25.2.2 公式法 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦公式法解一元二次方程，分层覆盖概念理解、运算应用及推理辨析，梯度从基础公式掌握到含参数综合应用，适配新授课知识内化与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|求根公式、一般形式、判别式概念|选择题1-5、填空9-10夯实符号意识与抽象能力| |中档|含参数判别式、方程求解|选择6-8、解答13-14强化运算能力与模型意识| |提升|推理纠错、开放探究|解答16、填空11培养推理意识与创新思维|

25.2.2 公式法 课程同步练习题 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 1．下列关于一元二次方程 的求根公式，书写正确的是（ ） A． B． C． D． 2．用公式法解方程 时，将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项依次为（ ） A． B． C． D． 3．一元二次方程 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 且 5．下列关于一元二次方程根的判别式的说法，正确的是（ ） A．若，则方程有两个相等的实数根 B．若方程没有实数根，则 C．若一元二次方程有两个实数根，则 D．一元二次方程的判别式为 6．用公式法解方程 ，所得的两个根正确的是（ ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 9．一元二次方程 的两根为 。 10．若一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为 。 11．请写出一个有两个不相等实数根的一元二次方程： 。 12．若关于的一元二次方程 没有实数根，则的取值范围是 。 三、解答题（本大题共 4 小题，共 52 分） 13．用公式法解下列方程：（每小题 6 分，共 12 分） （1）； （2）。 14．（12 分）已知关于的一元二次方程 。 （1）求证：无论取何实数，该方程总有实数根； （2）若方程有一个根为，求的值，并求出方程的另一个根。 15．（14 分）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根。 （1）求的取值范围； （2）写出满足条件的的所有正整数值。 16．（14 分）下面是小明同学用公式法解方程 的解题过程，请仔细阅读并完成相应任务。 解：移项得 ， ∵ ……………… 第一步 ∴ …… 第二步 ∴ ……………… 第三步 ∴ ……………… 第四步 任务一：以上解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； 任务二：请你写出该方程正确的求解过程。 参考答案与解析 一、选择题 1．答案：A 解析：一元二次方程求根公式为 ，需注意分子中的符号、根号内为、分母为。 2．答案：B 解析：将方程整理为一般式 ，因此二次项系数为 2，一次项系数为 - 3，常数项为 1。 3．答案：C 解析：，因此方程没有实数根。 4．答案：B 解析：方程为一元二次方程，故；有两个不相等实数根，则，解得。综上且。 5．答案：C 解析：A 选项，对应两个不相等的实数根；B 选项，无实数根对应；D 选项，判别式为；只有 C 选项表述正确。 6．答案：B 解析：，，代入公式得，即。 7．答案：B 解析：方程有两个相等实数根，则，解得。 8．答案：C 解析：分别计算判别式：A 选项，B 选项，C 选项，D 选项，因此 C 选项无实数根。 二、填空题 9．答案： 解析：，，代入公式得，即。 10．答案： 解析：方程有两个相等实数根，则，解得。 11．答案：示例：（答案不唯一，满足即可） 解析：只需保证二次项系数不为 0，且判别式大于 0 即可。 12．答案： 解析：方程没有实数根，则，解得。 三、解答题 13．解：(1) ， ， 代入求根公式：， 即 。 (2) 整理为一般式：， ， ， 代入求根公式：， 即 。 14．解：(1) 证明：， 。 ∵ 无论取何值，，即， ∴ 无论取何实数，该方程总有实数根。 (2) 将代入方程得：， 解得。 将代入原方程得， 用公式法解得：，， ，即。 故方程的另一个根为 2。 15．解：(1) ∵ 方程是一元二次方程，∴ 。 ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 展开得：， 化简得：，解得。 综上，的取值范围是 且 。 (2) 由 (1) 可知，满足条件的正整数为：1，2，3，……（所有正整数均满足）。 16．解：任务一：一；常数项符号判断错误，移项后常数项应为，而非。 任务二：正确解答过程： 移项得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $