第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（举一反三综合训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·江苏淮安·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】化简集合，根据交集的概念运算即可. 【解答过程】集合， 所以. 故选：B. 2．（5分）（2026·云南·模拟预测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】由命题的否定的概念选择即可. 【解答过程】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题的否定为“，”. 故选：A． 3．（5分）（2026·辽宁沈阳·一模）不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解. 【解答过程】由不等式，可得， 即，即，且，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 4．（5分）（2026·北京朝阳·一模）设，，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用充分条件和必要条件的定义即可得到答案． 【解答过程】若且，则，，所以，但不能保证， 例如当，时，满足且，但，即充分性不成立； 若，则，，所以，，即必要性成立， 所以“且”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 5．（5分）（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】举出反例可判断BCD，根据不等式的基本性质，可判断A，进而得到答案． 【解答过程】对于A，由，两式相加得，故A正确； 对于B，令，满足， 此时，，故B错误； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：A. 6．（5分）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【解答过程】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 故选：D. 7．（5分）（2026·湖北十堰·一模）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解题思路】整理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【解答过程】因为正数，满足，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：D. 8．（5分）（2026·广西柳州·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式，结合比较法逐一判断即可. 【解答过程】A：当时，，所以不正确； B：， 因为，，所以当时，， 当时，，当时，，因此不正确； C：因为，，所以有，正确； D：因为，，所以有， 即，所以不正确. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 【答案】AB 【解题思路】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项. 【解答过程】选项A：将不等式变形：，配方得：， 对所有实数恒成立，因此选项A正确； 选项B：由绝对值的非负性，， 因此，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误. 故选：AB. 10．（6分）（2026·河南·三模）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【解题思路】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系； 对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系； 对于选项C，可通过作差法比较与的大小； 对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围． 【解答过程】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 故选：BD. 11．（6分）（2026·河南·模拟预测）已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【解题思路】A直接利用基本不等式；B利用基本不等式求的最值；C对利用基本不等式；D利用消元法求解. 【解答过程】对于A，因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时是最小值不是最大值，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，所以， 令，所以，即，所以， 所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为，所以， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即，所以时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·新疆·三模）不等式的解集为__________. 【答案】或. 【解题思路】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【解答过程】由可得， 故或， 故不等式的解集为或. 故答案为：或. 13．（5分）（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 【答案】 【解题思路】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【解答过程】，， 且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 14．（5分）（2026·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是__________. 【答案】16 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】由正数满足，得， 则， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值是16. 故答案为：16. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·上海闵行·一模）已知，集合. (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【解题思路】（1）解分式不等式和一元二次不等式即可求解； （2）由集合运算转化为子集关系，再讨论空集和非空子集，来求解参数范围. 【解答过程】（1）由，得，解得或， 则或； 由； 当时，，解得. （2）由，得，由， ①当时，得，符合题意； ②当时，若，则， 由，或, 可得，此时； 若，则，此时恒成立，故符合题意； 综上所述，实数的取值范围为. 16．（15分）（2026·海南儋州·模拟预测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由可得，分和两种情况讨论即可； （2）由p是q的充分不必要条件可得真包含于，根据包含关系列出不等式组即可. 【解答过程】（1）由可得， 当时，则，解得； 当时，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （2）若p是q的充分不必要条件，则真包含于，这等价于且， 由可得，解得， 又（即且）无解，故恒成立， 所以实数的取值范围是. 17．（15分）（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【答案】(1)6； (2). 【解题思路】（1）将给定等式变形为，再利用基本不等式求出最小值. （2）将给定等式变形为，再利用基本不等式求最大值． 【解答过程】（1）由，，得， 即，整理得，解得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当时，取得最小值6. （2）由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，由，得时取等号， 所以当时，取得最大值. 18．（17分）（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值构成的集合； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【解题思路】（1）问题转化为恒成立，结合对应二次函数的性质列不等式求参数； （2）参变分离得到，由基本不等式求出的最小值，得到答案； （3）因式分解得到，分，，，，，求出不等式的解集. 【解答过程】（1）由题意，上恒成立， 显然时在上不恒成立， 所以，则， 综上，； （2）由，得，又，所以恒成立. 当时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为； （3）当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，. 若，此时，不等式解集为； 若，不等式可化为，此时不等式解集为； 若，此时，不等式解集为； 若，此时，不等式解集为或. 综上， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 19．（17分）（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【答案】(1)不是的完美子集，是的完美子集 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）验证两个条件即可； （2）用反证法证明； （3）根据集合的新定义结合反证法证明即可. 【解答过程】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为 ， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； （2）反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·江苏淮安·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（2026·云南·模拟预测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（5分）（2026·辽宁沈阳·一模）不等式的解集（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（2026·北京朝阳·一模）设，，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 7．（5分）（2026·湖北十堰·一模）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（5分）（2026·广西柳州·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 10．（6分）（2026·河南·三模）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 11．（6分）（2026·河南·模拟预测）已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·新疆·三模）不等式的解集为__________. 13．（5分）（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 14．（5分）（2026·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·上海闵行·一模）已知，集合. (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围. 16．（15分）（2026·海南儋州·模拟预测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 17．（15分）（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 18．（17分）（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值构成的集合； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 19．（17分）（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $