河北邯郸市馆陶县第一中学等校2025-2026学年高二下学期期末数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知全集U={x∈N-1<x≤5}，集合A={0,2,4},则CuA= A{1) B.{0,1,2} C.{1,3,5} D.{0,1,3,5} 2已知数列1a.}满足a1=2,a1="中。，则a= A.8 B.6 C.4 D.3 3.已知复数z满足(2-3i)x=1十4i,则复数z在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知A(-7,0),B(7,0),若|BC-|AC=10,则点C的轨迹方程为 A盖苦=1(x≥26) B若-盖-1(5) C-芳=1(x≤-26) D若-黄=1（≤-5） 5.函数y=Asin(wx十p)(A>0,w>0,0<p<π)在一个周期内的图象如图所示，则p= A晋 B晋 2 c D 【高二期末检测·数学第1页（共4页）】 HD 6,已知函数()=号x+mx2-x在区间[2,4幻上单调递增，则实数m的取值范围为 A(-,+∞) B(-g+∞） c[-+e∞) D.[-号+o∞） 7.已知椭圆E:若+斧=1(a>6>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线1：v3x-y=0交椭圆E 于A,B两点，若AF十|BF=6,点M到直线L的距离为2，则椭圆E的离心率为 A号 B号 c29 D. 8.已知某球恰好与圆台的上下底面及侧面都相切，若该圆台的上底面半径为1，母线长为4，则该圆台外 接球的表面积为 A12 B.28π c n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知一组样本数据：4,5,6,8,9,10，则下列说法正确的是 A.该组样本数据的极差为6 B.该组样本数据的平均数为7 C.该组样本数据的第60百分位数为7 D.从该组数据中任取两个数，则这两个数的乘积大于50的概率为3 10.已知向量a=(一3,1)，b=(4,2),则 A.(2a+b)∥b B.Ibl=√2la Ca与b的夹角为要 D.a在b方向上的投影向量的坐标为（一1，一2） 11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十y)=f(x)十f(y)一2xy一1，则下列说法正确的是 A.f(2)+f(-2)=-6 B.函数y=f(x)十x2是奇函数 C.若f(1)<5,则f(2)<5 D.若f(100)=1,则f(1)=100 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为 13.已知角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)，将角α的终边按逆时针方向旋转B角至 第三象限，若cos(a十)=一号则cosg=】 14.已知数列a,)满足a=号，3n+1Dat1=(a+2)a,数列6.}满足6=1,6+1一6=1，记集合A= {nlab.≥m,n∈N°}，若集合A中有3个元素，则实数m的取值范围为 【高二期末检测·数学第2页（共4页）】 HD 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2 acos C=bcos C+ccos E. (1)求角C的大小： (2)若c=√13,3b=4a,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》想看人数、讨论度、社交平台热度全程领跑，掀起全民观影热潮， 总票房高达29.27亿元.某电影院为了解民众对该部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人 员，得到下表： 是否喜欢 是否成年人 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 40 60 合计 n t 140 (1)根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年有关？ (2)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设X表示这两人中喜欢电影飞驰人 生3》的人数，求X的分布列和数学期望 n(ad-bc)2 参考公式：t=a+bc十a)a干d6+团（其中n=a+b+c+dD. a 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M是CD 的中点 (1)求证：平面PBM⊥平面PCD; (②)若点A到平面PBC的距离为，求平面PBC与平面PBM夹角的余 弦值。 【高二期末检测·数学第3页（共4页）】 HD 18.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率不为0的直线1交抛物线C于A,B两点（点A在 x轴上方)，点D,E都在抛物线C的准线上，且AD∥x轴，BE∥x轴. (1)若直线1的斜率为1，求|AB|的值： (2)设R是DE的中点，判断AR与EF是否平行，并说明理由： (3)证明：直线BD恒过定点，并求出该定点坐标 19.(本小题满分17分) 已知函数fx)=xlhx+1-xg()=2nx+是-x (1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程； (2)设h(x)=f(x)+g(x),求h(x)的单调区间； (3)若存在x1,x2∈(0，+o∞)，使得g(x1)=f(x2),求证：x1x2≤1，高二数学参考答案、提示及评分细则 1.C因为全集U={x∈N-1<x5}={0,1,2,3,4,5},集合A={0,2,4},所以CA={1,3,5以.故选C 2B由a=2a1"得a=2a=4a,=号ag=6.故选B n 3B去名牛都多牛器=吕+，所以复数：在复平面内所对应的点是（吕），位于第二象限放 选B. 4D由A(-7,0),B(7,0),BC-AC1=10及双前线的定义可知点C的轨迹是双前线的左支，设其标准方程为号 一若-1a>0,6>0),所以2a=10,V后干7=1，解得a=5,6=24,所以点C的轨迹方程为气苦-1(<-5).放 选D. 5C由函数图象可知A=2,是T-径-（一子)，所以T=又。>0，所以。=2，将（登-2）代入得到sn(答+9)= 1,因为0<<，所以要<要十<，放警+=受，解得=至放选C 6.C由f代x)在区间[2，上单调递增，得f(x)=2+2mx一1≥0在区间[2,4上恒成立，即m≥-音在区间2,4上 恒成立，所以m≥（分音）又y一会兰在区间[2,4上单调递减，所以)一齐兰的最大值为一子，即实数m的 取值范围为[一是，十∞).故选C 7.D设椭圆E的左焦点为F1,连接AF,BF,则四边形AFBF为平行四边形，所以AF十|AF=|BF|十AF|=6. 根据椭圆的定义，有AF十AF+BF十BF=4a,所以12=4a,解得a=3.因为点M到直线L的距离为号，所以 61,放稀圆E的离心率为e=2号故选D 8.A设圆台的上底面半径为n,下底面半径为2，母线长为l,根据切线长定理，得=十n,所以2=4一1=3，圆台的 高h=√4一(3一1)=2√3，若圆台外接球的球心O在圆台内，设外接球的半径为R,球心O到下底面的距离为x,则 R2=x2+9, 1R2=(25-x)2+1 解得-罗，所以圆台外接球的表面积为如R=号x:若圆台外接球的球心0在圆台外，设外 R2=x2+9, 接球的半径为R,球心O到下底面的距离为x,则 R2=(2√5+x)2+1, 解得：=气（合).综上所述，圆台外接球的表 面积为号放选A 9.ABD由题知，该组样本数据的极差为10一4=6，A正确：平均数为(4十5+6十8+9+10)÷6=7，B正确；因为6×60% =3.6,故第60百分位数为第4个数据8，C错误；从该组数据中任取两个数，基本事件有(4,5)，(4,6)，(4,8)，(4,9)， (4,10),(5,6),(5,8),(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(8,9),(8,10),(9,10),共15种情况，其中乘积大于50的包 含(6,9).(6,10，(8,9.8,10)，(9,10)5种情况，所以P=号=子，D正确放选ABD 10.BC由题知2a+b=(-2,4),显然2a+b与b不平行，A错误，|a=√/(-3)2+1卫=√0，|b=√4+2=25，因此 -1,B正确设a与6的陕角为6期西后济不后华.且C因配：与的夹在 a·b -10 为亭，C正确：a在b方向上的投影向量为aco0s0合=币×（号）×4会-（一2，-1.D错误放选K `√20 11.AD取x=y=0,得f(0)=1,取y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+2x2-1,所以f(x)+f(-x)=2-2.x2,f(2)+ f(-2)=一6，A正确；f(-x)十(-x)2+f(x)十x2=f(x)十f(-x)十2x2=2,函数y=f(x)十x2不是奇函数，B错 误：取y=1,得f(x+1)-f(x)=f(1)-2x-1,所以f(2)-f(1)=f(1)-2×1-1,f3)-f(2)=f(1)-2×2-1, 【高二期末检测·数学参考答案第1页（共4页）】 HD …,f(n)-f(n-1)=f(1)-2(n-1)-1,所以f(n)-f(1)=(n-1)f(1)-n(n-1)-(n-1),f(n)=nf(1)-n2+1, 若f(1)=4,则f(2)=2f(1)-3=5,C错误；f(100)=100f(1)-1002+1=1,f(1)=100,D正确.故选AD. 12.480先安排甲从除最左端和最右端的4个位置中选一个站，有A=4种站法；将剩余的人任意排序，有A=120种站 法.由分步乘法计数原理可得，不同站法数有4×120=480种. cs产碧 14(得，专]由3a+1a1=+2a,得号(）且号-号≠0.则数列{气}是首项为宁公比为号的 等比数列，则，气一子，所以，=.因为数列么)满足61-6，=1，所以数列6，是首项为1，公老为1的等差数 列，所以6，=m.因为集合A中有3个元素，且a+1h1一a.b,=+D+2_+D_2-+D,所以当 3+ 3” 3 1时a,6=a4:当≥2时ai么a1一a6,<0,即a=a6>a6>a6>…>ab,且a么=s=号a6=专， a6=器所以满足条件时m∈（器专] 15.解：(1)由2 acos C=bcos C-+ccos B及正弦定理可得2 sin Acos C=sin Bcos C+sin Ccos B,…2分 所以2 sin Acos C=sin(B+C)=sin(r-A)=sinA,…3分 又A∈(0，x),所以sinA>0,所以cosC=2, …5分 又C∈(0，x),所以C=景 6分 (2)由余弦定理c2=a2+b-2 abcos C,即13=a2+P-ab, 8分 a=3, 又3b=4a,解得 (负值舍去)，… 1b=4, 10分 所以Sac=合alsin C=-X4X3x号=35. 2 13分 16.解：(1)由数据表格可知，s=60一40=20，n=20+20=40,t=140一40=100. …2分 零假设为H:喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关，… …3分 140×(20×40-20×60)2 根据列联表中的数据，计算得X=(20十60)X(20十40X20+20X(60十40≈1.167<2.706，… 6分 根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H不成立，因此可以认为H。成立，即认为喜欢电影《飞驰人 生3》与是否成年无关.… …7分 (2)由题意可知，未成年人客欢该电影的概率是船=子，不客欢的概率是1一子-： 成年人客欢该电影的概率足积号·不客欢的概率是1一号一号 …9分 由题意，X的可能取值为0,1,2， 10分 则P(X=0=×号-=：PX=1=是×号+号×-：PX=2)=是×号 ×11 21 2· …13分 所以X的分布列为 X 0 2 P(X) 1 5 1 12 12 2 14分 数学期盟为B(X)=0X立+1X是+2X号-品 15分 17.(1)证明：因为M是CD的中点，所以DM=AB=2. 又DM∥AB,所以四边形ABMD是平行四边形，所以BM∥AD. …1分 因为AD⊥CD,所以BM⊥CD. 【高二期末检测·数学参考答案第2页（共4页）】 HD 因为PD⊥平面ABCD,BMC平面ABCD,所以PD⊥BM.… …3分 因为CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD,所以BM⊥平面PCD. 又BMC平面PBM,所以平面PBM⊥平面PCD.… …5分 (2)解：以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,之轴建立如图所示空间 直角坐标系， 设PD=h,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,h),M(0,2,0), PB=(2,2,-),BC=(-2,2,0),AB=(0,2,0).…6分 设平面PBC的法向量为m=(x,y,之)， 0 M C 1m·PB-2x+2y-hz=0, - 则 A m·BC=-2x+2y=0, B 令=1，得y=1,2者放m=(11,青），… …8分 所以点A到平面PBC的距离为d=A店：m 2 25 √+1+ 3 解得h=4,即平面PBC的法向量m=(1,1,1).… …11分 设平面PBM的法向量为n=(a,b,c),由PB=(2,2,-4),PM=(0,2,-4), 1n.Pi=2a+2b-4c=0, 得 n·PM=2b-4c=0, 令c=1,得a=0,b=2,所以n=(0,2,1),即平面PBM的法向量为n=(0,2,1),…13分 m·n315 所以cos〈m,n)川=1m·1m3×万 51 即平面PBC与平面PBM夹角的余弦值为压. 15分 18.(1)解：抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),因为直线1的斜率为1， 所以直线l的方程为y=江-1，…1分 y-4,消去y得x2-6x+1=0.4=36-4=32>0, 联立 y=x-1, 设A(xy),B(x2y2),则x1十2=6，x12=1,… …3分 因为弦AB过C的焦点，p=2,根据抛物线定义， 得1AB1=AF+BF=十号十十号=十十p=6+2=8.… …5分 (2)解：AR与EF平行， …6分 理由如下： 由题意知AD∥x轴，BE∥x轴，且D,E在准线x=一1上， 设A(y),B(),则D(-1),E(-1,0),R(-1,业) 因为点A,B在抛物线C上，则有为=￥=平 …7分 依题意，直线l过焦点且斜率不为0，设直线l的方程为x=y十1， 代入y2=4x,得y2-4my-4=0, 所以y十为=4m,M为=一4，即y=二4 …8分 y为 一当十业边二业 好+4 2 2 2y 4 k=1-(1D=十= +1 近+42y 4 4 二立=2=k,又A,R,E不共线，从而AR/EF. 2一2 11分 【高二期末检测·数学参考答案第3页（共4页）】 HD (3)证明：要证直线BD过定点，可验证B,D,O(0,0)三点共线， +4 由(2)得km=2二”一边二边 4) 2-(-1)x2十1 5+432 13分 返十1 B=业==4=kB, 15分 4 所以B,O,D三点共线，即直线BD过定点O(0,0) ……… 17分 19.(1)解：因为f(x)=xlnx十1-x,f(x)=lnx, …1分 所以f(e)=1,f'(e)=1,… …2分 所以曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y一1=x一e,即x一y十1一e=0.…3分 (2)解：由题知4)=/)十ga=hx+2h一2x+士十1，则0=hx+是子1 令)=h+号-1.则ga)=士是+3->0， 所以9(x),即h'(x)在(0，十∞)上单调递增.… …5分 又h'(1)=0,所以当0<x<1时，h'(x)<0,h(x)单调递减：当x>1时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 即函数h(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，十∞).… 7分 8)证明：由题g)=2mz+士-，g)=是是-1=二（D<0恒成立，所以g(在0，+)上单调递 减，且g(1)=0, 所以0<x<1时g(x)>0,当x>1时，g(x)<0. 8分 由f(x)=nx=0,得x=1,当0<a<1时，f(x)<0;当x>1时，f(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，且f(1)=0, 所以f(x)≥f(1)=0.… …9分 若存在x1,x2∈(0，十∞)，使得g(m)=f(x2)=m,则m≥0. 当m=0时，x=x2=1,满足x2≤1；… 10分 当m>0时，0<<1，f(x2)=m>0,x2有两种情况，0<2<1或x2>1. 要证明≤1，即证明≤分其中>1， 当>1时，在1，十)止单调递增，因此要证明≤分，等价于证明)≤/（兮） …11分 因为)-g,即证明ga)≤/（分） 令(0=g)-f()=2hx+2-x-1+h,0<<1, w=是是-1+lh 2 12分 令t(x)=-(x-1)2-1nx,t'(x)=-2(x-1)-1=-22+2x-1-2（x2）一2。 所以t(x)在(0,1)上单调递减，t(x)>1(1)=0,因此s'(x)>0, 所以s(x)在(0,1)上单调递增，所以s(x)<s(1)=0, 即g)<f()在区间(0,1D上恒成立，因此)<g(号）】 14分 又因为g)=f,所以f)(分)）： 又因为)在区间1，十∞)上单满递增，所以<}，即<1，结论成立， 当0<2<1时，因为0<<1，所以0<x12<1,所以不等式x1x2≤1显然成立. 16分 综上可知，m=0时，x22=1,当m>0时，x12<1成立， 所以无论何种情况，2≤1，得证.… …17分 【高二期末检测·数学参考答案第4页（共4页）】 HD