第11讲 有理数的乘法 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

2.2.1 有理数的乘法 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 理解有理数乘法的意义——从“相同加数相加”自然过渡到乘法；掌握有理数的乘法法则——“同号得正、异号得负，并把绝对值相乘”；任何数与 0 相乘都得 0。 1. 熟练进行两个有理数相乘的计算，能够正确判断结果的符号，并计算出准确的绝对值。 1. 理解倒数的概念——乘积为 1 的两个数互为倒数；掌握求一个数的倒数的方法（正数、负数、分数）；理解 0 没有倒数。 【过程与方法】 1. 经历“相同加数相加 → 转化为乘法 → 观察规律 → 归纳法则”的完整过程，体会从特殊到一般的归纳思想。 1. 通过“正数×负数”和“负数×负数”的规律探究，感受数学的一致性与推理美——负负得正不是“规定”，而是“推出”。 【情感态度与价值观】 1. 体会数学中“从加法压缩到乘法”的智慧——把“重复的加法”变成“简洁的乘法”，运算效率提升；感受“负负得正”背后的规律之美。 二、学习重难点 重 点 ① 有理数乘法法则的两步走——先定符号（同正异负），再算绝对值（绝对值相乘）；② 倒数的概念与求法——正数、负数、分数各自的“倒数变身”。 难 点 负数×负数为什么得正数？——通过“有序表格·规律观察”让学生自己推出，而不是死记硬背；符号与绝对值“先分开考虑再合并”的思维习惯。 易错点 ① 忘记先定符号就直接算绝对值；② 负数×负数误算为负数（把加减法的“负负得负”惯性用到乘法）； ③ 求负数的倒数漏掉负号（如 -2 的倒数写成 1/2）；④ 分数乘法未约分或分子分母颠倒；⑤ 认为“0 的倒数是 0”（0 没有倒数）。 三、知识回顾 · 情境导入 【回顾一】小学乘法·意义再认识 算式 加法意义 结果 3 × 5 4 × 6 a × n（n 是正整数） 💡 核心思想：乘法的本质是“相同加数相加的简写”——把加法“压缩”成更简洁的形式。 【回顾二】2.1.4 拓展作业·接力提问 上节课的拓展作业 9： (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = ______ （5 个 -3 相加） 这道题的答案是 -15。既然“相同加数相加”可以写成乘法，那么 5 个 -3 相加 能不能也写成乘法？ 答： 5 × (-3) = -15 或 (-3) × 5 = -15——这就是我们今天要学的 有理数的乘法！ 【情境导入】🌊 潜水艇的深度变化 一艘潜水艇位于海平面下，规定 水面为 0，向下为负。潜水艇 每分钟下潜 5 米（记为 -5 米/分）。请思考以下两个问题： (1) 从现在起，3 分钟后 潜水艇的位置比现在低多少米？（3 分钟“以后”记为 +3 分钟） (2) 从现在起，3 分钟前 潜水艇的位置比现在低多少米？（3 分钟“以前”记为 -3 分钟） (1) 解：________________________________________ ________________________________________ (2) 解：________________________________________ ________________________________________ 四、探究新知 【探究一】正数×正数·任何数×0 ⏱ 3分钟 从小学延续下来： 正数×正数 = 正数；任何数×0 = 0。 类型 示例 结果 正×正 正×0 0×正 【探究二】正数 × 负数 ⏱ 6分钟 怎么算 (+3) × (-2)？ 按乘法的意义——“3 个 -2 相加”： (+3) × (-2) = (-2) + (-2) + (-2) = -6 类比： 请你算一算： 算式 按加法展开 结果 (+4) × (-3) ________________ ______ (+2) × (-7) ________________ ______ (+5) × (-1) ________________ ______ 发现： 正数 × 负数 = 负数；绝对值就是两数绝对值相乘——如 |+3| × |-2| = 3 × 2 = 6，所以 (+3)×(-2) = -6。 【探究三】负数 × 正数 & 负数 × 负数 ⏱ 12分钟 · 核心 ① 负数 × 正数 按乘法交换律： (-3) × (+2) = (+2) × (-3) = -6——所以 负数 × 正数 = 负数，符号相反，绝对值相乘。 ② 负数 × 负数——规律观察法 观察下面这组算式，看看每一行的结果比上一行多了多少： 算式 结果 与上行差 3 × (-4) × 2 × (-4) 1 × (-4) 0 × (-4) (-1) × (-4) (-2) × (-4) (-3) × (-4) 🔍 观察发现：前一个因数每减小 1，结果就增加 4（即 +4）。按这个规律继续下去，负数 × 负数就变成了正数！ 💡 结论： (-3) × (-4) = +12——负数 × 负数 = 正数！这不是硬性规定，而是从规律必然推出的结果——数学的美就在这里。 【探究四】乘法法则总结 ⏱ 5分钟 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与 0 相乘，都得 0。 📌 两步走口诀 第一步 定符号——看两个因数的符号：同号（正×正、负×负）得正；异号（正×负、负×正）得负。 第二步 算绝对值——把两个因数的绝对值相乘，作为结果的绝对值。 🎯 全类型速查： 类型 示例 符号 结果 正 × 正 正 × 负 负 × 正 负 × 负 任何数 × 0 【探究五】倒数 ⏱ 5分钟 小学定义再认识： 2 × = 1，则2 和 互为倒数。 初中版·定义： 乘积为 1 的两个数互为倒数。 求倒数三招： 类型 方法 示例 正整数 a 倒数 = 5 的倒数是 负整数 -a 倒数 = -3 的倒数是 分数 分子分母互换：= 的倒数是 ； 的倒数是 ⚠️ 特别提示： 0 没有倒数——因为不存在任何数与 0 相乘等于 1。1 的倒数是 1，-1 的倒数是 -1（唯一“自倒”的两个数）。 五、典例精讲 【例1】乘法法则·两步走演示 ⏱ 5分钟 计算： 1. (+8) × (-3) 1. (-9) × (-4) 1. (-15) × 0 1. (-12) × (+5) 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 【例2】分数、小数乘法 ⏱ 6分钟 计算： (1) × (2) (-2) × (-1) (3) (-0.25) × (-8) (4) × 0 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 【例3】求下列各数的倒数 ⏱ 4分钟 求下列各数的倒数： 6, -4, , -, 1, -1, 0.5 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 六、当堂检测 ⏱ 建议用时 8 分钟，独立完成后小组互批。 ① 概念填空 (1) 两数相乘，同号得 ____，异号得 ____，并把 __________。 (2) 任何数与 0 相乘，都得 ____。 (3) 乘积为 ____ 的两个数互为倒数；____ 没有倒数。 (4) - 的倒数是 ______；1 化为假分数 = ____，其倒数是 ____。 ② 辨析选择 下列计算结果为正数的是（ ） A. (-3) × (+7) B. (-8) × (-2) C. (+5) × (-6) D. 0 × (-9) ③ 乘法运算（两步走·先定符号再算绝对值） (1) (-6) × (+9) (2) (-11) × (-8) (3) × () (4) (-2) × (-) 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ④ 生活应用·气温骤降 某地正在经历寒潮，气温 每小时下降 3℃。设气温下降记为负、上升记为正；未来记为正、过去记为负。若目前气温是 5℃，请分别计算： (1) 4 小时后的气温是多少？(2) 3 小时前的气温是多少？ 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 七、课堂小结 🌟 思维导图 有理数的乘法 │ ┌─────────┼─────────┐ ↓ ↓ ↓ 意义 两步走 倒数 （相同加数 ①定符号 乘积为1 相加的压缩） 同号得正 ①正数→1/a 异号得负 ②负数→-1/a ②算绝对值 ③分数→分子分母互换 绝对值相乘 ⚠️ 0 没有倒数 │ ┌───────┴───────┐ ↓ ↓ 核心突破 下节预告 负×负 = 正 2.2.2 乘法运算律 （规律推出，非规定） 交换律/结合律/分配律 📝 一句话口诀 同号得正异号负，绝对值相乘不含糊；负负得正规律推，任何数乘零都归零。 八、分层作业 🅰 基础巩固 · 全体必做 1. 判断（正确打 √，错误打 ×） (1) 两个负数相乘，结果一定是正数。（ ） (2) 负数乘以正数，结果是负数。（ ） (3) 一个数乘以 -1，结果就是这个数本身。（ ） (4) 0 的倒数是 0。（ ） (5) -1 的倒数是 -1，1 的倒数是 1，这两个数都是“自倒数”。（ ） (6) 若 a × b = 0，则 a、b 中至少有一个是 0。（ ） 2. 填空 (1) 计算：(-7) × (+3) = ______；(-6) × (-9) = ______。 (2) - 的倒数是 ______；2.5 的倒数是 ______。 (3) 若 a、b 互为相反数（且都不为 0），则 a × b ____ 0（填 >、<、=）。 (4) 若 a = -5，b = -3，则 a × b = ______；|a × b| = ______。 3. 计算 (1) (-15) × (+6) (2) (-24) × (-5) (3) × (4) (-1.2) × (-0.5) (5) 100 × (-0.01) (6) × 0 × 1000 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 🅱 能力提升 · 学有余力 4. 巧算与判断 (1) 不计算，判断下列各式结果的符号： ① (-3) × (-5) × 7 = ____ ② (-2) × (+4) × (-6) = ____ ③ (-1) × (-2) × (-3) = ____ ④ (-1) × (-2) × (-3) × (-4) = ____ 规律： 几个非零数相乘，负因数的个数为 ________ 个时，结果为正；负因数的个数为 ________ 个时，结果为负。 5. 应用题·股票收益 小明的爸爸持有某公司股票 200 股。已知这只股票 每股每天上涨 0.30 元（上涨记为正、下跌记为负；未来记为正、过去记为负）。请你帮爸爸计算： (1) 5 天后，200 股股票总市值比现在增加多少元？(2) 4 天前，如果股票就是这个涨速，那 200 股股票总市值比现在少多少元？ 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 6. 分类讨论·绝对值 已知 |a| = 4，|b| = 3。 (1) 若 a、b 同号，求 a × b 的值；(2) 若 a、b 异号，求 a × b 的值。 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 🅲 拓展探究 · 学有专攻 7. 探究·多个数连乘的“符号法则” 已知连乘式：(-1) × (-2) × (-3) × ... × (-n)（n 个负数相乘）。请你回答： (1) 当 n = 5 时，结果的符号是什么？绝对值是多少？(2) 当 n = 100 时，结果的符号是什么？(3) 一般地，n 是什么样的数时结果为正？什么样的数时结果为负？ 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 8. 章节预告·迈向乘法运算律 思考： 计算下面两个式子，比较结果： (1) (-3) × (+4) = ______； (+4) × (-3) = ______ (2) [(-2) × (+3)] × (-5) = ______； (-2) × [(+3) × (-5)] = ______ 你发现了什么规律？这些规律叫做什么？ 答： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 九、学习反思 完成本节课后，请对以下反思项目进行自评（在对应格子中打 √）： 反思项目 熟练 基本会 需加强 ① 理解乘法是“相同加数相加”的简写 ☐ ☐ ☐ ② 掌握乘法法则：先定符号（同正异负），再算绝对值 ☐ ☐ ☐ ③ 能解释“负负得正”的规律来源（不是死记） ☐ ☐ ☐ ④ 熟练进行分数、小数、带分数的乘法 ☐ ☐ ☐ ⑤ 理解倒数概念，能求正数/负数/分数的倒数 ☐ ☐ ☐ ⑥ 能把生活情境（潜水艇、气温、股票）抽象为乘法 ☐ ☐ ☐ 我的疑惑： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1 有理数的乘法 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 理解有理数乘法的意义——从“相同加数相加”自然过渡到乘法；掌握有理数的乘法法则——“同号得正、异号得负，并把绝对值相乘”；任何数与 0 相乘都得 0。 1. 熟练进行两个有理数相乘的计算，能够正确判断结果的符号，并计算出准确的绝对值。 1. 理解倒数的概念——乘积为 1 的两个数互为倒数；掌握求一个数的倒数的方法（正数、负数、分数）；理解 0 没有倒数。 【过程与方法】 1. 经历“相同加数相加 → 转化为乘法 → 观察规律 → 归纳法则”的完整过程，体会从特殊到一般的归纳思想。 1. 通过“正数×负数”和“负数×负数”的规律探究，感受数学的一致性与推理美——负负得正不是“规定”，而是“推出”。 【情感态度与价值观】 1. 体会数学中“从加法压缩到乘法”的智慧——把“重复的加法”变成“简洁的乘法”，运算效率提升；感受“负负得正”背后的规律之美。 2、 学习重难点 重 点 ① 有理数乘法法则的两步走——先定符号（同正异负），再算绝对值（绝对值相乘）；② 倒数的概念与求法——正数、负数、分数各自的“倒数变身”。 难 点 负数×负数为什么得正数？——通过“有序表格·规律观察”让学生自己推出，而不是死记硬背；符号与绝对值“先分开考虑再合并”的思维习惯。 易错点 ① 忘记先定符号就直接算绝对值；② 负数×负数误算为负数（把加减法的“负负得负”惯性用到乘法）； ③ 求负数的倒数漏掉负号（如 -2 的倒数写成 1/2）；④ 分数乘法未约分或分子分母颠倒；⑤ 认为“0 的倒数是 0”（0 没有倒数）。 三、知识回顾 · 情境导入 【回顾一】小学乘法·意义再认识 算式 加法意义 结果 3 × 5 5 个 3 相加：3+3+3+3+3 15 4 × 6 6 个 4 相加：4+4+4+4+4+4 24 a × n（n 是正整数） n 个 a 相加：a+a+...+a n 个 a 之和 💡 核心思想：乘法的本质是“相同加数相加的简写”——把加法“压缩”成更简洁的形式。 【回顾二】2.1.4 拓展作业·接力提问 上节课的拓展作业 9： (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = ______ （5 个 -3 相加） 这道题的答案是 -15。既然“相同加数相加”可以写成乘法，那么 5 个 -3 相加 能不能也写成乘法？ 答： 5 × (-3) = -15 或 (-3) × 5 = -15——这就是我们今天要学的 有理数的乘法！ 【情境导入】🌊 潜水艇的深度变化 一艘潜水艇位于海平面下，规定 水面为 0，向下为负。潜水艇 每分钟下潜 5 米（记为 -5 米/分）。请思考以下两个问题： (1) 从现在起，3 分钟后 潜水艇的位置比现在低多少米？（3 分钟“以后”记为 +3 分钟） (2) 从现在起，3 分钟前 潜水艇的位置比现在低多少米？（3 分钟“以前”记为 -3 分钟） (1) 分析： 时间为 +3 分钟（未来），速度为 -5 米/分（向下） 位置变化 = 速度 × 时间 = (-5) × (+3) = -15（米）——即比现在低 15 米。 (2) 分析： 时间为 -3 分钟（过去），速度为 -5 米/分（向下） 位置变化 = 速度 × 时间 = (-5) × (-3) = +15（米）——即比现在高 15 米，因为 3 分钟前它还在上面！ 💡 引出：(1) 揭示“正数×负数 = 负数”；(2) 揭示“负数×负数 = 正数”——生活情境完美解释“负负得正”。 四、探究新知 【探究一】正数×正数·任何数×0 ⏱ 3分钟 从小学延续下来： 正数×正数 = 正数；任何数×0 = 0。 类型 示例 结果 正×正 (+3) × (+2) +6（正数） 正×0 (+5) × 0 0 0×正 0 × (+7) 0 【探究二】正数 × 负数 ⏱ 6分钟 怎么算 (+3) × (-2)？ 按乘法的意义——“3 个 -2 相加”： (+3) × (-2) = (-2) + (-2) + (-2) = -6 类比： 请你算一算： 算式 按加法展开 结果 (+4) × (-3) (-3)+(-3)+(-3)+(-3) -12 (+2) × (-7) (-7)+(-7) -14 (+5) × (-1) (-1)+(-1)+(-1)+(-1)+(-1) -5 发现： 正数 × 负数 = 负数；绝对值就是两数绝对值相乘——如 |+3| × |-2| = 3 × 2 = 6，所以 (+3)×(-2) = -6。 【探究三】负数 × 正数 & 负数 × 负数 ⏱ 12分钟 · 核心 ① 负数 × 正数 按乘法交换律： (-3) × (+2) = (+2) × (-3) = -6——所以 负数 × 正数 = 负数，符号相反，绝对值相乘。 ② 负数 × 负数——规律观察法 观察下面这组算式，看看每一行的结果比上一行多了多少： 算式 结果 与上行差 3 × (-4) -12 × 2 × (-4) -8 +4 1 × (-4) -4 +4 0 × (-4) 0 +4 (-1) × (-4) +4 +4 (-2) × (-4) +8 +4 (-3) × (-4) +12 +4 🔍 观察发现：前一个因数每减小 1，结果就增加 4（即 +4）。按这个规律继续下去，负数 × 负数就变成了正数！ 💡 结论： (-3) × (-4) = +12——负数 × 负数 = 正数！这不是硬性规定，而是从规律必然推出的结果——数学的美就在这里。 🌟 教学核心：这张表是本节课的“皇冠”——学生自己填出 (-1)×(-4)=+4、(-2)×(-4)=+8，会有“发现新大陆”的惊喜。反复强调：“负负得正”不是“规定”，而是“为了保持规律的一致性”必须这样。 💡 板书策略：在表格右侧用红笔画一个大箭头 ↑，从 -12 到 +12 一路向上，每格 +4——学生会直观看到“负数×负数必然为正”的必然性。 🎓 历史小知识：负负得正的规则在数学史上争议了几百年（直到 19 世纪才被完全接受）——潜水艇情境、规律推导、面积模型都可以作为解释。可以对学有余力的学生分享这段历史。 【探究四】乘法法则总结 ⏱ 5分钟 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与 0 相乘，都得 0。 📌 两步走口诀 第一步 定符号——看两个因数的符号：同号（正×正、负×负）得正；异号（正×负、负×正）得负。 第二步 算绝对值——把两个因数的绝对值相乘，作为结果的绝对值。 🎯 全类型速查： 类型 示例 符号 结果 正 × 正 (+3) × (+4) 正（同号） +12 正 × 负 (+3) × (-4) 负（异号） -12 负 × 正 (-3) × (+4) 负（异号） -12 负 × 负 (-3) × (-4) 正（同号） +12 任何数 × 0 (-8) × 0 —— 0 【探究五】倒数 ⏱ 5分钟 小学定义再认识： 2 × = 1——2 和 互为倒数。 初中版·定义： 乘积为 1 的两个数互为倒数。 求倒数三招： 类型 方法 示例 正整数 a 倒数 = 5 的倒数是 负整数 -a 倒数 = -3 的倒数是 分数 分子分母互换：= 的倒数是 ； 的倒数是 ⚠️ 特别提示： 0 没有倒数——因为不存在任何数与 0 相乘等于 1。1 的倒数是 1，-1 的倒数是 -1（唯一“自倒”的两个数）。 💡 小技巧：求倒数时，负号先分离出来——先求绝对值的倒数，最后加上负号。这样不容易漏掉符号。 🌟 常见错误：学生容易把 -2 的倒数写成 （漏了负号）——反复强调“倒数与原数同号”。 五、典例精讲 【例1】乘法法则·两步走演示 ⏱ 5分钟 计算： 1. (+8) × (-3) 1. (-9) × (-4) 1. (-15) × 0 1. (-12) × (+5) (1) 解： 异号 → 结果为负；|+8|×|-3| = 8×3 = 24 → (+8)×(-3) = -24 (2) 解： 同号 → 结果为正；|-9|×|-4| = 9×4 = 36 → (-9)×(-4) = +36 (3) 解： 任何数 × 0 = 0——不需要考虑符号。 (4) 解： 异号 → 结果为负；|-12|×|+5| = 12×5 = 60 → (-12)×(+5) = -60 💡 两步走口诀：“先看符号，再算数”——养成“定符号 → 算绝对值”的严格顺序。 【例2】分数、小数乘法 ⏱ 6分钟 计算： (1) × (2) (-2) × (-1) (3) (-0.25) × (-8) (4) × 0 (1) 解： 异号 → 负； × = = （约分）→ 原式 = (2) 解： 先化带分数为假分数：-2 = ；-1 = 同号 → 正； × = = 3 → 原式 = 3 （分子分母交叉约分） (3) 解： 同号 → 正；|−0.25|×|−8| = 0.25×8 = 2 → 原式 = 2 (4) 解： 任何数 × 0 = 0 【例3】求下列各数的倒数 ⏱ 4分钟 求下列各数的倒数： 6, -4, , -, 1, -1, 0.5 解： · 6 的倒数是 · -4 的倒数是 （负数的倒数还是负数——不能忘负号） · 的倒数是 （分子分母互换） · - 的倒数是 · 1 = ，倒数是 （先化为假分数再求倒数） · -1 的倒数是 -1（自倒数） · 0.5 = ，倒数是 2（小数先化为分数再求倒数） 💡 一句话点评：求倒数三步走：① 化——带分数化假分数，小数化分数；② 翻——分子分母交换位置；③ 符号——保持原数符号不变。 六、当堂检测 ⏱ 建议用时 8 分钟，独立完成后小组互批。 ① 概念填空 (1) 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 (2) 任何数与0相乘，都得0。 (3) 乘积为 1 的两个数互为倒数；0没有倒数。 (4) - 的倒数是 -；1 化为假分数 = ，其倒数是 。 ② 辨析选择 下列计算结果为正数的是（ B ） A. (-3) × (+7) B. (-8) × (-2) C. (+5) × (-6) D. 0 × (-9) 答案：B 💡 解析：A 异号 → 负；B 同号（都是负） → 正 = +16；C 异号 → 负；D 任何数×0 = 0（不是正数）。 ⚠️ 陷阱： D 选项 0 不是正数也不是负数——要提醒学生“正数”不包括 0。 ③ 乘法运算（两步走·先定符号再算绝对值） (1) (-6) × (+9) (2) (-11) × (-8) (3) × () (4) (-2) × (-) (1) 解： 异号 → 负；|-6|×|+9| = 54 → 原式 = -54 (2) 解： 同号 → 正；|-11|×|-8| = 88 → 原式 = 88 (3) 解： 异号 → 负； × = = → 原式 = (4) 解： -2 = ；同号 → 正； × = = → 原式 = ④ 生活应用·气温骤降 某地正在经历寒潮，气温 每小时下降 3℃。设气温下降记为负、上升记为正；未来记为正、过去记为负。若目前气温是 5℃，请分别计算： (1) 4 小时后的气温是多少？(2) 3 小时前的气温是多少？ (1) 解： 4 小时后气温变化：(-3) × (+4) = -12（℃）——即比现在低 12℃。 4 小时后气温 = 5 + (-12) = -7℃ (2) 解： 3 小时前气温变化：(-3) × (-3) = +9（℃）——即比现在高 9℃。 3 小时前气温 = 5 + 9 = +14℃ 💡 一句话点评：这道题完美演绎了本节课两大法则——正×负 = 负（未来更低）；负×负 = 正（过去更高）。潜水艇下潜与气温下降是同一个数学模型。 七、课堂小结 🌟 思维导图 有理数的乘法 │ ┌─────────┼─────────┐ ↓ ↓ ↓ 意义 两步走 倒数 （相同加数 ①定符号 乘积为1 相加的压缩） 同号得正 ①正数→1/a 异号得负 ②负数→-1/a ②算绝对值 ③分数→分子分母互换 绝对值相乘 ⚠️ 0 没有倒数 │ ┌───────┴───────┐ ↓ ↓ 核心突破 下节预告 负×负 = 正 2.2.2 乘法运算律 （规律推出，非规定） 交换律/结合律/分配律 📝 一句话口诀 同号得正异号负，绝对值相乘不含糊；负负得正规律推，任何数乘零都归零。 八、分层作业 🅰 基础巩固 · 全体必做 1. 判断（正确打 √，错误打 ×） (1) 两个负数相乘，结果一定是正数。（ √ ） (2) 负数乘以正数，结果是负数。（ √ ） (3) 一个数乘以 -1，结果就是这个数本身。（ × ） (4) 0 的倒数是 0。（ × ） (5) -1 的倒数是 -1，1 的倒数是 1，这两个数都是“自倒数”。（ √ ） (6) 若 a × b = 0，则 a、b 中至少有一个是 0。（ √ ） 💡 易错点解析： (3) 错——一个数乘以 -1，结果是这个数的相反数，不是本身。如 5 × (-1) = -5，与 5 相反。 (4) 错——0 没有倒数。因为不存在任何数使得 0 × ? = 1。 (6) 对——这是乘法的“零因子律”，也是后面解方程的基础。 2. 填空 (1) 计算：(-7) × (+3) = -21；(-6) × (-9) = 54。 (2) - 的倒数是 -；2.5 的倒数是 0.4（即 ）。 (3) 若 a、b 互为相反数（且都不为 0），则 a × b < 0（填 >、<、=）。 (4) 若 a = -5，b = -3，则 a × b = 15；|a × b| = 15。 (3) 解析： 相反数一正一负（异号），异号相乘得负，所以 a × b < 0。 3. 计算 (1) (-15) × (+6) (2) (-24) × (-5) (3) × (4) (-1.2) × (-0.5) (5) 100 × (-0.01) (6) × 0 × 1000 (1) 异号 → 负；15×6 = 90 → -90 (2) 同号 → 正；24×5 = 120 → +120 (3) 异号 → 负； × = = → - （4×15 = 60，3×8 = 24， = ） (4) 同号 → 正；1.2×0.5 = 0.6 → +0.6 (5) 异号 → 负；100×0.01 = 1 → -1 (6) 只要有一个因数是 0，结果就是 0 → 0——这道题考察“眼力”：看到 0 立刻收工。 🅱 能力提升 · 学有余力 4. 巧算与判断 (1) 不计算，判断下列各式结果的符号： ① (-3) × (-5) × 7 = 正 ② (-2) × (+4) × (-6) = 正 ③ (-1) × (-2) × (-3) = 负 ④ (-1) × (-2) × (-3) × (-4) = 正 规律： 几个非零数相乘，负因数的个数为 偶数 个时，结果为正；负因数的个数为 奇数 个时，结果为负。 💡 数负号法：① 有 2 个负号 → 偶数 → 正；② 有 2 个负号 → 偶数 → 正；③ 有 3 个负号 → 奇数 → 负；④ 有 4 个负号 → 偶数 → 正。 📌 归纳：多个数相乘，符号只看负因数的“奇偶个数”——偶数个负号得正，奇数个负号得负。这个规律为 2.2.2 多个数连乘做好铺垫。 5. 应用题·股票收益 小明的爸爸持有某公司股票 200 股。已知这只股票 每股每天上涨 0.30 元（上涨记为正、下跌记为负；未来记为正、过去记为负）。请你帮爸爸计算： (1) 5 天后，200 股股票总市值比现在增加多少元？(2) 4 天前，如果股票就是这个涨速，那 200 股股票总市值比现在少多少元？ (1) 解： 每股 5 天后的价格变化 = (+0.30) × (+5) = +1.50（元）——每股涨 1.5 元。 200 股总变化 = 200 × 1.5 = +300 元——即总市值增加 300 元。 (2) 解： 每股 4 天前的价格变化 = (+0.30) × (-4) = -1.20（元）——每股比现在低 1.2 元。 200 股总差异 = 200 × (-1.20) = -240 元——即 4 天前总市值比现在少 240 元。 6. 分类讨论·绝对值 已知 |a| = 4，|b| = 3。 (1) 若 a、b 同号，求 a × b 的值；(2) 若 a、b 异号，求 a × b 的值。 解： 由 |a| = 4 得 a = ±4；由 |b| = 3 得 b = ±3。 (1) a、b 同号： 情况① a=4, b=3，a×b = +12；情况② a=-4, b=-3，a×b = +12。两种情况都得 +12——同号相乘为正。 (2) a、b 异号： 情况① a=4, b=-3，a×b = -12；情况② a=-4, b=3，a×b = -12。两种情况都得 -12——异号相乘为负。 💡 一句话点评：这道题看似要分四种情况，实际上 a、b 的绝对值相同（都是 4×3=12），符号只由“同号/异号”决定——所以答案只有两个：+12 或 -12。 🅲 拓展探究 · 学有专攻 7. 探究·多个数连乘的“符号法则” 已知连乘式：(-1) × (-2) × (-3) × ... × (-n)（n 个负数相乘）。请你回答： (1) 当 n = 5 时，结果的符号是什么？绝对值是多少？ (2) 当 n = 100 时，结果的符号是什么？ (3) 一般地，n 是什么样的数时结果为正？什么样的数时结果为负？ (1) 解： n = 5——共 5 个负数（奇数个）→ 符号负；绝对值 = 1×2×3×4×5 = 120 → 原式 = -120 (2) 解： n = 100——共 100 个负数（偶数个）→ 符号正 (3) 归纳： 当 n 为偶数时，结果为正；当 n 为奇数时，结果为负。 💡 承前启后：这就是本节作业 4 中揭示的规律——“负因数个数的奇偶性决定结果符号”。多个数连乘的完整法则将在 2.2.2 乘法运算律中系统学习。 8. 章节预告·迈向乘法运算律 思考： 计算下面两个式子，比较结果： (1) (-3) × (+4) = ______； (+4) × (-3) = ______ (2) [(-2) × (+3)] × (-5) = ______； (-2) × [(+3) × (-5)] = ______ 你发现了什么规律？这些规律叫做什么？ (1) 答： (-3)×(+4) = -12；(+4)×(-3) = -12——两式相等——乘法交换律：a × b = b × a (2) 答： [(-2)×(+3)]×(-5) = -6×(-5) = +30；(-2)×[(+3)×(-5)] = -2×(-15) = +30——两式相等——乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c) 💡 承前启后：这就是下一节 2.2.2 有理数乘法运算律的核心内容——加法的运算律（交换律、结合律、分配律）在乘法中同样成立！这些运算律将极大简化乘法运算。 九、学习反思 完成本节课后，请对以下反思项目进行自评（在对应格子中打 √）： 反思项目 熟练 基本会 需加强 ① 理解乘法是“相同加数相加”的简写 ☐ ☐ ☐ ② 掌握乘法法则：先定符号（同正异负），再算绝对值 ☐ ☐ ☐ ③ 能解释“负负得正”的规律来源（不是死记） ☐ ☐ ☐ ④ 熟练进行分数、小数、带分数的乘法 ☐ ☐ ☐ ⑤ 理解倒数概念，能求正数/负数/分数的倒数 ☐ ☐ ☐ ⑥ 能把生活情境（潜水艇、气温、股票）抽象为乘法 ☐ ☐ ☐ 我的疑惑： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $