3.3　幂函数 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 高中数学幂函数同步练，分层设计梯度清晰，从概念辨析到综合应用，覆盖定义、性质及证明，巩固知识同时培养数学思维与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义/定义域/定点/图象基础|单选直接考查概念（如第1题幂函数定义判断）| |中档|奇偶性/单调性/比较大小应用|多选综合性质（如第5题结合奇偶性与单调性）| |拔高|综合证明/参数求解/不等式应用|解答题强调推理（如第14题定义法证明单调性）|

3.3　幂函数 1.下列函数为幂函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  2.若f（x）＝，则函数f（4x－3）的定义域为（　　） A.R B. C. D. 3.函数f（x）＝xa＋b，不论a为何值，f（x）的图象均过点（m，0），则实数b的值为（　　） A.－1 B.1 C.2 D.3 4. 如图所示，曲线C1和C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（　　） A.n＜m＜0 B.m＜n＜0 C.n＞m＞0 D.m＞n＞0 5.（多选）已知幂函数f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（　　） A.f（－2）＞f（1） B.f（－2）＜f（1） C.f（－2）＝f（－1） D.若｜a｜＞｜b｜＞0，则f（a）＜f（b） 6.（多选）下列说法中正确的有（　　） A.y＝x0的图象是一条直线 B.幂函数的图象不过第四象限 C.若函数y＝的定义域是{x｜x＞2}，则它的值域是 D.若幂函数的图象过点（4，2），则它的单调递增区间是[0，＋∞） 7.幂函数y＝的定义域为　　　　；其奇偶性是　　　　. 8.已知幂函数f（x）＝xα的部分对应值如表： x 1 f（x） 1 则f（x）的单调递增区间是　　　　. 9.已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是　　　　. 10.比较下列各组数的大小： （1）和3.； （2）和； （3）4.和3.. 11.在同一坐标系内，函数y＝xa（a≠0）和y＝ax－的图象可能是（　　） 12.已知函数f（x）＝，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（　　） A.f（a）＜f（b）＜f（）＜f（） B.f（）＜f（）＜f（b）＜f（a） C.f（a）＜f（b）＜f（）＜f（） D.f（）＜f（a）＜f（）＜f（b） 13.有四个幂函数：①f（x）＝x－1；②f（x）＝x－2；③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： （1）是偶函数；（2）值域是{y｜y∈R，且y≠0}；（3）在（－∞，0）上单调递增. 如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是　　　　（填序号）. 14.已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点A. （1）求实数a的值； （2）用定义法证明f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减. 15.（多选）已知幂函数f（x）＝（m，n∈N*，m，n互质），下列关于f（x）的结论正确的是（　　） A.m，n是奇数时，f（x）是奇函数 B.m是偶数，n是奇数时，f（x）是偶函数 C.m是奇数，n是偶数时，f（x）是偶函数 D.0＜＜1时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减 16.已知幂函数f（x）＝（m∈N*）. （1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； （2）若函数f（x）经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围. 3.3　幂函数 1.A　由幂函数的定义可知，A正确.故选A. 2.D　易知f（x）＝的定义域为（0，＋∞），则4x－3∈（0，＋∞），即x∈，故选D. 3.A　∵幂函数y＝xa过定点（1，1），∴f（x）＝xa＋b过定点（1，1＋b），结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1. 4.A　由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故m＜0，n＜0.由幂函数图象的特点知n＜m，故n＜m＜0. 5.BD　幂函数f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，则f（x）＝，f（－x）＝f（x），且 f（x）在（0，＋∞）上单调递减，于是有f（－2）＝f（2）＜f（1）＝f（－1），则A错误，B正确，C错误；若｜a｜＞｜b｜＞0，则f（｜a｜）＜f（｜b｜），即f（a）＜f（b）成立，故D正确.故选B、D. 6.BD　A选项，因为函数y＝x0的定义域为{x｜x≠0}，所以图象不是一条直线，A错误；B选项，若x＞0，则xα不可能小于0，B正确；C选项，当x＞2时，函数y＝的值域为，C错误；D选项，设幂函数为y＝xα，因为幂函数的图象过点（4，2），所以2＝4α，解得α＝，则y＝＝，故单调递增区间是[0，＋∞），D正确.故选B、D. 7.（－∞，＋∞）　偶函数　解析：因为y＝＝，所以函数的定义域为（－∞，＋∞），且为偶函数. 8.[0，＋∞）　解析：因为f＝，所以＝，即α＝，所以f（x）＝的单调递增区间是[0，＋∞）. 9.（－∞，0）　解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，所以y＝xα在（0，＋∞）上单调递减，故α＜0. 10.解：（1）函数y＝在（0，＋∞）上单调递减，又3＜3.2，所以＞3.. （2）＝，＝，函数y＝在（0，＋∞）上单调递增，而＞，所以＞. （3）4.＞＝1，0＜3.＜＝1， 所以4.＞3.. 11.C　选项A中，幂函数的指数a＜0，则函数y＝ax－应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a＞1，则函数y＝ax－应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a＜0，则－＞0，函数y＝ax－与y轴交点的纵坐标应为正，D错误. 12.C　因为函数f（x）＝在（0，＋∞）上单调递增，又0＜a＜b＜1＜＜，故f（a）＜f（b）＜f（）＜f（）. 13.②　解析：对于函数①，f（x）＝x－1是一个奇函数，值域是{y｜y∈R，且y≠0}，在（－∞，0）上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f（x）＝x－2是一个偶函数，其值域是{y｜y∈R，且y＞0}，在（－∞，0）上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件. 14.解：（1）∵f（x）＝xa的图象经过点A，＝，即2－a＝，解得a＝－. （2）证明：由（1）得f（x）＝，任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2， 则f（x2）－f（x1）＝－＝－＝ ＝. ∵x2＞x1＞0，∴x1－x2＜0，且（＋）＞0， ∴f（x2）－f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）， ∴f（x）＝在区间（0，＋∞）上单调递减. 15.AB　f（x）＝＝，当m，n是奇数时，f（x）是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，f（x）是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，f（x）在x＜0时无意义，故C中的结论错误；当0＜＜1时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故D中的结论错误.故选A、B. 16.解：（1）∵m2＋m＝m（m＋1）（m∈N*），而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m2＋m为偶数， ∴函数f（x）＝（m∈N*）的定义域为[0，＋∞），并且该函数在[0，＋∞）上是增函数. （2）∵函数f（x）经过点（2，）， ∴＝，即m2＋m＝2， 解得m＝1或m＝－2， 又∵m∈N*，∴m＝1，f（x）＝. 又∵f（2－a）＞f（a－1）， ∴解得1≤a＜. 故函数f（x）经过点（2，）时，m＝1，满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围为［1，）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $