21.2.3 因式分解法解一元二次方程 课堂限时训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦因式分解法解一元二次方程，通过基础巩固、情境应用到综合探究的三层设计，实现从概念理解到问题解决的能力进阶，适配新授课知识内化与初步应用需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|因式分解法基本步骤、方法选择|选择题直接考查方法辨析（如第2题方法选择），夯实运算能力| |提升|简单实际应用、几何与物理情境结合|填空题结合矩形对角线（第8题）、刹车距离（第11题），体现模型意识| |综合|十字相乘法拓展、根与系数关系、探究性问题|解答题通过阅读材料（第16题十字相乘法）、问题探究（第18题），发展推理意识与创新意识|

2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第21章） 21.2.3 因式分解法解一元二次方程课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用因式分解法解下列方程，正确的是(     ) A. ， B. ，或 C. ，或 D. ，或 2.解方程的适当方法是(     ) A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 3.方程的解是(     ) A. B. C. ， D. ， 4.用因式分解法解方程，下列方法正确的是(     ) A. ，或 B. ，或 C. ，或 D. ， 5.已知关于的方程的两根分别为，，则二次三项式可分解为(     ) A. B. C. D. 6.下列一元二次方程中，最适合用因式分解法来解的是(     ) A. B. C. D. 7.若，则 的值为(     ) A. 或 B. C. D. 8.若矩形的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形的对角线长为  (     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.已知，则           ． 10.方程的解是           ． 11.一辆汽车在公路上行驶，司机发现前方路面有情况，开始踩刹车，此时它行驶的路程与时间之间的函数关系是：，当刹车距离为时，刹车时间为            12.若一个等腰三角形的两边为方程的根，则该三角形的周长为           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分用因式分解法解下列方程： ； ． 14.本小题分 将一小球从地面以的初速度做竖直上抛运动，已知小球离地面的高度与抛出时间的关系为，则当小球离地时，抛出的时间为          ；重力加速度 解方程：． 15.本小题分 下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． ，第一步 ，第二步 ，第三步 或，第四步 ，．第五步 小颖同学解一元二次方程的方法是          ，用到的一个数学公式是          用字母，表示 第四步变形的依据是            请选择不同于小颖同学的方法解该一元二次方程． 16.本小题分 将分解因式，可以按下面的方法解答： 解：分解二次项和常数项：，． 竖写分解结果，交叉相乘再相加，其结果等于一次项． ． 横向写出两因式： ． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法，用式子表示为． 根据乘法原理，则          或          ． 试用上述方法和原理解方程：． 17.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根． 若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 18.本小题分 材料：二次三项式，方程可以这样解：，或，，． 问题： 方程的根是          ； 对于实数，，定义运算“”：例如，因为，所以若，是一元二次方程的两个根，则的值为          ； 已知实数满足求代数式的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第21章） 21.2.3 因式分解法解一元二次方程课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用因式分解法解下列方程，正确的是(     ) A. ， B. ，或 C. ，或 D. ，或 【答案】D  【解析】解： 得或，所以A错误； ，即，不能利用因式分解法求解，故B错误； ，整理可得，则，或，所以C错误； ，或，故D选项正确． 2.解方程的适当方法是(     ) A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 【答案】D  3.方程的解是(     ) A. B. C. ， D. ， 【答案】D  4.用因式分解法解方程，下列方法正确的是(     ) A. ，或 B. ，或 C. ，或 D. ， 【答案】A  5.已知关于的方程的两根分别为，，则二次三项式可分解为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  6.下列一元二次方程中，最适合用因式分解法来解的是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 7.若，则 的值为(     ) A. 或 B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查的是换元法解一元二次方程，由题意设，则可变形为，然后利用因式分解法解方程即可求解． 【解答】 解：设， 可变形为： ， 整理得： ， ， 解得：或不合题意，舍去， 则． 故选B． 8.若矩形的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形的对角线长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.已知，则          ． 【答案】  10.方程的解是          ． 【答案】，  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解． 先移项得到，再把方程左边进行因式分解得到，方程转化为两个一元一次方程：或，即可得到原方程的解为，． 【解答】 解： ， ， 或， ，． 故答案为，． 11.一辆汽车在公路上行驶，司机发现前方路面有情况，开始踩刹车，此时它行驶的路程与时间之间的函数关系是：，当刹车距离为时，刹车时间为           【答案】  12.若一个等腰三角形的两边为方程的根，则该三角形的周长为          ． 【答案】或  三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分用因式分解法解下列方程： ； ． 【答案】(1)，  (2)，  14.本小题分 将一小球从地面以的初速度做竖直上抛运动，已知小球离地面的高度与抛出时间的关系为，则当小球离地时，抛出的时间为          ；重力加速度 解方程：． 【答案】(1)1或3  (2)整理，得. 稀项、合并同类项，得. . ，. 15.本小题分 下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． ，第一步 ，第二步 ，第三步 或，第四步 ，．第五步 小颖同学解一元二次方程的方法是          ，用到的一个数学公式是          用字母，表示 第四步变形的依据是           请选择不同于小颖同学的方法解该一元二次方程． 【答案】(1)因式分解法 ;-=(a+b)(a-b); 如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零 /如果ab=0,那么a=0或b=0  (2)4=. 2(x+1)=(3x-3), 即2x+2=3x-3或2x+2=-3x+3, =5,=. 16.本小题分 将分解因式，可以按下面的方法解答： 解：分解二次项和常数项：，． 竖写分解结果，交叉相乘再相加，其结果等于一次项． ． 横向写出两因式： ． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法，用式子表示为． 根据乘法原理，则          或          ． 试用上述方法和原理解方程：． 【答案】(1)0;0  (2)解:(x-2)(x-3)=.=2,=.  17.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根． 若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)证明： ． ， ， 方程总有两个不相等实数根． (2)解：将代入方程，解得． 将代入方程，得到， 解得， 所以方程的另一个根是．  【解析】  本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程。解题的关键是：牢记“当时，方程两个不相等的实数根”；掌握解一元二次方程的方法． 根据方程的系数，结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个不相等的实数根．  将代入方程，解得，将代入方程得到，然后解方程即可求出另一根． 18.本小题分 材料：二次三项式，方程可以这样解：，或，，． 问题： 方程的根是          ； 对于实数，，定义运算“”：例如，因为，所以若，是一元二次方程的两个根，则的值为          ； 已知实数满足求代数式的值． 【答案】(1)x1＝1，x2＝2  (2)3或-3  (3)解：设x2-x＝y，则原方程可化为y2-4y-12＝0， ∴(y-6)(y+2)＝0， 解得y1＝6，y2＝-2．  当y＝6时，x2-x＝6； 当y＝-2时，x2-x＝-2，Δ＝-7＜0， ∴此方程无实数根， ∴原式＝-(x2-x)+1＝-6+1＝-5．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第21章） 21.2.3 因式分解法解一元二次方程课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用因式分解法解下列方程，正确的是(     ) A. ， B. ，或 C. ，或 D. ，或 2.解方程的适当方法是(     ) A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 3.方程的解是(     ) A. B. C. ， D. ， 4.用因式分解法解方程，下列方法正确的是(     ) A. ，或 B. ，或 C. ，或 D. ， 5.已知关于的方程的两根分别为，，则二次三项式可分解为(     ) A. B. C. D. 6.下列一元二次方程中，最适合用因式分解法来解的是(     ) A. B. C. D. 7.若，则 的值为(     ) A. 或 B. C. D. 8.若矩形的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形的对角线长为  (     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.已知，则           ． 10.方程的解是           ． 11.一辆汽车在公路上行驶，司机发现前方路面有情况，开始踩刹车，此时它行驶的路程与时间之间的函数关系是：，当刹车距离为时，刹车时间为            12.若一个等腰三角形的两边为方程的根，则该三角形的周长为           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分用因式分解法解下列方程： ； ． 14.本小题分 (1) 将一小球从地面以的初速度做竖直上抛运动，已知小球离地面的高度与抛出时间的关系为，则当小球离地时，抛出的时间为           ； 重力加速度 解方程：． 15.本小题分 下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． ，第一步 ，第二步 ，第三步 或，第四步 ，．第五步 小颖同学解一元二次方程的方法是          ，用到的一个数学公式是          用字母，表示 第四步变形的依据是            请选择不同于小颖同学的方法解该一元二次方程． 16.本小题分 将分解因式，可以按下面的方法解答： 解：分解二次项和常数项：，． 竖写分解结果，交叉相乘再相加，其结果等于一次项． ． 横向写出两因式： ． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法，用式子表示为． 根据乘法原理，则          或          ． 试用上述方法和原理解方程：． 17.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根． 若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 18.本小题分 材料：二次三项式，方程可以这样解：，或，，． 问题： 方程的根是          ； 对于实数，，定义运算“”：例如，因为，所以若，是一元二次方程的两个根，则的值为          ； 已知实数满足求代数式的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $