本不等式即可得的最小值. 【解答过程】由题可知， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：B. 课后作业 一、单选题 1．（2025·安徽·三模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据基本不等式和充分条件和必要条件证明过程,求结果. 【解答过程】时，结合基本不等式，，充分性成立； 当，时，满足，但此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】由，得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A. 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可. 【解答过程】因为 所以.其中均正数. 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 4．（2025·重庆·三模）已知，则的最大值为（   ） A．6 B．-6 C．8 D．-8 【解题思路】本题主要考查代数最值的求解方法，涉及代数式的变形、均值不等式应用. 【解答过程】由，两边除以，得：，目标为求的最大值， 的最大值，即求的最小值， 将结合变形为：展开计算：， 由均值不等式，令， 则：，因此：(当且仅当即时取等号). 目标式最大值：. 故选：B. 5．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【解题思路】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度. 【解答过程】由可知，故， 当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：B. 6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【解题思路】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值. 【解答过程】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为， 故选：D. 7．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C. 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则 的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【解题思路】本题分两种情况讨论，当和时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小值. 【解答过程】设， 当时，， 因为均为正数，所以 ， 当且仅当，，时，等式成立； 当时，， 当且仅当，，时，等式成立. 综上可知，t的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【解题思路】利用基本不等式进行求解. 【解答过程】因为正实数满足， 对A选项：，当且仅当时等号成立，故A正确；   对B选项：，，当时等号成立，故B错误； 对C选项：由，则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对D选项：，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误. 【解答过程】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确； 对于B，由，则，由，则， 所以，故B错误； 对于C，，当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，由B易知，当且仅当，等号成立，则，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 【解题思路】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【解答过程】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 . 【解题思路】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【解答过程】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4. 13．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 .. 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】由正数满足，得， 则， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值是16. 故答案为：16. 14．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 【解题思路】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【解答过程】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）若正数满足： ， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【解题思路】（1）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解； （2）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解. 【解答过程】（1）由条件等式与基本不等式，得，即， 即，解得 ，所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为． （2）由条件等式与基本不等式，得， 令，得， 解得或（舍去），即，所以的取值范围为. 16.（25-26高一下·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【难度】0.76 【知识点】分式型函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由“利润＝销售收入－固定成本－可变成本”列出关系式并化简即得的解析式； （2）利用基本不等式可求得年利润最大值. 【详解】（1）由题意知，年利润 （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 此时，取得最大值为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 综合提升题 1.（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】由题意可知，即，则， 由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号， 则，所以，当且仅当，即时取等号， 综上所述，当时，取得最小值. 2.（多选 2026·山东日照·模拟预测）已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.42 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式即可判断A；利用拼凑法和基本不等式即可判断B；利用和基本不等式即可判断C；将拆分成，再利用基本不等式即可判断D， 【详解】对于A，已知，，由基本不等式有， 两边平方得，当且仅当 ，即，时等号成立，故A正确； 对于B，因为，所以， 由基本不等式有， 当且仅当 ，即时等号成立， 因为，所以，故B错误； 对于C，已知，，由可得， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，已知，，，则，， ， 由基本不等式有， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $