精品解析： 江苏省苏州市高新实验中学2023-2024学年八年级下 学期期末数学模拟试卷（一）

2023-2024学年江苏省苏州市高新实验中学 八年级（下）期末数学模拟试卷（一） 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 查找某书本中的印刷错误 B. 检测一批灯泡的使用寿命 C. 了解公民保护环境的意识 D. 了解长江中现有鱼的种类 4. 若是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 要使分式的值扩大4倍，的取值可以如何变化（ ） A. 的值不变，的值扩大4倍 B. 的值不变，的值扩大4倍 C. 的值都扩大2倍 D. 的值都扩大4倍 6. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 内角和为360° B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 7. 如图，菱形的边长为，点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过点和线段的中点，且点的横坐标为，则与满足的关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，的顶点E在边上，且，，，则的值为（　 　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共16分．） 9. 分式和的最简公分母为________________． 10. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，则________________． 11. 若，则________________． 12. 若是方程的一个实数根，则代数式的值为______． 13. 如图，反比例函数图象经过点．当时，的取值范围是___________． 14. 今年植树节前一天，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，则桂花树的单价为___元． 15. 在四边形中，点分别为的中点，则________________．（选填“>”、“<”、“=”、“≥”或“≤”） 16. 如图，在中, ,将直角三角板的直角顶点与边的中点重合，直角三角板绕着点旋转，两条直角边分别交边于,则的最小值是____. 三、解答题（本大题共10小题，共68分．） 17. （1）计算： （2）化简： 18. 解方程： （1） （2） 19. 某校为了解本校学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，随机抽取一部分学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如图两幅不完整的统计图： 请根据以上统计图的信息，完成下列问题： （1）抽取的样本容量为________________； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“羽毛球”运动所对应的圆心角的度数； （3）该校共有2000名学生，请估计该校喜欢足球运动的人数． 20. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； （2）作出与与关于原点成中心对称； （3）通过旋转可以得到，则旋转中心P的坐标为___________． 21. 如图，菱形，，E菱形内一点，连接，再将绕着点B逆时针旋转到，连接，且交于点G．求证：． 22. 已知关于x的方程x2+（k+3）x+=0有两个不相等的实数根． （1）求k取值范围； （2）若方程两根为x1，x2，那么是否存在实数k，使得等式=﹣1成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E． （1）为何值时，点E与点A重合； （2）当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 24. 如图1，一次函数y＝kx﹣6(k≠0)的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B(4，b)． (1)b＝　 　；k＝　 　； (2)点C是线段AB上一点，过点C且平行于y轴直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD，若四边形OCBD的面积S四边形OCBD＝，求点C的坐标； (3)将第(2)小题中的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O'C'D'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上(如图2)，求此时点D的对应点D'的坐标． 25. 定义：如图①，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P这个三角形的“理想点”． （1）如图②，若点D是的边的中点，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； （2）在中，，若点D是的“理想点”，求的长． 26. 如图①，四边形是知形，，点是线段上一动点(不与重合)，点是线段延长线上一动点，连接交于点.设，已知与之间的函数关系如图②所示. （1）求图②中与的函数表达式; （2）求证:; （3）是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值;如果不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年江苏省苏州市高新实验中学 八年级（下）期末数学模拟试卷（一） 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．是最简二次根式，故本选项符合题意； D．不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 3. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 查找某书本中的印刷错误 B. 检测一批灯泡的使用寿命 C. 了解公民保护环境的意识 D. 了解长江中现有鱼的种类 【答案】A 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A、查找某书本中的印刷错误，适宜用普查方式，本选项符合题意； B、检测一批灯泡的使用寿命，适宜用抽样调查方式，本选项不符合题意； C、了解公民保护环境的意识，适宜用抽样调查方式，本选项不符合题意； D、了解长江中现有鱼的种类，适宜用抽样调查方式，本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4. 若是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 故选A 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解方程的解使方程的左右两边相等是解本题的关键． 5. 要使分式的值扩大4倍，的取值可以如何变化（ ） A. 的值不变，的值扩大4倍 B. 的值不变，的值扩大4倍 C. 的值都扩大2倍 D. 的值都扩大4倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】A．的值不变，的值扩大4倍， ∴原式， ∴分式的值扩大了16倍，不符合题意； B． 的值不变，的值扩大4倍 ∴原式， ∴分式的值缩小为原来的，不符合题意； C． 的值都扩大2倍 ∴原式， ∴分式的值扩大了2倍，不符合题意； D．的值都扩大4倍 ∴原式， ∴分式的值扩大了4倍，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质． 6. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 内角和为360° B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案． 【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误； B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误； C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确； D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键． 7. 如图，菱形的边长为，点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过点和线段的中点，且点的横坐标为，则与满足的关系为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交y轴于点N，设，根据菱形的性质分别表示出，，再将这两点坐标代入反比例函数解析式即可． 【详解】延长，交y轴于点N，设， ∵菱形的边长为，点在轴正半轴上， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴， ∵反比例函数的图像经过点和线段的中点， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像上点的特征，熟练掌握知识点，运用数形结合的思想是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，的顶点E在边上，且，，，则的值为（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过F作，交的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到，；设，则，，再根据勾股定理，即可得到，可得，再利用锐角的正切的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，过F作，交的延长线于G，则， ∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 设，则，， ∵中，，， ∴， 解得， 即， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形和勾股定理的结合，锐角三角函数的应用，准确分析计算是解题的关键． 二、填空题（每小题2分，共16分．） 9. 分式和的最简公分母为________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．即可求解． 【详解】解：分式，的最简公分母为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键． 10. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和勾股定理易求，再求解，再利用勾股定理求解的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵的对角线与相交于点O， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，关键是利用平行四边形的性质和勾股定理求出的长． 11. 若，则________________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意可得，或，，再根据二次根式的性质即可化简． 【详解】解：∵， ∴，或，， 当，时， ∴； 当，时， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，． 12. 若是方程的一个实数根，则代数式的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的意义将m代入求出，进而将方程两边同时除以m进而得出答案． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， ∵ ； 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键． 13. 如图，反比例函数的图象经过点．当时，的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，再根据的取值判断即可； 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 当时，， 当时，，， ∴时，的范围为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，数形结合是解题的关键． 14. 今年植树节前一天，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，则桂花树的单价为___元． 【答案】桂花树的单价为300元． 【解析】 【分析】设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，根据购买了桂花树和樱花树共30棵列方程解答即可． 【详解】设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，由题意得＝30 解得：x＝200 经检验x＝200是原方程的解． 则（1+50%）x＝300 答：桂花树的单价为300元． 【点睛】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 15. 在四边形中，点分别为的中点，则________________．（选填“>”、“<”、“=”、“≥”或“≤”） 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，取的中点，连接，证明，，可得，（当在上取等号），从而可得结论． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ∵分别为，的中点， ∴， 同理：， ∵，（当在上取等号） ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16. 如图，在中, ,将直角三角板的直角顶点与边的中点重合，直角三角板绕着点旋转，两条直角边分别交边于,则的最小值是____. 【答案】2 【解析】 【分析】当PM=PN时，MN的值最小，过P点作PD⊥AB于点D，先证明△APD∽△ABC，再得到，再代入值，求得PD＝，从而得到MN的值． 【详解】∵∠C=90°，AC=10，BC=5， ∴AB=， ∵（PM-PN）2≥0，当PM=PN时，（PM-PN）2值最小为0， ∴MN2=PM2+PN2≥2PM•PN， 当PM=PN时，PM2+PN2有最小值为2PM•PN， ∴MN为最小值时，PM=PN， 过P点作PD⊥AB于点D，如图所示， 则MN=2PD， ∵∠A=∠A，∠ADP=∠ACB=90°， ∴△APD∽△ABC， ∴，即， ∴PD=， ∴MN=2PD=2． 故答案是：2. 【点睛】考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，本题的突破口是确定MN的最小值时，PM=PN，再构造相似三角形解决问题. 三、解答题（本大题共10小题，共68分．） 17. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的加减乘除运算法则进行计算即可； （2）根据分式的加减乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式的加减乘除混合运算是解题的关键． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）原方程无解 （2） 【解析】 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）利用公式法解方程，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 去分母得， ， 经检验：是增根， 所以原方程无解； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和公式法解一元二次方程的步骤． 19. 某校为了解本校学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，随机抽取一部分学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如图两幅不完整的统计图： 请根据以上统计图的信息，完成下列问题： （1）抽取的样本容量为________________； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“羽毛球”运动所对应的圆心角的度数； （3）该校共有2000名学生，请估计该校喜欢足球运动的人数． 【答案】（1）100 （2）图见解析， （3）360 【解析】 【分析】（1）用乒乓球人数÷乒乓球所占的百分比，即可求出抽取学生的人数，即为样本容量； （2）用总人数减去其它人数，求出喜欢篮球的人数，再补全统计图，用乘以羽毛球所占的百分比，即可求出扇形统计图中“羽毛球”所对应的圆心角的度数； （3）计算足球的百分比，根据样本估计总体，即可解答． 小问1详解】 解：抽取学生的人数为（人），即样本容量为100； 故答案为：100． 【小问2详解】 喜欢篮球运动人数为（人）， 如图： “羽毛球”所对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：根据题意得：（人） 即该校喜欢足球运动的人数为360人． 【点睛】本题考查用样本估计总体，条形统计图，扇形统计图，解题时注意：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 20. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； （2）作出与与关于原点成中心对称的； （3）通过旋转可以得到，则旋转中心P的坐标为___________． 【答案】（1）图见详解； （2）图见详解； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质直接作图即可得到答案； （2）根据中心对称的性质直接找到对应点即可得到答案； （3）连接，交于一点即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得，平移后的图像如图所示， ； 【小问2详解】 解：由题意可得，图像如图所示， ； 【小问3详解】 解：如图连接，交于一点即为点P， 即可得到点P的坐标为：； 【点睛】本题考查作平移图像，作中心对称图像及找旋转中心，解题的关键是熟练掌握平移的性质，中心对称的性质． 21. 如图，菱形，，E为菱形内一点，连接，再将绕着点B逆时针旋转到，连接，且交于点G．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据菱形的性质得出，，再由图形旋转的性质得出，根据定理得出，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形，， ∴，． 又∵绕着点B逆时针旋转到， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 22. 已知关于x的方程x2+（k+3）x+=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程两根为x1，x2，那么是否存在实数k，使得等式=﹣1成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k＞﹣；（2）6. 【解析】 【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论； (2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣k﹣3、x1x2=，将其代入中求出k值，再由(1)的结论即可确定k值，进而求解． 【详解】（1）∵关于x的方程x2+（k+3）x+=0有两个不相等的实数根， ∴△=（k+3）2﹣4×1×=6k+9＞0， 解得：k＞﹣． （2）∵方程x2+（k+3）x+=0的两根为x1、x2， ∴x1+x2=﹣k﹣3，x1x2=． ∵=﹣1，即=﹣1， ∴k2﹣4k﹣12=0， 解得：k1=﹣2，k2=6． ∵k＞﹣， ∴k=6． 【点睛】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是：知道当△>0时，方程有两个不相等的实数根；关键根与系数的关系结合，找出关于k的方程． 23. 如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E． （1）为何值时，点E与点A重合； （2）当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 【答案】（1）为时，点E与点A重合 （2）当时，的面积最大值为10 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，当点E与点A重合时，即可求解； （2）由折叠可知，由平行线的性质可得，于是可得，，由，可知当最大时，的面积最大，而在中，只要当最大时，就最大，于是可得当最大时，最大，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，再求出此时，的面积即可． 【小问1详解】 解：当点E与点A重合时，如图， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴为时，点E与点A重合； 【小问2详解】 解：如图， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，而的长度不变， ∴当最大时，的面积最大， 又∵， ∴最大时，的面积最大， 而在中，只要当最大时，就最大， ∴当最大时，最大， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大值为10． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 24. 如图1，一次函数y＝kx﹣6(k≠0)的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B(4，b)． (1)b＝　 　；k＝　 　； (2)点C是线段AB上一点，过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD，若四边形OCBD的面积S四边形OCBD＝，求点C的坐标； (3)将第(2)小题中的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O'C'D'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上(如图2)，求此时点D的对应点D'的坐标． 【答案】（1）2；2；（2）C（，﹣1）；（3）D′（，）． 【解析】 【详解】分析：(1)利用待定系数法把点B（4，b）代入y=即可求解;(2)设C(m,2m-6)(0<m<4),则D(m,),根据四边形的面积构建方程即可解决问题;(3)根据一次函数，利用方程组求出点O的坐标，即可解决问题. 详解：（1）把点B（4，b）代入y=中，得到b=2， ∴B（4，2）代入y=kx﹣6中，得到k=2， 故答案为2，2； （2）设C（m，2m﹣6）（0＜m＜4），则D（m，）， ∴CD=﹣2m+6， ∵S四边形OCBD=， ∴•CD•xB=， 即（﹣2m+6）×4=， ∴10m2﹣9m﹣40=0， ∴m1=，m2=﹣， 经检验：m1=，m2=﹣是原方程的解， ∵0＜m＜4， ∴m=， ∴C（，﹣1）． （3）由平移可知：OO′∥AB， ∴直线OO′的解析式为y=2x， 由，解得或（舍弃）， ∴O′（2，4）， ∴D′（，）． 点睛：本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点问题坐标，属于中考常考题型. 25. 定义：如图①，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P这个三角形的“理想点”． （1）如图②，若点D是的边的中点，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； （2）在中，，若点D是的“理想点”，求的长． 【答案】（1）结论：点D是的“理想点”．理由见解析； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质． （1）结论：点是△的“理想点”．只要证明△△即可解决问题； （2）分点在上或上两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：结论：点是△的“理想点”． 理由：如图①中， 是中点，， ， ，， ， ， ， △△， ， 点是△的“理想点”， 【小问2详解】 如图②中， 点是△的“理想点”， 或， 当时， ， ， ， 当时，同法证明：， 在△中， ，，， ， ， ； 图③中， ，，， ， 点是△的“理想点”， ， △△， ，即， 解得， 综上所述，或． 26. 如图①，四边形是知形，，点是线段上一动点(不与重合)，点是线段延长线上一动点，连接交于点.设，已知与之间的函数关系如图②所示. （1）求图②中与的函数表达式; （2）求证:; （3）是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值;如果不存在，说明理由 【答案】（1）y＝﹣2x+4（0＜x＜2）；（2）见解析；（3）存在，x＝或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式； （2）证明△CDE∽△ADF，得∠ADF＝∠CDE，可得结论； （3）分三种情况： ①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG， ②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H， ③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED， 分别列方程计算可得结论． 【详解】（1）设y＝kx+b， 由图象得：当x＝1时，y＝2，当x＝0时，y＝4， 代入得：，得， ∴y＝﹣2x+4（0＜x＜2）； （2）∵BE＝x，BC＝2 ∴CE＝2﹣x， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠DAF＝90°， ∴△CDE∽△ADF， ∴∠ADF＝∠CDE， ∴∠ADF+∠EDG＝∠CDE+∠EDG＝90°， ∴DE⊥DF； （3）假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形， ①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠DGE＝∠GEB， ∴∠DEG＝∠BEG， 在△DEF和△BEF中， ， ∴△DEF≌△BEF（AAS）， ∴DE＝BE＝x，CE＝2﹣x， ∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2﹣x）2＝x2， x＝； ②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H， ∵AD∥BC，EH∥CD， ∴四边形CDHE是平行四边形， ∴∠C＝90°， ∴四边形CDHE是矩形， ∴EH＝CD＝1，DH＝CE＝2﹣x，EH⊥DG， ∴HG＝DH＝2﹣x， ∴AG＝2x﹣2， ∵EH∥CD，DC∥AB， ∴EH∥AF， ∴△EHG∽△FAG， ∴， ∴， ∴（舍）， ③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED， ∵AD∥BC， ∴∠GDE＝∠DEC， ∴∠GED＝∠DEC， ∵∠C＝∠EDF＝90°， ∴△CDE∽△DFE， ∴， ∵△CDE∽△ADF， ∴， ∴， ∴2﹣x＝，x＝， 综上，x＝或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $