《2.2立方根》导学案 暑假预习手册17-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册17-《2.2立方根》 ( 一．预习 目标 1.   理解立方根的概念，知道立方根的符号表示，能准确区分立方根与平方根。 2.   明确开立方与立方是互逆运算，会运用立方运算求千以内完全立方数的立方根。 3.   掌握立方根的性质，能利用立方根的知识解决简单的实际问题。 ) ( 一、 预习内容 （一）立方根的概念 【 回顾 】 正方体的体积记作V，边长记作a： （ 1 ） .体积为1000的正方体，棱长是 ； 体积为64的正方体，棱长是 ； （ 2） .体积为 的正方体，棱长是 ； 体积为0.027的正方体，棱长是 ； （ 3） .体积为2的正方体，边长是多少？ 【 答案】 （ 4 ） .正方体体积V和边长a满足关系式： 【 思考 】 某种植物细胞的形状可以近似地看作棱长为 1 的正方体，当这样的一个细胞 体积增大 1 倍时，它的 “ 棱长 ” 是多少？ 【 探究 】 要解决上述问题，就要研究当 时， 是什么数？ 当 时， ∵ 10 3 =1000 ， ∴ x=10 ； 当 时， ∵ 4 3 =64 ， ∴ x=4 ； 当 时， ∵ （ ） 3 = ， ∴ x= . 1 、立方根的定义 ： 如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2. 立方根的 表示 ： 一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 【 特别警示 】 ： 中的根指数3 不能省略. 若省略了3， 表示非负数a 的算术平方根而非a 的立方根. 3. 开立方和立方互为逆运算. 【 特别解读 】 ① 任何一个数都有唯一的立方根. ② 立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算. ) ( （ 二） 立方根的 特征 【 探究 】 当 时， ∵ （ -10） 3 =-1000 ， ∴ x=-10 ； 当 时， ∵ （ -4） 3 =-64 ， ∴ x=-4 ；； 当 时， ∵∵ （ - ） 3 =- ， ∴ x=- . 可以看出，使 成立的数有 个. 使 成立的数有 个，它是 ； 使 成立的数有 个. 为什么？ 原因是任何实数都有且只有一个立方根 ； 立方根具有唯一性。 【 立方根的 特征 】 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 任何数 都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. （三） 立方根的性质 【 探究 】 ； ； ； ； ； ； 【 立方根的性质 】 ； ； （ 四） 平方根与立方根的联系 ) ( 三．经典例题 例1. 求下列各式的值： （1） ；（2） ；（3）- ． 例2. 求下列各式中的x： （1）8x 3 +125=0； （2）（x+3） 3 +27=0 ． 例 3 . 已知 是8的立方根，求 。 例 4 . （1）已知 ，则 __________； （2）已知 ，则 。 例5. 已知 是 的算术平方根， 是 的立方根，试求 的值。 例 6 比计较下列各数的大小 （1） 与 （ 2 ） 与-3.4 （3） 与 例7 ．观察下列计算过程，猜想立方根 . =1 =8 =27 =64 =125 =216 =343 =512 =729 （ 1 ）小明是这样试求出 19683 的立方根的，先估计 19683 的立方根的个位数 , 猜想它的个位数为 , 又由 <19000< ，猜想 19683 的立方根十位数为 ，验证得 19683 的立方根是 . （ 2 ）请你根据（ 1 ）中小明的方法，完成如下填空： ① = ； ② = ； ③ = . ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1 . 下列说法正确的是（ ） A．一个数的立方根有两个 B．一个非零数与它的立方根同号 C．若一个数有立方根，则它就有平方根 D．一个数的立方根是非负数 2. 下列运算中错误的有（ ） ① ＝ ；② ；③ ；④ ；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 的立方根是（ ） A． B． C． D． 4 ．已知（ ﹣ ） 2 的平方根是 a ， ﹣ 125 的立方根是 b ，则 a ﹣ b 的值是（　　） A ． 0 或 10 B ． 0 或 ﹣ 10 C ． ±10 D ． 0 5 ．下列说法：①负数和0没有平方根；②所有的实数都存在立方根；③正数的绝对值等于它本身；④相反数等于本身的数有无数个．正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6. 下列计算中，错误的是 （ ） A． =0.5 B． C． D． 7 ． 的算术平方根是 （ ） A．2 B．±2 C． D． 8 ．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为 （ ） A．±4 B．4 C．±2 D．2 （ 二）填空题 9 ． = __________ ． 10 ．如果一个数的平方根等于这个数的立方根，那么这个数是 __________ ． 11 ．若 =-7，则a= __________ ． 12 ．已知 ，则 __________ ． （ 三）解答题 1 3 ．求下列各式中的x ： （1）8x 3 +27=0； （2）64（x+1） 3 =27． 1 4 ．已知3a-2的平方根是±5，4a-2b-8的算术平方根是4，求a+3b的立方根． 15. 若 和 互为相反数，求 的值. 16. （1）已知，图1正方体的棱长为 ，体积是50，求正方体的棱长 ； （2）已知，图2是由16个边长为1的小正方形组成的大正方形，图中阴影部分也是一个正方形，求阴影部分正方形的边长 ． ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1． 27的立方根是（　　） A．±3 B．3 C．-3 D．9 2． 的立方根是 （　　） A．2 B．±2 C．8 D．-8 3． 下列各数中，立方根不等于它本身的是（　　） A．2 B．1 C．0 D．－1 4． 下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 5． 已知 ， 且 ， 则 的值等于 （　　） A．5 B．-1 C．±5 D．5 或 -5 6． 下列说法中不正确的是（　　） A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根 C．﹣27的立方根是﹣3 D． 的平方根是 7． 如果一个数的平方为64，则这个数的立方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．±2 8 ． 有下列说法：① 的立方根是 ；②0的算术平方根是0；③ 是25的一个平方根；④ 是8的立方根；⑤81的平方根是9．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9 ． 已知数a的平方根与其立方根相同，数b和其相反数相等，则a+b=（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 1 0 ． 实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果是（　　） A．2a B．2b C．2a＋2b D．0 二．填空题 1 1 ． 的立方根是 　 　 1 2 ． 琪琪计算7的平方根，嘉嘉计算7的立方根，请你 比较大小并 用“＜“把她俩的计算结果连接起来： 　 　 . 1 3 ． 已知：2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2， ＝ 　 　 . 14. 一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的 　 　 倍． 1 5 ． 已知x，y为实数，且 （y+2） 2 ＝0，则y x 的立方根是 ______ 16. 如图所示的是一个五阶魔方,可以把它看成是由五层共125个除颜色外完全相同的小立方体组成的正方体,体积为1 000立方厘米,则一个小立方体的棱长为 　　　 厘米.  ) ( 17. 若x的立方根是最大的负整数,y是125的立方根,则xy= 　　　　 .  1 8 、 若 ，则 ___________． 1 9 、 若 与 互为相反数，则a 3 +5a 2 ﹣4的值为 _____． 20 、 已知 是64的负的平方根， 是 的整数部分，则 的立方根为_________． 三．解答题（60分） 21 . 求下列各式中x的值： (1 ) x 3 －32＝0. (2)(x＋3) 3 ＋27＝0. 22 . 已知a－2的平方根是±2 ，2a ＋b＋7的立方根是3 ， 求a 2 ＋b 2 的立方根． 2 3 ．已知 是关于x、y的方程组 的解，求 的立方根． 2 4 ． 我们知道a+b＝0时，a 3 +b 3 ＝0也成立，若将a看成a 3 的立方根，b看成b 3 的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述结论是否成立； （2）若 与 互为相反数，求 ﹣6的值． 25 .已知2a-7和a+1是某个正数的两个不相等的平方根,b-7的立方根为-2.求: (1)a、b的值; (2)a-b的算术平方根. ) ( 2 6 .如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8cm 3 ． （1）求出这个魔方的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 27 . 阅读理解： 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中 ， 看到飞机上邻座 的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根 ， 华罗 庚脱口而出： 39.众人惊奇 ， 忙问计算奥妙． 你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请按照下面的分析试一试： ① 由10 3 ＝1000 ，100 3 ＝1000000 ， 可知 是两位数． ② 由59319的个 位数字是9 ， 可知 的个位数字是9. ③ 如果 划去59319后面的三位319得到 59 ， 而3 3 ＝27 ，4 3 ＝64 ， 由此确定 的十位数字是3. 请应用以上方法计 算： ＝____； ＝____； ＝__ __． 2 8 、 （ 1 ）填空： ， 　　 ， ， ， 　　 ， （ 2 ）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ① 已知 ，则 　　 ； ② 已知 ， ，则 　　 ． （ 3 ）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知 ， ，则 　　 ． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册17-《2.2立方根》 ( 一．预习 目标 1.   理解立方根的概念，知道立方根的符号表示，能准确区分立方根与平方根。 2.   明确开立方与立方是互逆运算，会运用立方运算求千以内完全立方数的立方根。 3.   掌握立方根的性质，能利用立方根的知识解决简单的实际问题。 ) ( 一、 预习内容 （一）立方根的概念 【 回顾 】 正方体的体积记作V，边长记作a： （ 1 ） .体积为1000的正方体，棱长是 10 ； 体积为64的正方体，棱长是 4 ； （ 2） .体积为 的正方体，棱长是 ； 体积为0.027的正方体，棱长是 0.3 ； （ 3） .体积为2的正方体，边长是多少？ 【 答案】 （ 4 ） .正方体体积V和边长a满足关系式： V =a 3 【 思考 】 某种植物细胞的形状可以近似地看作棱长为 1 的正方体，当这样的一个细胞 体积增大 1 倍时，它的 “ 棱长 ” 是多少？ 【 探究 】 要解决上述问题，就要研究当 时， 是什么数？ 当 时， ∵ 10 3 =1000 ， ∴ x=10 ； 当 时， ∵ 4 3 =64 ， ∴ x=4 ； 当 时， ∵ （ ） 3 = ， ∴ x= . 1 、立方根的定义 ： 如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2. 立方根的 表示 ： 一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 【 特别警示 】 ： 中的根指数3 不能省略. 若省略了3， 表示非负数a 的算术平方根而非a 的立方根. 3. 开立方和立方互为逆运算. 【 特别解读 】 ① 任何一个数都有唯一的立方根. ② 立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算. ) ( （ 二） 立方根的 特征 【 探究 】 当 时， ∵ （ -10） 3 =-1000 ， ∴ x=-10 ； 当 时， ∵ （ -4） 3 =-64 ， ∴ x=-4 ；； 当 时， ∵∵ （ - ） 3 =- ， ∴ x=- . 可以看出，使 成立的数有 1 个. 使 成立的数有 1 个，它是 0 ； 使 成立的数有 1 个. 为什么？ 原因是任何实数都有且只有一个立方根 ； 立方根具有唯一性。 【 立方根的 特征 】 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 任何数 都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. （三） 立方根的性质 【 探究 】 64 ； 0.125 ； -4 ； -0.5 ； ； - ； 【 立方根的性质 】 ； ； （ 四） 平方根与立方根的联系 ) ( 三．经典例题 例1. 求下列各式的值： （1） ；（2） ；（3）- ． 解 ： （1） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． 例2. 求下列各式中的x： （1）8x 3 +125=0； （2）（x+3） 3 +27=0 ． 解 ：（ 1） 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． （2）因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 例 3 . 已知 是8的立方根，求 。 解： 是8的立方根 ， 例 4 . （1）已知 ，则 __________； （2）已知 ，则 。 解：（1）因为 所以 （2）因为 所以 例 5 . 已知 是 的算术平方根， 是 的立方根，试求 的值。 解：由题意可知 解方程组得 所以， ， 所以， 。 例 6 比计较下列各数的大小 （1） 与 （ 2 ） 与-3.4 （3） 与 解 ： （1） （2） （3） 例7 ．观察下列计算过程，猜想立方根 . =1 =8 =27 =64 =125 =216 =343 =512 =729 （ 1 ）小明是这样试求出 19683 的立方根的，先估计 19683 的立方根的个位数 , 猜想它的个位数为 , 又由 <19000< ，猜想 19683 的立方根十位数为 ，验证得 19683 的立方根是 . （ 2 ）请你根据（ 1 ）中小明的方法，完成如下填空： ① = ； ② = ； ③ = . 【答案】（ 1 ） 7 ， 2 ， 27 ；（ 2 ） 49 ， -72 ， 0.81 【 解析 】（ 1 ）先估计 19683 的立方根的个位数，猜想它的个位数为 7 ，又由 20 3 ＜ 19000 ＜ 30 3 ，猜想 19683 的立方根十位数为 2 ，验证得 19683 的立方根是 27 （ 2 ） ① 估计 117649 的立方根的个位数为 9 ，又由 40 3 ＜ 117649 ＜ 50 3 ， ∴ =49 ； ② 估计 373248 的立方根的个位数为 2 ，又由 60 3 ＜ 373248 ＜ 70 3 ， ∴ =-72 ； ③ 估计 0.531441 的立方根的个位数为，又由 0.8 3 ＜ 0.531441 ＜ 0.9 3 ， ∴ =0.81 ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1 . 下列说法正确的是（ ） A．一个数的立方根有两个 B．一个非零数与它的立方根同号 C．若一个数有立方根，则它就有平方根 D．一个数的立方根是非负数 【答案】B； 【 解析】 任何数都有立方根，但是负数没有平方根. 2. 下列运算中错误的有（ ） ① ＝ ；② ；③ ；④ ；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【 解析 】① ＝4，①符合题意，② ，②不符合题意，③ 没有意义，③符合题意，④ ，④不符合题意，⑤ ，⑤符合题意， 3. 的立方根是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【 解析 】∵4的立方是64 ， ∴64的立方根是4 4 ．已知（ ﹣ ） 2 的平方根是 a ， ﹣ 125 的立方根是 b ，则 a ﹣ b 的值是（　　） A ． 0 或 10 B ． 0 或 ﹣ 10 C ． ±10 D ． 0 【答案】 A 【 解析 】（ ﹣ ） 2 ＝ 25 ， ∴ 25 的平方根是 ±5 ， ﹣ 125 的立方根是 ﹣ 5 ， ∴ a ＝ ±5 ， b ＝ ﹣ 5 ，当 a ＝ 5 时，原式＝ 5 ﹣ （ ﹣ 5 ）＝ 10 ，当 a ＝ ﹣ 5 时，原式＝ ﹣ 5 ﹣ （ ﹣ 5 ）＝ 0 ， 5 ．下列说法：①负数和0没有平方根；②所有的实数都存在立方根；③正数的绝对值等于它本身；④相反数等于本身的数有无数个．正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【 解析 】①0有平方根，故错误；②所有的实数都存在立方根，故正确； ③正数的绝对值等于它本身，故正确；④相反数等于本身的数有1个，故错误； 6. 下列计算中，错误的是 （ ） A． =0.5 B． C． D． 【答案】D 【解析】A．正确 ； B．正确 ； C．正确 ； D． ， 故错误 ， 故选D． 7 ． 的算术平方根是 （ ） A．2 B．±2 C． D． 【答案】C 【解析】 ∵ =2，2的算术平方根是 ， ∴ 的算术平方根是 ，故选C． 8 ．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为 （ ） A．±4 B．4 C．±2 D．2 【答案】D 【解析】 ∵ 立方体的体积为64， ∴ 它的棱长= ， ∴ 它的棱长的算术平方根为： 2， 故选D． ) ( （ 二）填空题 9 ． = __________ ． 【答案】 5 【解析】根据立方根的意义，由 5 3 = 125 ，可知 =3 ， 故答案为： 5． 10 ．如果一个数的平方根等于这个数的立方根，那么这个数是 __________ ． 【答案】0 【解析】根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根 ， 故答案为：0． 11 ．若 =-7，则a= __________ ． 【答案】-343 【解析】 ∵ ， ∴ a=-343 ， 故答案为：-343． 12 ．已知 ，则 __________ ． 【答案】-1 【解析】 ∵ ， ∴ a= ，b=-3，故 =-1 ， 故答案为：-1． （ 三）解答题 1 3 ．求下列各式中的x ： （1）8x 3 +27=0； （2）64（x+1） 3 =27． 解（1）因为8x 3 +27=0 ， 所以8x 3 =-27，所以 ，解得 ． （2）因为64（x+1） 3 =27，所以（x+1） 3 = ，所以 ，解得 ． 1 4 ．已知3a-2的平方根是±5，4a-2b-8的算术平方根是4，求a+3b的立方根． 解 ： ∵ 3a-2的平方根是±5， ∴ 3a-2=25，解得a=9． ∵ 4a-2b-8的算术平方根是4， ∴ 36-2b-8=16，解得b=6， ∴ a+3b=9+3×6=27． ∴ a+3b的立方根为3． 15. 若 和 互为相反数，求 的值. 解 ： ∵ 和 互为相反数，∴ + ＝0，∴ ＝－ ，∴ ＝ ，∴2a－1＝3b－1， 2a＝3b，∴ = . 16. （1）已知，图1正方体的棱长为 ，体积是50，求正方体的棱长 ； （2）已知，图2是由16个边长为1的小正方形组成的大正方形，图中阴影部分也是一个正方形，求阴影部分正方形的边长 ． 解：（1） ， ； （2）由題意可知，大正方形的面积是由阴影部分的面积和四个真角三角形的面积组成的， ， ， ∴ ， ； ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1． 27的立方根是（　　） A．±3 B．3 C．-3 D．9 【答案】 B 【解析】 ∵3的立方等于27，∴27的立方根等于3 故答案为：B． 2． 的立方根是 （　　） A．2 B．±2 C．8 D．-8 【答案】 A 【解析】 =8，其立方根为2.故答案为：A. 3． 下列各数中，立方根不等于它本身的是（　　） A．2 B．1 C．0 D．－1 【答案】 A 【解析】 立方根等于它本身的是1，0，-1，2的立方根是 ，故答案为：A. 4． 下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意；D. ，符合题意；故答案为：D 5． 已知 ， 且 ， 则 的值等于 （　　） A．5 B．-1 C．±5 D．5 或 -5 【答案】 A 【解析】 ∵|x|=2，∴x=±2，∵y 3 =27，∴y=3，∵xy>0，∴x=2，y=3，∴x+y=2+3=5.故答案为：A. 6． 下列说法中不正确的是（　　） A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根 C．﹣27的立方根是﹣3 D． 的平方根是 【答案】 D 【解析】 A、10的平方根是± ，故A正确；B、8是64的一个平方根，故B正确；C、-27的立方根是-3，故C正确；D、 的平方根是± ，故D错误.故答案为：D. 7． 如果一个数的平方为64，则这个数的立方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．±2 【答案】 D 【解析】 ∵一个数的平方为64，∴这个数是±8，∴这个数的立方根为±2.故为：D. 8 ． 有下列说法：① 的立方根是 ；②0的算术平方根是0；③ 是25的一个平方根；④ 是8的立方根；⑤81的平方根是9．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 C 【解析】 ① 的立方根是 ，正确；②0的算术平方根是0，正确；③ 是25的一 个平方根，正确；④ 是8的立方根，8的立方根是2，选项错误；⑤81的平方根是 ，选项错误．一共有3个正确的，故选：C. ) ( 9 ． 已知数a的平方根与其立方根相同，数b和其相反数相等，则a+b=（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】 B 【解析】 a的平方根与其立方根相同，∴a=0，∵数b和其相反数相等，∴b=0，∴a+b=0. 故答案为：B. 1 0 ． 实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果是（　　） A．2a B．2b C．2a＋2b D．0 【答案】 D 【解析】 由数轴知： 又∵|a||b|∴ =0故答案为：D. 二．填空题 1 1 ． 的立方根是 　 　 【答案】 【解析】 ，故 的立方根是 ，故答案为： . 1 2 ． 琪琪计算7的平方根，嘉嘉计算7的立方根，请你 比较大小并 用“＜“把她俩的计算结果连接起来： 　 　 . 【答案】 【解析】 由题意得， 7的平方根： ， ，7的立方根： ， 根据根数比较可得： ，故答案为： . 1 3 ． 已知：2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2， ＝ 　 　 . 【答案】 4 【解析】 由题意，有 ， 解得 ，则 .故答案为：4. 14. 一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的 　 　 倍． 【答案】 3 【解析】 ∵正方体的体积=棱长 3 ， ∴一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的 =3倍. 故答案为：3. 1 5 ． 已知x，y为实数，且 （y+2） 2 ＝0，则y x 的立方根是 ______. 【答案】 ﹣2 【解析】 ∵ ，∴x-3=0，y+2=0，∴x=3，y=-2，∴y x =（-2） 3 =-8， ∴y x 的立方根是-2. ) ( 16. 如图所示的是一个五阶魔方,可以把它看成是由五层共125个除颜色外完全相同的小立方体组成的正方体,体积为1 000立方厘米,则一个小立方体的棱长为 　　　 厘米.  【 答案】 2 【 解析 】 　 ∵ 10 3 =1 000, ∴ =10,即正方体的棱长为10厘米, ∵ 10÷5=2(厘米), ∴ 一个小立方体的棱长为2厘米. 17. 若x的立方根是最大的负整数,y是125的立方根,则xy= 　　　　 .  【 答案】 -5 【 解析 】 　 ∵ 最大的负整数是-1,x的立方根是最大的负整数, ∴ =-1, ∴ x=-1.由题意得y= =5, ∴ xy=-5. 1 8 、 若 ，则 ___________． 【答案】 或 或 【 解析 】 由 ，得 ， 或 或 ， 或 或 ，经检验： 或 或 符合题意．故答案为： 或 或 ． 1 9 、 若 与 互为相反数，则a 3 +5a 2 ﹣4的值为 _____． 【答案】 12 【 解析 】 由题意得： ∴ ∴a+1＝﹣（a 2 ﹣5）．∴a 2 +a＝4．∴a 3 +a 2 ＝4a．∴a 3 ＝﹣a 2 +4a．∴a 3 +5a 2 ﹣4＝﹣a 2 +4a+5a 2 ﹣4＝4a 2 +4a﹣4＝4（a 2 +a）﹣4＝4×4﹣4＝12．故答案为：12. 20 、 已知 是64的负的平方根， 是 的整数部分，则 的立方根为_________． 【答案】 2 【 解析 】 ∵ 是64的负的平方根，∴-2m=-8，解得m=4；∵6< <7， 是 的整数部分，∴3n=6，解得n=2，∴mn= ，∴ 的立方根为2，故答案为：2． 三．解答题（60分） 21 . 求下列各式中x的值： (1 ) x 3 －32＝0. (2)(x＋3) 3 ＋27＝0. 解 ：（ 1 ） ∵ x 3 －32＝0 ， ∴ x 3 ＝32 ， ∴ x 3 ＝64 ， ∴ x ＝ ＝4. (2)∵(x＋3) 3 ＋27＝0 ， ∴ (x＋3) 3 ＝－27 ， ∴ x ＋3＝ ＝－3 ， ∴ x ＝－6. 22 . 已知a－2的平方根是±2 ，2a ＋b＋7的立方根是3 ， 求a 2 ＋b 2 的立方根． 解 ： ∵a－2的平方根是±2 ， ∴ a －2＝(±2) 2 ＝4 ， ∴ a ＝6. ∵ 2a ＋b＋7的立方根是3 ， ∴ 2a ＋b＋7＝3 3 ＝27 ， 且a＝6 ， ∴ b ＝8. ∴ a 2 ＋b 2 ＝6 2 ＋8 2 ＝100. ∴ a 2 ＋b 2 的立方根为 . 2 3 ．已知 是关于x、y的方程组 的解，求 的立方根． 解：将 代入方程组，得 ， 由①×2+②×3，得5b=-15，解得b＝-3．将b＝-3代入①，得3a+6=3，解得a＝-1，∴a 2 -b 2 =（-1） 2 -（-3） 2 =-8，∵-8的立方根是-2，∴a 2 -b 2 的立方根是-2． ) ( 2 4 ． 我们知道a+b＝0时，a 3 +b 3 ＝0也成立，若将a看成a 3 的立方根，b看成b 3 的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述结论是否成立； （2）若 与 互为相反数，求 ﹣6的值． 解：（1） ，而且 ， ，有 ， 结论成立； 即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的． （2）由（1）验证的结果知，若 与 互为相反数，则 和 也互为相反数，即： ， ， ． 25 .已知2a-7和a+1是某个正数的两个不相等的平方根,b-7的立方根为-2.求: (1)a、b的值; (2)a-b的算术平方根. 解　(1)由题意可得(2a-7)+(a+1)=0, ∴ 3a-6=0, ∴ a=2, ∵ b-7的立方根为-2, ∴ b-7=(-2) 3 , ∴ b=-1. (2)由(1)可知a=2,b=-1, ∴ a-b=2-(-1)=3, ∵ 3的算术平方根是 , ∴ a-b的算术平方根是. 2 6 .如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8cm 3 ． （1）求出这个魔方的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 解：（1） =2（cm）． 故这个魔方的棱长是2cm （2）∵魔方的棱长为2cm， ∴小立方体的棱长为1cm， ∴阴影部分面积为： ×1×1×4=2（cm 2 ），边长为： （cm） 27 . 阅读理解： 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中 ， 看到飞机上邻座 的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根 ， 华罗 庚脱口而出： 39.众人惊奇 ， 忙问计算奥妙． 你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请按照下面的分析试一试： ① 由10 3 ＝1000 ，100 3 ＝1000000 ， 可知 是两位数． ② 由59319的个 位数字是9 ， 可知 的个位数字是9. ③ 如果 划去59319后面的三位319得到 59 ， 而3 3 ＝27 ，4 3 ＝64 ， 由此确定 的十位数字是3. 请应用以上方法计 算： ＝____； ＝____； ＝__ __． 解 ： 由 题意得：题中所给出几个数的立方根都是两位数 ， 根据题中所给的②可知： ， 和 的个 位数字分别为7 ，6 和1.∵19683去掉后3位得到19 ，175616 去掉后3位得到175 ，753571 去掉后3位得到753 ，2 3 <19<3 3 ，5 3 <175<6 3 ， 9 3 <753<10 3 ， ∴ ， 和 的十位数字分别为2 ，5 和9. ∴ ＝27 ， ＝56 ， ＝91. ) ( 2 8 、 （ 1 ）填空： ， 　　 ， ， ， 　　 ， （ 2 ）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ① 已知 ，则 　　 ； ② 已知 ， ，则 　　 ． （ 3 ）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知 ， ，则 　　 ． 解：（ 1 ） ， ． 故答案为： 0.1 ， 100 ． （ 2 ） ① ， ． 故答案为： 31.6 ． ② ， ， ， ． ． ．故答案为： 36800 ． （ 3 ） ， ， ， ． ． ．故答案为： 2000 ． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$