第07讲 基本不等式（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第07讲 基本不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用基本不等式比较大小 题型2 利用基本不等式求最值 题型3 利用基本不等式解决恒成立问题 题型4 利用基本不等式证明不等式 题型5 利用基本不等式解决简单实际应用问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 基本不等式 最值定理 1. 了解基本不等式的证明过程； 2. 能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小； 3. 熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题； 4. 会用基本不等式求解简单的实际应用题. 学习重点：基本不等式的推导过程和基本应用，包括利用基本不等式求最值的条件（一正、二定、三相等）. 学习难点：1.基本不等式的几何意义的理解； 2. 利用基本不等式解决最值问题时，如何构造“一正、二定、三相等”的条件. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 基本不等式 1、重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 推导：，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2、基本不等式 （1）公式：如果，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）常见变形：； 3、常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号． 即时即练 （多选）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 使用基本不等式判断不等式是否成立的技巧： ①掌握基本不等式以及常见变形的前提条件；②熟记基本不等式及其变形、常见结论可快速得出结论. ③举反例可以判断不等式不成立. 知识点02 最值定理 1、最值定理：已知都是正数， （1）若(和为定值)，则当时，积有最大值，且这个值为． （2）若(积为定值)，则当时，和有最小值，且这个值为． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． 2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 即时即练 已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【易错提醒】 在使用基本不等式求最值时，三个易错点总结： 一正易错：未判断两数全正就套用公式，负数不能直接使用； 二定易错：求最值时不看和或积是否为定值，无定值不能直接用基本不等式求最值； 三相等易错：求出最值后不验证能否成立，等号取不到则对应最值无效. 知识点03 基本不等式变式与拓展 1、基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2、基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 题型1 利用基本不等式比较大小 【例1】（1）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． （2）设（m，n为正实数），，则A与B的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 利用基本不等式比较大小的四种方法： 方法 1：公式直接法：若式子刚好是调和、几何、算术、平方平均数形式，直接套用基本不等式链即可判断大小关系判断，前提：变量全正； 方法 2：最值法：一边用基本不等式求出下界（最小值）[或上界（最大值）]；另一边配方法、导数法等求出上界（最大值）[或下届（最小值）]，若，直接得； 方法 3：特值代入法：给变量取符合题干范围的具体数字，代入四个代数式算出数值，直观比较大小，快速排除一些不可能成立的选项，有时需要多取几组验证； 方法 4：作差法 / 放缩法： （1）作差：两式相减，等价变形，最后判断差值正负； （2）放缩：借助基本不等式对代数式放大 / 缩小，间接比较. 【变式 1-1】（多选）若，则，中不可能是最大值的是（    ） A． B． C． D． 题型2 利用基本不等式求最值 角度1：求积的最值 【例2】（1）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 利用基本不等式求积的最值问题的方法： 步骤1：分析变量范围，确定符号（满足“一正”） 基本不等式的前提是参与运算的数（式）为正数，首先要分析函数中乘积项的正负性； 步骤2：构造“和为定值”的形式（满足“二定”） 基本不等式的核心是“和定积最大”，对于形如的乘积型函数，需通过等价变形式子， 配凑出两个因子的和为常数（即“和为定值”），常利用相反数和为0进行配凑； 步骤3：应用基本不等式，求最值并验证等号（满足“三相等”） 当两个因子为正且和为定值时，由基本不等式，（当且仅当时等号成立）， 可求出乘积的最大值，同时需验证等号成立的条件是否可实现. 【变式 2-1】已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 角度2：求和的最值 【例2】（2）当时，的最小值是___________． 【方法总结】 利用基本不等式求和的最值问题的方法： 步骤1：分析变量范围，确定符号（满足“一正”） 基本不等式的前提是参与运算的数（式）为正数，首先要分析函数中”加数“的正负性； 步骤2：构造“积为定值”的形式（满足“二定”） 基本不等式的核心是“积定和最大”，对于形如的加法型函数，有时需通过等 价变形式子，配凑出两个加数的积为常数（即“和为定值”），常利用互为倒数积为1进行配凑； 步骤3：应用基本不等式，求最值并验证等号（满足“三相等”） 当两个加数为正且积为定值时，由基本不等式，（当且仅当时等号成立）， 可求出和的最大值，同时需验证等号成立的条件是否可实现. 【变式 2-2】已知，则的最大值为___________． 角度3：二次与一次的商式的最值 【例2】（3）若，则的最小值为______. 【方法总结】 利用基本不等式求二次与一次的商式的最值问题的方法： 步骤 1：换元： 若分母（分子）一次不是单独的,，则需要依据定义域设新元分母（分子）整体，保证， 然后把分子（分母）都变成含的代数式； 步骤 2：拆分变形，分离整式 型：换元后，直接拆分，拆成的形式； 型：换元后，分子分母同除以t，化为形式， 步骤 3：套用基本不等式求最值：（和最小）；分母有最小值， 则整个分式有最大值； 步骤 4：验证三等号是否成立：利用，解t，反求x，验证x是否在定义域内，能取等则最值有效. 【变式 2-3】函数在上的最大值为_______________． 角度4：条件等式求最值 【例2】（4）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【方法总结】 利用条件等式求最值问题的方法： 步骤 1：等量代换：比如本例题中：由已知（常数）， 变形：，等量替换基本不等式中的； 步骤 2：得关于所求式子的不等式：，该不等式是只含所求式子的不等式； 步骤 3：解不等式得最值：解只含所求式子的不等式，即可得所求式子的取值范围，从得出最值； 步骤 4：验证等号可取：等号条件，联立原式方程解出，若取值满足正数条件，则ab的最值有效. 提醒：有时是利用基本不等式等量替换，有时是利用不等式链中的某两个式子，或者利用其他不等式， 再根据已知等式与所求式子的特点，选择对应的不等式来进行等量替换. 【变式 2-4】已知，且，则的最小值为_____________ 题型3 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【方法总结】 利用基本不等式解决恒成立问题的方法： 步骤 1：参变量分离：把所有参数和常数项放在不等式一侧，把所有变量放在不等式另一侧； 步骤2：恒成立问题转化为最值问题：恒成立，恒成； 步骤3：借助基本不等式求出最值，得出结论. 【变式 3-1】已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 题型4 利用基本不等式证明不等式 【例4】已知，，，求证： （1） ； （2）. 【方法总结】 利用基本不等式证明不等式的方法： 根据不等式的结构特征，构造 “和、积、平方和、倒数和” 等形式，进而正确选用基本不等式或其变形形式进行证明，同时注意不等式变形时，要结合已知条件，可考虑拼凑、整体代换等. 【变式 4-1】已知，，，且．求证：． 题型5 利用基本不等式解决简单实际应用问题 【例5】某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【方法总结】 利用基本不等式解决简单实际应用问题的方法： ①设：设未知数，并用未知数表示题目中的相关量； ②列：根据题中条件，列出含未知数的关系式或用未知数表示所求量； ③求：分析清楚定值，将实际问题转化为数学问题，利用基本不等式求最值； ④答：注意变量的取值范围，检验等号成立的条件，然后作答. 【变式 5-1】某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 一、单选题 1．如果，那么的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D．4 2．不等式成立的前提条件为（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 4．已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 9．已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（    ） A． B． C．2 D． 三、填空题 10．函数 的最小值为________. 11．已知，则的最小值为__________． 12．某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人___________ 台. 四、解答题 13．解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 14．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 基本不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用基本不等式比较大小 题型2 利用基本不等式求最值 题型3 利用基本不等式解决恒成立问题 题型4 利用基本不等式证明不等式 题型5 利用基本不等式解决简单实际应用问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 基本不等式 最值定理 1. 了解基本不等式的证明过程； 2. 能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小； 3. 熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题； 4. 会用基本不等式求解简单的实际应用题. 学习重点：基本不等式的推导过程和基本应用，包括利用基本不等式求最值的条件（一正、二定、三相等）. 学习难点：1.基本不等式的几何意义的理解； 2. 利用基本不等式解决最值问题时，如何构造“一正、二定、三相等”的条件. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 基本不等式 1、重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 推导：，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2、基本不等式 （1）公式：如果，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）常见变形：； 3、常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号． 即时即练 （多选）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，不等式成立，A正确； 对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误； 对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误； 对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确. 【方法总结】 使用基本不等式判断不等式是否成立的技巧： ①掌握基本不等式以及常见变形的前提条件；②熟记基本不等式及其变形、常见结论可快速得出结论. ③举反例可以判断不等式不成立. 知识点02 最值定理 1、最值定理：已知都是正数， （1）若(和为定值)，则当时，积有最大值，且这个值为． （2）若(积为定值)，则当时，和有最小值，且这个值为． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． 2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 即时即练 已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正数，满足，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 【易错提醒】 在使用基本不等式求最值时，三个易错点总结： 一正易错：未判断两数全正就套用公式，负数不能直接使用； 二定易错：求最值时不看和或积是否为定值，无定值不能直接用基本不等式求最值； 三相等易错：求出最值后不验证能否成立，等号取不到则对应最值无效. 知识点03 基本不等式变式与拓展 1、基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2、基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 题型1 利用基本不等式比较大小 【例1】（1）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. （2）设（m，n为正实数），，则A与B的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为m，n为正实数，所以，当且仅当时取等号， 又， 所以. 【方法总结】 利用基本不等式比较大小的四种方法： 方法 1：公式直接法：若式子刚好是调和、几何、算术、平方平均数形式，直接套用基本不等式链即可判断大小关系判断，前提：变量全正； 方法 2：最值法：一边用基本不等式求出下界（最小值）[或上界（最大值）]；另一边配方法、导数法等求出上界（最大值）[或下届（最小值）]，若，直接得； 方法 3：特值代入法：给变量取符合题干范围的具体数字，代入四个代数式算出数值，直观比较大小，快速排除一些不可能成立的选项，有时需要多取几组验证； 方法 4：作差法 / 放缩法： （1）作差：两式相减，等价变形，最后判断差值正负； （2）放缩：借助基本不等式对代数式放大 / 缩小，间接比较. 【变式 1-1】（多选）若，则，中不可能是最大值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由于，则， 故，，则，不可能是最大值，B，C符合题意； 由于， 当时，，， 故， 即，故不可能是最大值，A符合题意， 故选：ABC 题型2 利用基本不等式求最值 角度1：求积的最值 【例2】（1）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立， 综上所述，的最大值为. 【方法总结】 利用基本不等式求积的最值问题的方法： 步骤1：分析变量范围，确定符号（满足“一正”） 基本不等式的前提是参与运算的数（式）为正数，首先要分析函数中乘积项的正负性； 步骤2：构造“和为定值”的形式（满足“二定”） 基本不等式的核心是“和定积最大”，对于形如的乘积型函数，需通过等价变形式子， 配凑出两个因子的和为常数（即“和为定值”），常利用相反数和为0进行配凑； 步骤3：应用基本不等式，求最值并验证等号（满足“三相等”） 当两个因子为正且和为定值时，由基本不等式，（当且仅当时等号成立）， 可求出乘积的最大值，同时需验证等号成立的条件是否可实现. 【变式 2-1】已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 角度2：求和的最值 【例2】（2）当时，的最小值是___________． 【答案】 【详解】由，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 【方法总结】 利用基本不等式求和的最值问题的方法： 步骤1：分析变量范围，确定符号（满足“一正”） 基本不等式的前提是参与运算的数（式）为正数，首先要分析函数中”加数“的正负性； 步骤2：构造“积为定值”的形式（满足“二定”） 基本不等式的核心是“积定和最大”，对于形如的加法型函数，有时需通过等 价变形式子，配凑出两个加数的积为常数（即“和为定值”），常利用互为倒数积为1进行配凑； 步骤3：应用基本不等式，求最值并验证等号（满足“三相等”） 当两个加数为正且积为定值时，由基本不等式，（当且仅当时等号成立）， 可求出和的最大值，同时需验证等号成立的条件是否可实现. 【变式 2-2】已知，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为. 角度3：二次与一次的商式的最值 【例2】（3）若，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 【方法总结】 利用基本不等式求二次与一次的商式的最值问题的方法： 步骤 1：换元： 若分母（分子）一次不是单独的,，则需要依据定义域设新元分母（分子）整体，保证， 然后把分子（分母）都变成含的代数式； 步骤 2：拆分变形，分离整式 型：换元后，直接拆分，拆成的形式； 型：换元后，分子分母同除以t，化为形式， 步骤 3：套用基本不等式求最值：（和最小）；分母有最小值， 则整个分式有最大值； 步骤 4：验证三等号是否成立：利用，解t，反求x，验证x是否在定义域内，能取等则最值有效. 【变式 2-3】函数在上的最大值为_______________． 【答案】 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 角度4：条件等式求最值 【例2】（4）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 【方法总结】 利用条件等式求最值问题的方法： 步骤 1：等量代换：比如本例题中：由已知（常数）， 变形：，等量替换基本不等式中的； 步骤 2：得关于所求式子的不等式：，该不等式是只含所求式子的不等式； 步骤 3：解不等式得最值：解只含所求式子的不等式，即可得所求式子的取值范围，从得出最值； 步骤 4：验证等号可取：等号条件，联立原式方程解出，若取值满足正数条件，则ab的最值有效. 提醒：有时是利用基本不等式等量替换，有时是利用不等式链中的某两个式子，或者利用其他不等式， 再根据已知等式与所求式子的特点，选择对应的不等式来进行等量替换. 【变式 2-4】已知，且，则的最小值为_____________ 【答案】 【详解】因为， 即 （※）， 当且仅当，即，结合，解得当且仅当，时取等号， 又，等量替换不等式 （※）中的，得，解不等式得 因此的最小值为. 题型3 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 【方法总结】 利用基本不等式解决恒成立问题的方法： 步骤 1：参变量分离：把所有参数和常数项放在不等式一侧，把所有变量放在不等式另一侧； 步骤2：恒成立问题转化为最值问题：恒成立，恒成； 步骤3：借助基本不等式求出最值，得出结论. 【变式 3-1】已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 【答案】A 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 题型4 利用基本不等式证明不等式 【例4】已知，，，求证： （1）； （2）. 【答案】证明见解析. 【详解】证明：（1）因为且，（当且仅当时取等号），即，所以， 又， 所以； （2）因为，   所以， 当且仅当时，等号成立， 所以. 【方法总结】 利用基本不等式证明不等式的方法： 根据不等式的结构特征，构造 “和、积、平方和、倒数和” 等形式，进而正确选用基本不等式或其变形形式进行证明，同时注意不等式变形时，要结合已知条件，可考虑拼凑、整体代换等. 【变式 4-1】已知，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 题型5 利用基本不等式解决简单实际应用问题 【例5】某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 【方法总结】 利用基本不等式解决简单实际应用问题的方法： ①设：设未知数，并用未知数表示题目中的相关量； ②列：根据题中条件，列出含未知数的关系式或用未知数表示所求量； ③求：分析清楚定值，将实际问题转化为数学问题，利用基本不等式求最值； ④答：注意变量的取值范围，检验等号成立的条件，然后作答. 【变式 5-1】某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1)；(2)万元. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 一、单选题 1．如果，那么的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，即最小值为4， 2．不等式成立的前提条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即. 3．若，，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【详解】由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 4．已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】正数a，b满足，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4. 5．若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 6．如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 在中，， 又，所以， 在中，，故， 得到， 所以， 所以，即， 二、多选题 7．若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对； ，故B错. 8．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】CD 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，所以的最大值为1，故B错误； 对于选项C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对于选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 9．已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】ACD 【详解】由，则，得，A正确； 由，取，则，故B错误； 由于，则，则，故C正确； 由于，故D正确， 三、填空题 10．函数 的最小值为________. 【答案】3 【详解】，， 由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立. 11．已知，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， ， 当且仅当：，即时不等式取等号， 故答案为：. 12．某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人___________ 台. 【答案】300 【详解】购买台机器人的总成本为， 则平均成本， 当且仅当，即时，平均成本最低为2万元. 四、解答题 13．解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】(1)7；(2)①36；②. 【详解】（1）由题 . 当且仅当，即时取等号； （2）①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 14．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $