第18讲 近似数小升初衔接2026-2027学年人教版七年级数学上册

2.3.3 近似数 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 目标 1　理解精确数与近似数、误差的意义 能准确区分 精确数（准确值） 与 近似数（约值）；理解 |近似数 − 真值| = 误差 与「近似数不是随便乱写、而是有精确度约束」的核心思想。 目标 2　掌握精确度 给一个近似数能说出它精确到哪一位。 目标 3　熟练判定有效数字 能对普通数与科学记数法数按 「从左起第一个非零数字算起，一直到末位」 的规则判定有效数字个数。 二、重难点 重点 ① 精确数 vs 近似数的辨析；　② 精确度的两种表达（精确到某位 & 保留有效数字）；　③ 有效数字的判定三规则；　④ 四舍五入的正确使用。 难点 ① 末尾 0 是否是有效数字（3.20 有 3 个， 3.2 只有 2 个）；　② 科学记数法中 a × 10ⁿ 里 只数 a 的有效数字；　③ 「精确到某位」与「保留 k 位有效数字」的等价换算。 易错点 ① 把精确数误判为近似数 —— 例如「班级有 45 人」是 精确数（可数），学生易误以为它是近似数；反之「地球半径 6 400 km」是 近似数（测量得来）。 ② 末尾 0 的有效性判定错 —— 3.20 有 3 个有效数字，但 3.2 只有 2 个；书写时的每一个 0 都是「态度」。 ③ 科学记数法中错数了 10ⁿ —— 3.4 × 10⁶ 的有效数字只有 3、4 两个，学生易把 6 也算进去；10ⁿ 只表示量级、不参与有效数字统计。 ④ 四舍五入的边界处理 —— 精确到十位，376 → 380（对，进位）；375 → 380（对，逢 5 进 1）；374 → 370（对，舍去）；学生易把 375 舍成 370。 ⑤ 精确度换算混淆 —— 3 400 000 用科学记数法精确到「万位」应写为 3.40 × 10⁶（3 位有效数字，末位 0 表示精确到万位），学生常写成 3.4 × 10⁶，「态度」不同。 ⑥ 大数近似遗漏乘方形式 —— 5 630 000 精确到十万位应写为 5.6 × 10⁶，学生若写成 5 600 000，则无法准确表达精确度；「精确度信息必须写在 a 里」。 三、复习回顾与情境导入 【回顾一】科学记数法回忆 —— 承接 2.3.2 请回忆学过的科学记数法 a × 10ⁿ，填空复习：注意 a 的取值范围与 n 的属性。 原数 科学记数法 a 里有几个数字 ？ 3 000 000 ________ ____ 个 3 400 000 ________ ____ 个 3 405 000 ________ ____ 个 3 400 000（要求精确到万位） ________ ____ 个 【回顾二】生活里的数 —— 哪些是「准的」，哪些是「大约的」？ 请在下表中判断：这些数是「刚好等于」还是「大约等于」？ 情境 数值 准确 / 大约 ？ 我们班有多少人 45 人 ________ 小明的身高 1.65 米 ________ 圆周率 π 3.14 ________ 一支笔的价格 3 元 ________ 地球到月球距离 38 万 km ________ 【情境导入】某市人口普查数 —— 该保留几位 ？ 某市 2023 年人口普查公布数据为 5 632 471 人（普查当日精确统计）。请思考： ① 如果政府工作报告需要展示这个数据，你会写成 5 632 471 还是「约 560 万」？ ② 如果新闻主持人口播，你希望她读哪一种？ ③ 「约 560 万」和「约 563 万」都是近似数，但哪一个更精确？依据是什么？ 这就是本节要解决的问题 —— 近似数不是「乱写」，它有精确度约束，用「有效数字」来描述。 四、新知探究 ★ 探究一 · 精确数 vs 近似数的辨析 阅读教材 P55，理解并填空： 类别 定义 举例 精确数 　 　 近似数 　 　 误差 　 　 ★ 判断口诀： 「可数、可点算」→ 精确数；「测量、估计、约值」→ 近似数。 ★ 探究二 · 精确度的两种表达方式 同一个近似数，可以用两种方式表达它的精确度： 表达方式 含义 举例（原数 5 632 471） ① 精确到某位 　 　 ② 保留 k 位有效数字 　 　 ★ 等价换算： 5 632 471 精确到万位 = 5.63 × 10⁶，两者都是 3 位有效数字。大数的精确度必须用科学记数法来「精准表达」，否则末尾一堆 0 无法辨别是否有效。 ★ 探究三 · 有效数字判定三规则 定义： 一个近似数，从左起 第一个非零数字 起，到最末位止，之间所有的数字都是 有效数字。 规则 表述 正例 反例（不算的 0） ① 从第一个非零数字起数 3.14 → 3 个（3、1、4） 0.031 → 前面的 0、0 不算 ② 中间与末尾的 0 都算 3.20 → 3 个（3、2、0）；305 → 3 个 3.20 的末位 0 表示态度 ③ 科学记数法只数 a 里的数字，10ⁿ 不算 3.4 × 10⁶ → 2 个（3、4） 10⁶ 只表量级 ★ 探究四 · 四舍五入取近似值 四舍五入法： 保留到指定位后，看它 下一位的数字：小于 5 舍去，大于等于 5 进位。 原数 要求 结果 & 依据 π = 3.14159... 精确到 0.01（百分位） ____________ π = 3.14159... 精确到 0.001（千分位） ____________ 2.4956 精确到 0.01 ____________ 5 632 471 精确到万位（并用科学记数法） ____________ 5 632 471 精确到十万位（并用科学记数法） ____________ ★ 一句话口诀： 保留看下位，四舍五入进 —— 五进不五舍。 五、例题精讲 例1　判断下列各数是精确数还是近似数 （1）我校七年级共有 328 名学生 （2）光速约为 300 000 000 m/s （3）某商店一件商品售价 39.9 元 （4）某市面积约 6 340 km² 例2　★ 确定下列近似数的有效数字个数 （1）2.6 　（2）0.038 　（3）4.005 　（4）502.0 　（5）3.4 × 10⁶ 　（6）1.05 × 10⁻³ 例3　★ 按要求取近似值，并用科学记数法写出 （1）3 720 精确到百位 （2）0.030 6 精确到千分位 （3）5 632 471 精确到万位，用科学记数法表示 （4）保留 3 位有效数字：0.020 356 六、当堂检测 Part 1 · 判断精确数 / 近似数（每题 3 分，共 12 分） 1. 某中学有教师 128 人　　(________) 1. 月亮到地球的平均距离约 384 000 km　　(________) 1. 某种商品的单价是 25 元　　(________) 1. 某物体质量约为 5.6 kg　　(________) Part 2 · 指出有效数字个数（每题 4 分，共 24 分） 1. 5.7　　________ 1. 0.030　　________ 1. 4.05　　________ 1. 502.0　　________ 1. 3.4 × 10⁷　　________ 1. 2.030 × 10⁵　　________ Part 3 · 按要求取近似值（每题 4 分，共 16 分） （1）0.5486 精确到百分位 （2）8.264 精确到 0.1 （3）3 950 000 精确到十万位（用科学记数法） （4）保留 2 位有效数字：0.024 78 Part 4 · 综合应用（18 分） 某市 2023 年人口普查数据为 5 683 429 人。请回答： 1. 这个数是精确数还是近似数 ？（2 分） 1. 请把它保留 2 位有效数字，并用科学记数法表示。（5 分） 1. 请把它精确到万位，并用科学记数法表示。（5 分） 1. 如果新闻报道写「某市人口 570 万」，这个数保留了几位有效数字 ？（6 分） 七、思维导图与口诀 一张图看懂本节全部要点： 2.3.3 近似数与有效数字 │ ┌──────────────────┬──────────┴──────────┬──────────────────┐ │ │ │ │ ① 精确数 ② 近似数 ③ 精确度 ④ 有效数字 可数、可点算 测量、估计、约值 两种表达 判定三规则 │ │ │ │ 班级 45 人 身高 1.65 m 精确到某位（万/千/百分） ① 从首非零起数 笔 3 元 π ≈ 3.14 保留 k 位有效数字 ② 中间末尾 0 都算 地球半径 6400 km ↓ 等价 ↓ ③ 10ⁿ 不算 大数必须用 a×10ⁿ 表达 ↓ 四舍五入取近似值 保留看下位、五进不五舍 ★★ 三大口诀 ★★ 口诀一（判精确/近似）： 可数是精确，测量是近似。 口诀二（数有效数字）： 首非零起数，中末 0 都算，10ⁿ 不算。 口诀三（四舍五入）： 保留看下位，五进不五舍。 一句话总结： 近似数不是「乱写」的数，每一位数字都是「态度」；末位 0 = 精确度承诺，10ⁿ = 量级说明。 八、分层作业 🅰 基础层 · 6 判断 + 6 有效数字 (一) 判断精确数或近似数（每题 2 分，共 12 分） 1. 月球到地球平均距离约 38 万 km。　　(________) 1. 一年有 12 个月。　　(________) 1. 某种电池电压为 1.5 V。　　(________) 1. 某班学生人数为 46。　　(________) 1. 圆周率 π ≈ 3.14。　　(________) 1. 每小时 60 分钟。　　(________) (二) 指出下列各近似数的有效数字个数（每题 3 分，共 18 分） 1. 3.9　　________ 1. 0.086　　________ 1. 5.008　　________ 1. 7.20　　________ 1. 6.4 × 10⁴　　________ 1. 1.005 × 10⁶　　________ 🅱 进阶层 · 4 四舍五入 + 3 精确度换算 (一) 四舍五入取近似值（每题 5 分，共 20 分） 1. π = 3.14159 精确到 0.001。 1. 6 549 保留 2 位有效数字，用科学记数法表示。 1. 0.005 826 精确到万分位。 1. 某地面积 4 862 万 km²，精确到千万位，用科学记数法表示。 (二) 精确度换算（每题 4 分，共 12 分） 1. 近似数 3.20 × 10⁴ 精确到哪一位 ？保留了几位有效数字 ？ 1. 近似数 6.5 万 精确到哪一位 ？保留了几位有效数字 ？ 1. 将 8 750 精确到十位，结果是多少 ？请分别用普通数和科学记数法表示。 🅲 挑战层 · 精度选择/π 位数/章节交叉 (1) ★ 精度选择：银行利息 某储户存入银行 10 000 元，年利率 3.15%，一年到期利息为 315 元。请思考： 1. ① 「10 000 元」是精确数还是近似数 ？ 1. ② 若利息应为 315.279 元，为什么银行只给出 315 元 ？（保留几位有效数字 ？） 1. ③ 生活中你还见过哪些「精确到分」的场景 ？ (2) ★ π 的位数：不同精度的碰撞 圆周率 π 的真值是 3.141 592 653 589 79...。请用不同精度取近似值： 1. ① 保留 2 位有效数字：____________ 1. ② 保留 4 位有效数字：____________ 1. ③ 精确到 0.001：____________ 1. ④ 精确到十万分位：____________ 1. ⑤ 三国祖冲之算到「7 位有效数字」，是多少 ？请写出。 (3) ★★★ 章节交叉终极战 · 城市面积密度 已知某市面积约 6.34 × 10³ km²，人口约 5.68 × 10⁶ 人。请回答： 1. ① 求人口密度（人/km²），结果保留 3 位有效数字。 1. ② 面积 6.34 × 10³ 保留了几位有效数字 ？精确到哪一位 ？ 1. ③ 若面积测量误差为 ±10 km²，说明为何面积不能写成 6 340 而应写成 6.34 × 10³ km²。 九、学习反思 请对照下表，如实评估本节学习的达成度，并在「后续行动」栏写下具体补习计划： 检核维度 自评 我的证据 / 后续行动 ① 我能准确区分「精确数」和「近似数」（可数/约定 vs 测量/估计）。 ☆☆☆☆☆ 　 ② 我能说出精确度的两种表达方式（精确到某位 & 保留 k 位有效数字）。 ☆☆☆☆☆ 　 ③ 我能按三规则判定有效数字个数（首非零起、中末 0 算、10ⁿ 不算）。 ☆☆☆☆☆ 　 ④ 我能正确四舍五入取近似值（保留看下位、五进不五舍）。 ☆☆☆☆☆ 　 ⑤ 我能把大数的精确度用科学记数法精准表达（a × 10ⁿ 中 a 体现有效数字）。 ☆☆☆☆☆ 　 ⑥ 我能把本章 2.1.1~2.3.3 串成一张完整的知识网（运算法则→混合→科学记数→精确度）。 ☆☆☆☆☆ 　 ───────────────────────────────────────── 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3 近似数 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 目标 1　理解精确数与近似数、误差的意义 能准确区分 精确数（准确值） 与 近似数（约值）；理解 |近似数 − 真值| = 误差 与「近似数不是随便乱写、而是有精确度约束」的核心思想。 目标 2　掌握精确度 给一个近似数能说出它精确到哪一位。 目标 3　熟练判定有效数字 能对普通数与科学记数法数按 「从左起第一个非零数字算起，一直到末位」 的规则判定有效数字个数。 二、重难点 重点 ① 精确数 vs 近似数的辨析；　② 精确度的两种表达（精确到某位 & 保留有效数字）；　③ 有效数字的判定三规则；　④ 四舍五入的正确使用。 难点 ① 末尾 0 是否是有效数字（3.20 有 3 个 ， 3.2 只有 2 个）；　② 科学记数法中 a × 10ⁿ 里 只数 a 的有效数字；　③ 「精确到某位」与「保留 k 位有效数字」的等价换算。 易错点 ① 把精确数误判为近似数 —— 例如「班级有 45 人」是 精确数（可数），学生易误以为它是近似数；反之「地球半径 6 400 km」是 近似数（测量得来）。 ② 末尾 0 的有效性判定错 —— 3.20 有 3 个有效数字，但 3.2 只有 2 个；书写时的每一个 0 都是「态度」。 ③ 科学记数法中错数了 10ⁿ —— 3.4 × 10⁶ 的有效数字只有 3、4 两个，学生易把 6 也算进去；10ⁿ 只表示量级、不参与有效数字统计。 ④ 四舍五入的边界处理 —— 精确到十位，376 → 380（对，进位）；375 → 380（对，逢 5 进 1）；374 → 370（对，舍去）；学生易把 375 舍成 370。 ⑤ 精确度换算混淆 —— 3 400 000 用科学记数法精确到「万位」应写为 3.40 × 10⁶（3 位有效数字，末位 0 表示精确到万位），学生常写成 3.4 × 10⁶，「态度」不同。 ⑥ 大数近似遗漏乘方形式 —— 5 630 000 精确到十万位应写为 5.6 × 10⁶，学生若写成 5 600 000，则无法准确表达精确度；「精确度信息必须写在 a 里」。 三、复习回顾与情境导入 【回顾一】科学记数法回忆 —— 承接 2.3.2 请回忆学过的科学记数法 a × 10ⁿ，填空复习：注意 a 的取值范围与 n 的属性。 原数 科学记数法 a 里有几个数字 ？ 3 000 000 3 × 10⁶ 1 个（就是 3） 3 400 000 3.4 × 10⁶ 2 个（3、4） 3 405 000 3.405 × 10⁶ 4 个（3、4、0、5） 3 400 000（要求精确到万位） 3.40 × 10⁶ 3 个（3、4、0） 【教学建议 · 铺垫「有效数字」概念】在讲解本节之前，学生已经直觉性地感受到「a 里保留几位数字」的区别。这张表就是把这种直觉唤醒 —— 最后一行的 3.40 × 10⁶ 和 第二行的 3.4 × 10⁶ 数值相等，但意义不同，本节即将揭示为什么。 【回顾二】生活里的数 —— 哪些是「准的」，哪些是「大约的」？ 请在下表中判断：这些数是「刚好等于」还是「大约等于」？ 情境 数值 准确 / 大约 ？ 我们班有多少人 45 人 准确 小明的身高 1.65 米 大约 圆周率 π 3.14 大约（π 是无理数） 一支笔的价格 3 元 准确 地球到月球距离 38 万 km 大约 【情境导入】某市人口普查数 —— 该保留几位 ？ 某市 2023 年人口普查公布数据为 5 632 471 人（普查当日精确统计）。请思考： ① 如果政府工作报告需要展示这个数据，你会写成 5 632 471 还是「约 560 万」？ ② 如果新闻主持人口播，你希望她读哪一种？ ③ 「约 560 万」和「约 563 万」都是近似数，但哪一个更精确？依据是什么？ 这就是本节要解决的问题 —— 近似数不是「乱写」，它有精确度约束，用「有效数字」来描述。 【教学建议 · 三层递进】 第 1 层 · 感受必要：学生自己给出「约 560 万」「约 563 万」等答案 → 都是近似数，但精确度不同。 第 2 层 · 引出精确度：为什么「约 563 万」比「约 560 万」更精确？→ 前者用了 3 个有效数字，后者只用了 2 个。 第 3 层 · 揭示标准：提出本节核心 —— 用「精确到某一位」或「保留 k 位有效数字」两种方式量化近似数的精确度。 四、新知探究 ★ 探究一 · 精确数 vs 近似数的辨析 阅读教材 P55，理解并填空： 类别 定义 举例 精确数 与实际完全相符（可数、可点算、约定俗成）的数。 班级 45 人、笔 3 元、一年 12 个月、7 天 近似数 只与实际接近（测量、估计、四舍五入得到）的数。 身高 1.65 m、地球半径 6400 km、π ≈ 3.14、体重 55 kg 误差 | 近似数 − 真值 | 就是误差，误差越小越精确。 π 的真值 3.14159... → 用 3.14 的误差 ≈ 0.00159 ★ 判断口诀： 「可数、可点算」→ 精确数；「测量、估计、约值」→ 近似数。 ★ 探究二 · 精确度的两种表达方式 同一个近似数，可以用两种方式表达它的精确度： 表达方式 含义 举例（原数 5 632 471） ① 精确到某位 四舍五入到指定的数位（万位/千位/个位/0.01 等）。 精确到万位 → 563 万 → 5 630 000 ② 保留 k 位有效数字 保留从左起 k 个有效数字（后面的四舍五入）。 保留 3 位有效数字 → 5.63 × 10⁶ ★ 等价换算： 5 632 471 精确到万位 = 5.63 × 10⁶，两者都是 3 位有效数字。大数的精确度必须用科学记数法来「精准表达」，否则末尾一堆 0 无法辨别是否有效。 ★ 探究三 · 有效数字判定三规则 定义： 一个近似数，从左起 第一个非零数字 起，到最末位止，之间所有的数字都是 有效数字。 规则 表述 正例 反例（不算的 0） ① 从第一个非零数字起数 3.14 → 3 个（3、1、4） 0.031 → 前面的 0、0 不算 ② 中间与末尾的 0 都算 3.20 → 3 个（3、2、0）；305 → 3 个 —— 3.20 的末位 0 表示态度 ③ 科学记数法只数 a 里的数字，10ⁿ 不算 3.4 × 10⁶ → 2 个（3、4） —— 10⁶ 只表量级 【判定练习】 ① 0.030 → 2 个（3、0；前面的 0、0 不算，末尾 0 算） ② 502.0 → 4 个（5、0、2、0） ③ 1.05 × 10⁴ → 3 个（1、0、5，10⁴ 不算） ④ 5 630 000 → 难判定（末尾 4 个 0 可能有效可能不有效 → 必须用科学记数法明示，如 5.63 × 10⁶ 表明保留 3 位有效数字） ★ 探究四 · 四舍五入取近似值 四舍五入法： 保留到指定位后，看它 下一位的数字：小于 5 舍去，大于等于 5 进位。 原数 要求 结果 & 依据 π = 3.14159... 精确到 0.01（百分位） 3.14（下一位 1 < 5 舍） π = 3.14159... 精确到 0.001（千分位） 3.142（下一位 5 ≥ 5 进） 2.4956 精确到 0.01 2.50（下一位 5 进 1，末位 0 保留） 5 632 471 精确到万位（并用科学记数法） 5.63 × 10⁶（下一位 2 < 5 舍） 5 632 471 精确到十万位（并用科学记数法） 5.6 × 10⁶（下一位 3 < 5 舍） ★ 一句话口诀： 保留看下位，四舍五入进 —— 五进不五舍。 五、例题精讲 例1　判断下列各数是精确数还是近似数 （1）我校七年级共有 328 名学生 （2）光速约为 300 000 000 m/s （3）某商店一件商品售价 39.9 元 （4）某市面积约 6 340 km² 解： （1） 328 名学生 —— 通过点算得到 → 精确数 （2） 「约为」表明是测量值 → 近似数 （3） 售价按明码标价 → 精确数 （4） 「约」+ 测量得来 → 近似数 【关键提示】 判断的核心不是「数字大小」，而是「来源」—— 可点算/明码约定的是精确数，测量/估计/无理数取近似的是近似数。 例2　★ 确定下列近似数的有效数字个数 （1）2.6 　（2）0.038 　（3）4.005 　（4）502.0 　（5）3.4 × 10⁶ 　（6）1.05 × 10⁻³ 解： 按「从第一个非零数字起数，中间与末尾 0 都算，10ⁿ 不算」规则： （1）2.6 → 2 个（2、6） （2）0.038 → 2 个（3、8；前面的 0、0 不算） （3）4.005 → 4 个（4、0、0、5；中间 0 算） （4）502.0 → 4 个（5、0、2、0；末尾 0 算 —— 表示精确到十分位） （5）3.4 × 10⁶ → 2 个（3、4；10⁶ 不算） （6）1.05 × 10⁻³ → 3 个（1、0、5；10⁻³ 不算 —— 这就是 2.3.2 附录 E 预告的负 n 世界） 【教学提醒】 (6) 是本节向下一册的桥梁 —— 科学记数法在极小数上同样适用，判定规则不变。 例3　★ 按要求取近似值，并用科学记数法写出 （1）3 720 精确到百位 （2）0.030 6 精确到千分位 （3）5 632 471 精确到万位，用科学记数法表示 （4）保留 3 位有效数字：0.020 356 解： （1） 3 720 精确到百位 → 看十位数字 2 < 5 舍 → 3 700 → 用科学记数法 3.7 × 10³（保留 2 位有效数字） （2） 0.030 6 精确到千分位（0.001）→ 看万分位 6 ≥ 5 进 → 0.031（保留 2 位有效数字） （3） 5 632 471 精确到万位 → 看千位 2 < 5 舍 → 5 630 000 → 5.63 × 10⁶（保留 3 位有效数字） （4） 0.020 356 保留 3 位有效数字（2、0、3）→ 看第 4 位 5 ≥ 5 进 → 0.020 4（若用科学记数法：2.04 × 10⁻²） 【思路点拨】 大数精确到某位时，务必用科学记数法 a × 10ⁿ 表达，才能明确精确度；直接写 5 630 000 会让人无法判断 4 个末尾 0 是否有效。 六、当堂检测 Part 1 · 判断精确数 / 近似数（每题 3 分，共 12 分） 1. 某中学有教师 128 人　　(精确数) 1. 月亮到地球的平均距离约 384 000 km　　(近似数) 1. 某种商品的单价是 25 元　　(精确数) 1. 某物体质量约为 5.6 kg　　(近似数) Part 2 · 指出有效数字个数（每题 4 分，共 24 分） 1. 5.7　　2 个 1. 0.030　　2 个 1. 4.05　　3 个 1. 502.0　　4 个 1. 3.4 × 10⁷　　2 个 1. 2.030 × 10⁵　　4 个 Part 3 · 按要求取近似值（每题 4 分，共 16 分） （1）0.5486 精确到百分位 （2）8.264 精确到 0.1 （3）3 950 000 精确到十万位（用科学记数法） （4）保留 2 位有效数字：0.024 78 解： （1） 0.5486 → 千分位 8 ≥ 5 进 → 0.55 （2） 8.264 → 百分位 6 ≥ 5 进 → 8.3 （3） 3 950 000 → 万位 5 ≥ 5 进 → 4 000 000 → 4.0 × 10⁶（末位 0 表示精确到十万位） （4） 0.024 78 → 保留 2 位（2、4）→ 看第 3 位 7 ≥ 5 进 → 0.025 Part 4 · 综合应用（18 分） 某市 2023 年人口普查数据为 5 683 429 人。请回答： 1. 这个数是精确数还是近似数 ？（2 分） 1. 请把它保留 2 位有效数字，并用科学记数法表示。（5 分） 1. 请把它精确到万位，并用科学记数法表示。（5 分） 1. 如果新闻报道写「某市人口 570 万」，这个数保留了几位有效数字 ？（6 分） 解： （1） 人口普查通过实际统计得到，理论上精确到 1 人 → 精确数（本身）；但由于人口每时每刻在变化，此数据在使用时通常作为「近似数」处理。 （2） 5 683 429 → 保留 2 位（5、6）→ 看第 3 位 8 ≥ 5 进 → 5 700 000 → 5.7 × 10⁶ 人 （3） 精确到万位 → 看千位 3 < 5 舍 → 5 680 000 → 5.68 × 10⁶ 人（3 位有效数字） （4） 570 万 = 5.70 × 10⁶ → 保留了 3 位有效数字（5、7、0；末位 0 是「态度」）；若写成 5.7 × 10⁶ 则只有 2 位。 七、思维导图与口诀 一张图看懂本节全部要点： 2.3.3 近似数与有效数字 │ ┌──────────────────┬──────────┴──────────┬──────────────────┐ │ │ │ │ ① 精确数 ② 近似数 ③ 精确度 ④ 有效数字 可数、可点算 测量、估计、约值 两种表达 判定三规则 │ │ │ │ 班级 45 人 身高 1.65 m 精确到某位（万/千/百分） ① 从首非零起数 笔 3 元 π ≈ 3.14 保留 k 位有效数字 ② 中间末尾 0 都算 地球半径 6400 km ↓ 等价 ↓ ③ 10ⁿ 不算 大数必须用 a×10ⁿ 表达 ↓ 四舍五入取近似值 保留看下位、五进不五舍 ★★ 三大口诀 ★★ 口诀一（判精确/近似）： 可数是精确，测量是近似。 口诀二（数有效数字）： 首非零起数，中末 0 都算，10ⁿ 不算。 口诀三（四舍五入）： 保留看下位，五进不五舍。 一句话总结： 近似数不是「乱写」的数，每一位数字都是「态度」；末位 0 = 精确度承诺，10ⁿ = 量级说明。 八、分层作业 🅰 基础层 · 6 判断 + 6 有效数字 (一) 判断精确数或近似数（每题 2 分，共 12 分） 1. 月球到地球平均距离约 38 万 km。　　(近似数) 1. 一年有 12 个月。　　(精确数) 1. 某种电池电压为 1.5 V。　　(近似数) 1. 某班学生人数为 46。　　(精确数) 1. 圆周率 π ≈ 3.14。　　(近似数) 1. 每小时 60 分钟。　　(精确数) (二) 指出下列各近似数的有效数字个数（每题 3 分，共 18 分） 1. 3.9　　2 个 1. 0.086　　2 个 1. 5.008　　4 个 1. 7.20　　3 个 1. 6.4 × 10⁴　　2 个 1. 1.005 × 10⁶　　4 个 🅱 进阶层 · 4 四舍五入 + 3 精确度换算 (一) 四舍五入取近似值（每题 5 分，共 20 分） 1. π = 3.14159 精确到 0.001。 1. 6 549 保留 2 位有效数字，用科学记数法表示。 1. 0.005 826 精确到万分位。 1. 某地面积 4 862 万 km²，精确到千万位，用科学记数法表示。 解： （1） 3.14159 → 万分位 5 ≥ 5 进 → 3.142 （2） 6 549 → 保留 2 位（6、5）→ 第 3 位 4 < 5 舍 → 6 500 → 6.5 × 10³ （3） 0.005 826 → 万分位（0.000 1）→ 第 5 位 6 ≥ 5 进 → 0.005 8（十万分位为 0 舍）→ 更准确写 0.005 8；等价 5.8 × 10⁻³。 （4） 4 862 万 = 4.862 × 10⁷ → 精确到千万位（10⁷ 位）→ 看百万位 8 ≥ 5 进 → 5 × 10⁷（1 位有效数字） (二) 精确度换算（每题 4 分，共 12 分） 1. 近似数 3.20 × 10⁴ 精确到哪一位 ？保留了几位有效数字 ？ 1. 近似数 6.5 万 精确到哪一位 ？保留了几位有效数字 ？ 1. 将 8 750 精确到十位，结果是多少 ？请分别用普通数和科学记数法表示。 解： （1） 3.20 × 10⁴ = 32 000 → 末位数字「0」处于百位（因为 3.20 × 10⁴ 展开是 32 0 00，'0'是百位数字）→ 精确到 百位，保留 3 位有效数字（3、2、0）。 （2） 6.5 万 = 6.5 × 10⁴ = 65 000 → 末位「5」处于千位 → 精确到 千位，保留 2 位有效数字。 （3） 8 750 → 十位数字 5 ≥ 5 进 → 8 800 → 8 800（普通数）= 8.80 × 10³（科学记数法）（末位 0 表示精确到十位） 🅲 挑战层 · 精度选择/π 位数/章节交叉 (1) ★ 精度选择：银行利息 某储户存入银行 10 000 元，年利率 3.15%，一年到期利息为 315 元。请思考： 1. ① 「10 000 元」是精确数还是近似数 ？ 1. ② 若利息应为 315.279 元，为什么银行只给出 315 元 ？（保留几位有效数字 ？） 1. ③ 生活中你还见过哪些「精确到分」的场景 ？ ① 精确数（存单上明码写清，具有法律效力） ② 保留 3 位有效数字（315.279 → 十分位 2 < 5 舍 → 315；因为货币最小单位为「元」时舍去小数）；实际银行常精确到「分」，此题给出到「元」是简化。 ③ 场景： 电费缴纳、股票价格、税款计算、发工资、支付宝零钱 —— 全是「精确到分」的四舍五入。 (2) ★ π 的位数：不同精度的碰撞 圆周率 π 的真值是 3.141 592 653 589 79...。请用不同精度取近似值： 1. ① 保留 2 位有效数字：____________ 1. ② 保留 4 位有效数字：____________ 1. ③ 精确到 0.001：____________ 1. ④ 精确到十万分位：____________ 1. ⑤ 三国祖冲之算到「7 位有效数字」，是多少 ？请写出。 解： ① π ≈ 3.1（3、1 两位） ② π ≈ 3.142（3、1、4、2 四位，第 5 位 5 进） ③ π ≈ 3.142（等价于保留 4 位有效数字） ④ π ≈ 3.141 59（十万分位是从小数点后第 5 位；第 6 位 2 < 5 舍） ⑤ 祖冲之：π ≈ 3.141 592（7 位有效数字，领先西方约 1000 年 —— 也是 8 年级人物介绍的常客）。 【思维价值】 学生第一次感受「同一个数在不同精度下的多副面孔」—— 这是所有理科（物理测量、化学计量、生物计数）的通用语言。 (3) ★★★ 章节交叉终极战 · 城市面积密度 已知某市面积约 6.34 × 10³ km²，人口约 5.68 × 10⁶ 人。请回答： 1. ① 求人口密度（人/km²），结果保留 3 位有效数字。 1. ② 面积 6.34 × 10³ 保留了几位有效数字 ？精确到哪一位 ？ 1. ③ 若面积测量误差为 ±10 km²，说明为何面积不能写成 6 340 而应写成 6.34 × 10³ km²。 解： ① 密度 = 人口 ÷ 面积 = (5.68 × 10⁶) ÷ (6.34 × 10³) = (5.68 ÷ 6.34) × 10³ ≈ 0.896 × 10³ = 8.96 × 10² 人/km²（约 896 人/km²） ② 6.34 × 10³ → a 部分 3 位数字（6、3、4）→ 保留 3 位有效数字；6.34 × 10³ = 6 340，末位「4」处于个位 → 精确到 个位。 ③ 理由： 若写成 6 340，学生无法判断末尾 0 是否有效；写成 6.34 × 10³ 明确表示「精确到个位、保留 3 位有效数字」，若测量误差 ±10 km² 则应写成 6.3 × 10³（保留 2 位有效数字，精确到十位）—— 科学记数法是描述精确度的最优解。 【终极价值】 本题串起：乘方 → 混合运算 → 科学记数法 → 有效数字，为第 2 章画上完美句号。 九、学习反思 请对照下表，如实评估本节学习的达成度，并在「后续行动」栏写下具体补习计划： 检核维度 自评 我的证据 / 后续行动 ① 我能准确区分「精确数」和「近似数」（可数/约定 vs 测量/估计）。 ☆☆☆☆☆ 　 ② 我能说出精确度的两种表达方式（精确到某位 & 保留 k 位有效数字）。 ☆☆☆☆☆ 　 ③ 我能按三规则判定有效数字个数（首非零起、中末 0 算、10ⁿ 不算）。 ☆☆☆☆☆ 　 ④ 我能正确四舍五入取近似值（保留看下位、五进不五舍）。 ☆☆☆☆☆ 　 ⑤ 我能把大数的精确度用科学记数法精准表达（a × 10ⁿ 中 a 体现有效数字）。 ☆☆☆☆☆ 　 ⑥ 我能把本章 2.1.1~2.3.3 串成一张完整的知识网（运算法则→混合→科学记数→精确度）。 ☆☆☆☆☆ 　 学科网（北京）股份有限公司 $