专题拓展：利用基本不等式求最值的四大方法（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

专题拓展：利用基本不等式求最值的四大方法 方法1：配凑法 角度1：配凑和为定值 【例1】求函数的最大值. 【方法总结】 配凑和为定值，再利用基本不等式求积的最值策略： 1、最值定理：已知都是正数，若(和为定值)，则当时，积有最大值，且这个值为； 2、技巧：配凑某两个式子的和为定值，往往借助相反数的和为0进行配凑. 3、口诀：谁的和为定值，谁的乘积就有最值，同时谁就是与. 【变式1-1】已知，则的最大值为__________. 角度2：配凑积为定值 【例2】（1）已知实数，则的最小值是__________. （2）当时，函数的最小值为_____． 【方法总结】 配凑积为定值，再利用基本不等式求和的最值策略： 1、最值定理：若(积为定值)，则当时，和有最小值，且这个值为； 2、技巧：配凑某两个式子的积为定值，往往借助倒数的乘积为1进行配凑. 3、口诀：谁的积为定值，谁的和就有最值，同时谁就是与. 【变式2-1】设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【变式2-2】若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 方法2：常数代换法 角度1：常规代换 【例3】已知，，且，则的最小值是______. 【方法总结】 常数代换法求最值方法（巧用数字“1”的代换）： 1、两个类型：(1) 已知正数 满足 ，求 的最小值（ ）； (2) 已知正数 满足 ，求 的最小值（ ）。 2、代换的一般解题步骤： 第1步（定值）：根据已知条件或其变形确定定值（常数）； 第2步（化“1”）：把确定的定值（常数）变形为“ ”； 第3步（变形求值）：把“ ”的式子与所求最值的式子相乘或相除，构造和或积的形式，进而利用基本不等式求解. 【变式3-1】设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 角度2：变异型代换 【例4】（1）13．已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 （2）已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【方法总结】 变异型常数代换法求最值的方法： 1、特征：已知两个分式相加或者求两个分式相加的最值，分母不是单独的字母 2、解题步骤：（1）换元：把两个分母换元为一个字母，然后用新元表示已知条件 （2）转化：通过换元即可把问题转化为常规常数代换. 【变式4-1】已知为正数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 方法3：消元法 角度1：双元变单元 【例5】已知，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 【方法总结】 消元法之双元变单元求最值的策略： 对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用一个变量表示出另一个变量，再代入代数式中进行化简，并利用基本不等式求解. 【变式5-1】已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 角度2：整式消元 【例6】若，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【方法总结】 消元法之整式消元求最值的策略： 将基本不等式中的两个整式“”与“”看作整体，需要求哪个整体的最值，就利用消元的方法，把另一个整式等价替换消元，将基本不等式转化为关于只有所有整式最值的不等式，解不等式即可得出最值. 提示：不仅基本不等式可以整式消元，不等式链接中的整式、、、，以及中的、等等，都可以进行整式消元. 【变式6-1】已知正数满足，则的最小值为_______． 方法4：齐次化法 【例7】已知实数、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 齐次化法求最值的一般步骤： 1、判定变量符号：先确认题目中所有变量均为正数，满足基本不等式的使用前提； 2、判断式子次数：分别查看已知条件和待求最值的式子，判断目标式是否齐次，不齐次须变形； 3、统一次数 ：结合已知条件对目标式进行齐次变形，一般是乘以已知条件式子升次； 4、拆分并套用基本不等式：把整理好的齐次式展开、拆分，凑成两部分互为倒数的形式，然后利用基本不等式求最值； 5、检验最值是否取得到：结合等号成立条件与原题已知等式，解出对应变量的值，从而得解最值； 【变式7-1】已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为　　　　.  一、单选题 1．已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 2．已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 3．实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 5．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．1．已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 二、多选题 7．下列说法正确的有（   ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是2 D．的最小值是4 8．设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 9．设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 三、填空题 10．已知，则的最小值为________，此时________． 11.已知正数，满足，则的最小值为__________. 12．已知 ，则的最小值为___________． 四、解答题 13．7．已知，． (1)若，求证：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围． 14．（1）已知正数a、b满足.求ab的最小值； （2）若，且，求的最小值； （3）已知，求的最小值； （4）已知正数a、b满足.求的最小值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题拓展：利用基本不等式求最值的四大方法 方法1：配凑法 角度1：配凑和为定值 【例1】求函数的最大值. 【答案】 【详解】因为，所以，， 所以 , （配凑了：为定值，可以在心里把看作是a，这个式子可以看作是b） 当且仅当，即时，. 故函数的最大值为. 故答案为： 【方法总结】 配凑和为定值，再利用基本不等式求积的最值策略： 1、最值定理：已知都是正数，若(和为定值)，则当时，积有最大值，且这个值为； 2、技巧：配凑某两个式子的和为定值，往往借助相反数的和为0进行配凑. 3、口诀：谁的和为定值，谁的乘积就有最值，同时谁就是与. 【变式1-1】已知，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】由于，故， ， （配凑了：为定值，可以在心里把看作是a，这个式子可以看作是b） 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 角度2：配凑积为定值 【例2】（1）已知实数，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】， （配凑了：为定值，可以在心里把看作是a，这个式子可以看作是b） 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 （2）当时，函数的最小值为_____． 【答案】 【详解】因为，所以，等号成立时，， （配凑了：拆分分式后，配凑了为定值，可以在心里把看作是a，这个式子可以看作是） 故函数的最小值为． 【方法总结】 配凑积为定值，再利用基本不等式求和的最值策略： 1、最值定理：若(积为定值)，则当时，和有最小值，且这个值为； 2、技巧：配凑某两个式子的积为定值，往往借助倒数的乘积为1进行配凑. 3、口诀：谁的积为定值，谁的和就有最值，同时谁就是与. 【变式2-1】设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【变式2-2】若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【详解】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 方法2：常数代换法 角度1：常规代换 【例3】已知，，且，则的最小值是______. 【答案】8 【详解】， 当且仅当时等号成立，即时，的最小值为8. 【方法总结】 常数代换法求最值方法（巧用数字“1”的代换）： 1、两个类型：(1) 已知正数 满足 ，求 的最小值（ ）； (2) 已知正数 满足 ，求 的最小值（ ）。 2、代换的一般解题步骤： 第1步（定值）：根据已知条件或其变形确定定值（常数）； 第2步（化“1”）：把确定的定值（常数）变形为“ ”； 第3步（变形求值）：把“ ”的式子与所求最值的式子相乘或相除，构造和或积的形式，进而利用基本不等式求解. 【变式3-1】设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】， 当且仅当，时取等． 角度2：变异型代换 【例4】（1）13．已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】令，，所以， 因为，所以，即， 则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. （2）已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】令，，所以， 因为，所以， 则， 当且仅当时取等号，即 由，解得， 所以当时，的最小值为. 【方法总结】 变异型常数代换法求最值的方法： 1、特征：已知两个分式相加或者求两个分式相加的最值，分母不是单独的字母 2、解题步骤：（1）换元：把两个分母换元为一个字母，然后用新元表示已知条件 （2）转化：通过换元即可把问题转化为常规常数代换. 【变式4-1】已知为正数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，因为为正数，所以m,n为正数， 因为，所以，即 易知， 当且仅当时取等号，即. 方法3：消元法 角度1：双元变单元 【例5】已知，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】　由,可得n≠0,则. ，当且仅当，即时取等号, 即时,取最小值. 【方法总结】 消元法之双元变单元求最值的策略： 对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用一个变量表示出另一个变量，再代入代数式中进行化简，并利用基本不等式求解. 【变式5-1】已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【详解】因为，所以 由题设，又，，故， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 角度2：整式消元 【例6】若，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于正数,有,当且仅当时取得等号， 因为，所以，代入以上基本不等式得： 即，解得或（舍）. 故，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为2. 【方法总结】 消元法之整式消元求最值的策略： 将基本不等式中的两个整式“”与“”看作整体，需要求哪个整体的最值，就利用消元的方法，把另一个整式等价替换消元，将基本不等式转化为关于只有所有整式最值的不等式，解不等式即可得出最值. 提示：不仅基本不等式可以整式消元，不等式链接中的整式、、、，以及中的、等等，都可以进行整式消元. 【变式6-1】已知正数满足，则的最小值为_______． 【答案】9 【详解】对于正数,有,当且仅当时取得等号， 因为，所以得，代入以上基本不等式得： 即，所以， 故或（舍去）, 故，即的最小值为9，当且仅当时取最小值， 故答案为：9 方法4：齐次化法 【例7】已知实数、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为实数、，且， 所以， 当且仅当，即时，的最小值是. 【方法总结】 齐次化法求最值的一般步骤： 1、判定变量符号：先确认题目中所有变量均为正数，满足基本不等式的使用前提； 2、判断式子次数：分别查看已知条件和待求最值的式子，判断目标式是否齐次，不齐次须变形； 3、统一次数 ：结合已知条件对目标式进行齐次变形，一般是乘以已知条件式子升次； 4、拆分并套用基本不等式：把整理好的齐次式展开、拆分，凑成两部分互为倒数的形式，然后利用基本不等式求最值； 5、检验最值是否取得到：结合等号成立条件与原题已知等式，解出对应变量的值，从而得解最值； 【变式7-1】已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为　　　　.  【答案】 【详解】由可得 , 当且仅当,即且时等号成立. 一、单选题 1．已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为， 所以可得，则， 当且仅当，即时，上式取得等号， 的最大值为2． 2．已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当. 3．实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 ，所以，当且仅当取等号. 4．已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【详解】由题设且，则，所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是0. 5．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 6．1．已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由 ， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由 ，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 二、多选题 7．下列说法正确的有（   ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是2 D．的最小值是4 【答案】BD 【详解】对A，当时，，A错误； 对B，，则，，当且仅当即时取等号，B正确； 对C，，当且仅当，即时等号成立，但无实数解，因此C错误； 对D，，，当且仅当时取等号，D正确. 8．设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 【答案】AB 【详解】对于A：，， 所以当时，取得最小值，故A正确； 对于B： 即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：，，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 9．设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABC 【详解】对于A，由基本不等式，代入得，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确； 对于B，，由基本不等式， 故，当且仅当时等号成立， 所以最小值为，故B正确； 对于C，，由选项A知， 故，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确； 对于D，，由选项A知，故， 则， 即最小值为，不是，故D错误. 三、填空题 10．已知，则的最小值为________，此时________． 【答案】 【详解】因，则，等号成立时， 故当时，有最小值. 故答案为：； 11.已知正数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由正数，满足，可得， 所以， 当且仅当，，即时取等号， 所以的最小值为. 12．已知 ，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】已知，利用这个条件进行 “1 的代换”，实现齐次化： 接下来对含变量的项使用基本不等式： 因此： 等号成立条件： 当且仅当，即 时，等号成立. 四、解答题 13．7．已知，． (1)若，求证：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以． （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为． （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以，则. 故的取值范围为． 14．（1）已知正数a、b满足.求ab的最小值； （2）若，且，求的最小值； （3）已知，求的最小值； （4）已知正数a、b满足.求的最小值. 【答案】（1）4；（2）8；（3）9；（4） 【详解】（1），，当且仅当时等号成立， 则，即，可得，即的最小值为4. （2）因为，由，当且仅当时等号成立， 即，解得或（舍去）， 即时，有最小值8. （3）， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为9. （4）由可得， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $