21.2.2公式法解一元二次方程 课堂限时训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦公式法解一元二次方程，分层设计基础巩固、中档应用、提高拓展三级梯度，通过概念辨析、运算强化、综合探究构建知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|a,b,c确定、方程还原、直接解方程|选择1-3、填空9，直接应用公式，强化符号意识| |中档|判别式计算、参数取值、步骤纠错|选择4-6、填空10-11、解答13-14，结合易错分析，发展运算能力| |提高|新定义运算、几何背景、根的综合应用|选择7-8、填空12、解答15-18，创设创新情境，培养推理意识与模型观念|

2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第21章） 21.2.2 公式法解一元二次方程课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是(     ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程可能是(     ) A. B. C. D. 3.如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是(     ) A. B. C. D. 4.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(     ) A. B. C. 且 D. 且 5.小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 小明的解答过程开始出错的步骤是(     ) A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 6.用公式法解方程时，的值为(     ) A. B. C. D. 7.定义运算：如：，则方程的根的情况为(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 8.将个数，，，排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.一元二次方程的根是           ． 10.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是           ． 11.若关于的一元二次方程有实数根，则为整数的最大值为           ． 12.在一元二次方程中，的值是           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分用公式法解下面的方程： ； ． 14.本小题分 已知关于的一元二次方程为常数，且． 若，，，求的值 若，求证：方程总有实数根． 15.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：此方程总有两个不相等的实数根． 若为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的两个根． 16.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个实数根； 若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 17.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若是方程的一个解，写出，满足的关系式． 当时，利用根的判别式判断方程的根的情况． 若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的正整数，的值，并求出此时方程的根． 18.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； 若等腰的一边长为，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第21章） 21.2.2 公式法解一元二次方程课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是(     ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程可能是(     ) A. B. C. D. 3.如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是(     ) A. B. C. D. 4.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(     ) A. B. C. 且 D. 且 5.小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 小明的解答过程开始出错的步骤是(     ) A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 6.用公式法解方程时，的值为(     ) A. B. C. D. 7.定义运算：如：，则方程的根的情况为(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 8.将个数，，，排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.一元二次方程的根是           ． 10.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是           ． 11.若关于的一元二次方程有实数根，则为整数的最大值为           ． 12.在一元二次方程中，的值是           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分用公式法解下面的方程： ； ． 14.本小题分 已知关于的一元二次方程为常数，且． 若，，，求的值 若，求证：方程总有实数根． 15.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：此方程总有两个不相等的实数根． 若为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的两个根． 16.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个实数根； 若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 17.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若是方程的一个解，写出，满足的关系式． 当时，利用根的判别式判断方程的根的情况． 若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的正整数，的值，并求出此时方程的根． 18.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； 若等腰的一边长为，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第21章） 21.2.2 公式法解一元二次方程课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是(     ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B  2.用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程可能是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  3.如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  4.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(     ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  【解析】解：方程有两个实数根， 根的判别式， 即，且． 故选：． 若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为． 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 5.小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 小明的解答过程开始出错的步骤是(     ) A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 【答案】C  6.用公式法解方程时，的值为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  7.定义运算：如：，则方程的根的情况为(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A  8.将个数，，，排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】A  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.一元二次方程的根是           ． 【答案】，  10.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】略 11.若关于的一元二次方程有实数根，则为整数的最大值为          ． 【答案】  12.在一元二次方程中，的值是          ． 【答案】  三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分用公式法解下面的方程： ； ． 【答案】(1)，  (2)，  14.本小题分 已知关于的一元二次方程为常数，且． 若，，，求的值 若，求证：方程总有实数根． 【答案】(1)解:a=,b=1,c=-, 原方程可化为+x-=0, 即+2x-3=0, 解得=1,=-3, x的值为1或-3; (2)证明:b=a+c, 原方程可化为a+(a+c)x+c=0, =-4ac=+2ac+-4ac=-2ac+=0, 方程总有实数根. 15.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：此方程总有两个不相等的实数根． 若为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的两个根． 【答案】(1)解：∵二次函数为， ∴，，， ∴， ∴此方程总有两个不相等的实数根． (2)∵当m=1时，原方程为， ∴原式可化为，则， ∴或， ∴当m=1时，或满足题意（答案不唯一）．  【解析】  表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可得出结论．  求出两根，根据方程的根都是整数，可求得的值． 16.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个实数根； 若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】(1)解：， 该方程总有两个实数根；  (2)一元二次方程的根为， ，. ，且该方程的两个实数根的差为2， ， .  17.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若是方程的一个解，写出，满足的关系式． 当时，利用根的判别式判断方程的根的情况． 若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的正整数，的值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)解：∵x＝1是方程的一个解， ∴． ∴．  (2)． ∵b＝a+1， ∴Δ＝(a+1)2-2a＝a2+2a+1-2a＝a2+1＞0． ∴方程有两个不相等的实数根．  (3)∵方程有两个相等的实数根， ∴b2-2a＝0，即b2＝2a． ∵a，b为正整数， ∴取a＝2，b＝2． ∴方程为，解得．（答案不唯一，合理即可）  18.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； 若等腰的一边长为，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)证明： ， 无论为何值，方程总有实数根；  (2)解：由（1）知． ，． 是等腰三角形， 由题意知可分三种情况： ①当时，三边是6，6，4，此时周长是； ②当时，三边是6，2，2，不能构成三角形； ③当时，三边是6，6，10，此时周长是22． 综上所述，的周长是16或22．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $