3.3 幂函数-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

(2)解：因为f(x)在[2,2]上的值域是[号，2]，又由()得 f)在[2]上单调递增，所以∫（分）=之2)=2，易得 a=号 1山.证明：1)设4<运<-2则)一水)= 2(-x2) 十2（西十2(2+2因为(m+2)(+2)>0,- x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即fx)<f(x2),所以f(x) 在（一o∞，一2）上单调递增 (2)解：设1<x1<x2,则f(x)-f(x2)= x-a xx-a G-a)(2-a因为a>0,->0,所以要使f() a(x2-x1) f()>0,只需（一a)(xm一a)>0恒成立，所以a≤1.综上所 述，a的取值范围为(0,1]. 12.解：f()=4(x-号）-2a+2.①当号≤0，即a<0时， 函数f(x)在[0,2]上单调递增.所以f(x)m=f(0)=a2 2a十2.由a2-2a十2=3，得a=1±√2.因为a≤0，所以a= 1-E.②当0<号<2，即0<a<4时，f(x)m=f(号）= -2a十2.由-2a+2=3,得a=-号g(0,4),合去.③当 受≥2，即a≥4时，函数f()在[0,2]上单调递减， f(x)mm=f(2)=a2-10a+18.由a2-10a+18=3,得a= 5士√10.因为a≥4，所以a=5+√/0.综上所述，a=1-√2 或a=5+√10. 【能力提升】 1.D[解析：当a>0时，a2+a-[-3(-a)]>0→a2-2a> 0→a>2;当a<0时，-3a-[(-a)2+(-a)]<0→a2+ 2a>0→a<-2.综上，实数a的取值范围是(-∞，-2)U (2,十∞).故选D.】 2.D[解析：由于函数f(x)是奇函数，因此原不等式可化为 xf(x)<0,即f(x)<0,因为f(1)=0,且f(x)在(0，+o∞)上 单调递减，所以x>1或-1<x<0.故选D.】 3.[3,十o∞)【解析：设t=x2-2x-3,由t>0,即x2-2x- 3>≥0，解得x≤一1或x≥3.所以函数的定义域为（一∞， -1U[3,十∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴 为x=1,所以函数t在（一∞，一1]上单调递减，在[3，十∞）上 单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3，十∞).】 4.(一∞，一2)【解析：二次函数y=x2一4x十3的对称轴 参考答案175 是x=2,所以该函数在（一∞，0]上单调递减，所以x2一 4x十3>3，同样可知函数y2=-x2-2x十3在(0，十∞)上 单调递减，所以一x2一2x+3<3,所以f(x)在R上单调递 减，所以由f(x十a)>f(2a一x)得到x+a<2a-x,即2x< a在[a,a十1]上恒成立，所以2(a十1)<a,a<-2,所以实数 a的取值范围是(-∞，-2).] 5.子【解析：由①8，令x=0,可得f)=1.由②，令x=1可 得∫（行）=)=.令x=3,可得f(行) 2f(行)=子由③结合f(号)=2，可知f(号)= 令x=号可得f(号)=f(号)=其，因为日<日<号 且函数在[0,1]上为非减函数，所以f(日）=子，所以 f(3)+f(g)=.1 6.(1)解：因为对任意正数x,y,都有f(xy)=f(x)十f(y), f(3)=-1,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0,令 x=y=3,则f(9)=f(3)+f(3)=-2,令x=号y=9,则 有f1)=f(号)+f(9)=0,f(号)=2. (2)证明：令4<x,且，∈(0，+∞)，所以要>1， f(经)<，f)=f(·要)=f()+f(要）< f(x1),所以f(x)在(0，十∞)上是减函数. (3)解：由已知不等式f(x)+f(2-x)<2化为f(2x-x2)< f(号)，又f)在(0，十)上是减函数，所以 2x-2>号 x>0, 解得1-22<工<1+2巨.不等式解集 3 3 2-x>0, 为(1-221+2) 3.3幂函数 【基础过关】 1.B【解析：设f()=x,则2=E,所以。=，所以 f(x)=xz.故选B.】 2.C[解析：由于y=x1和y=x都是奇函数，故B,D不合 题意.y=x立在(0，十∞)上单调递增，但不是偶函数，故A 不满足题意.y=x2为偶函数，且在(0，十∞)上单调递增.故 176无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 选C.】 3.A【解析：当a=一1时，函数y=x1的定义域是{xx≠ 0},且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R,且为 奇函数；当a=之时，函数y=x片的定义域是(xx≥0，且 为非奇非偶函数；当a=3时，函数y=x3的定义域是R,且 为奇函数.故选A.] 4.B[解析：y=x的图象位于第一象限且为增函数，所以 函数图象是上升的，函数y=x子一-1的图象可看作是由y= x立的图象向下平移一个单位长度得到的（如选项A中的图 所示)，则y=x立一1的图象关于x轴对称的图象即为选项 B.故选B.J 5.C[解析：因为函数f(x)=xz在(0，十o∞)上单调递增， 又0<a<b<1<6<日，故fa)<f)<f(合)< f(日)故选C.】 6.C[解析：因为函数y=x子是非奇非偶函数，故排除A,B 选项，又>1，故排除D选项故选C】 7.BC[解析：设幂函数f(x)=x(a为常数)，因为幂函数 图象过点(27，号)，所以f(x)=工十，所以由f(x)的性质 知，定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)是奇函数，在(-∞，0)， (0,十o∞)上均单调递减.故选BC.] 8.子【解析：设f()=x,因为f(4)=4f(2),所以4 4×2,解得a=2,所以f(x)=2,所以f(2)=子.】 (号) 【解析：(a+1)-立<(3-2a)立曰 (a中)<(32石)，函数y=在[0，十0)上是增函 a+1>0, 数，所以3-2a>0, 解得子<a<号.】 a+1>3-2a, 10.3[解析：因为函数y=(m2一2m一2)·x4m-2既是幂 (m2-2m-2=1, 函数又在(0，十∞)上单调递减，所以 -4m-2<0 (m=3或m=-1, m>- 解得m=3.】 11.解：(1)函数y=xz在(0，十∞)上单调递减，又3<3.2， 所以3量>3.2」 (2)函数y=子在(0，十∞)上单调递增，而号>吾，所以 (号)产>（倍） 12.解：(1)由题意得a2-3a+2=1,即a2-3a十1=0，故a= 3±√5 21 a2-5a+5=1, (2)由题意知 解得a=4. a2-3a+2≠0， a2-5a+5=-1, (3)由题意知 解得a=3. a2-3a+2≠0， 【能力提升】 1b-3=0, 1.A[解析：因为f(x)为幂函数，所以 所以 a-b=1, (a=4, 所以f(x)=x,所以∫(x)在(0，十∞)上单调递增， b=3, 且a>b>0,所以f(a)>f(b).故选A.] 2.A[解析：①函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1> >0时，f(臣）=)2，@函数=x 2 的图象是下凸形曲线，故当五>>0时，∫（色）< f)十fx),③在第一象限，函数f(x)=x的图象是下 2 凸形曲线，故当>>0时，了（臣）< )十f;④函数f(x)-的图象是上凸形曲线，故 2 当>>0时，f(白）>)生f,回在第 2 象限，函数f(x)=二的图象是一条下凸形曲线，故当> >0时，f(臣)<).故仅有函数 2 f)=V丘满足当x:>五>0时，∫（任2）> f(x)十f2).故选A.】 2 3.C[解析：因为幂函数y=x2-m-3(m∈Z)的图象与x 轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，所以m2-2m-3≤0，且 m2-2m-3(m∈Z)为偶数，由m2-2m-3≤0，得-1≤m≤ 3,又m∈Z,所以m=-1,0,1,2,3.当m=-1时，m2- 2m-3=1+2-3=0,为偶数，符合题意；当m=0时，m2一 2m-3=-3,为奇数，不符合题意；当m=1时，m2-2m 3=1一2-3=一4，为偶数，符合题意；当m=2时，m2一 2m一3=4-4-3=-3，为奇数，不符合题意；当m=3时， m2一2m-3=9一6一3=0，为偶数，符合题意.综上所述， m=-1,m=1,m=3.故选C.] 4.[-1,号) [解析：因为y=x在定义域[0，十o)上是 「3-2m≥0， 增函数，所以m十1≥0， 解得-1<m<号放m的取 3-2m>m+1, 值范围为[-1，号) 5.③[解析：设f(x)=x,则f(m十n)=(m十n),f(m)+ f(n)=m+n,f(m)·f(n)=m·n=(mn),f(mn)= (mn)°，所以f(mn)=f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一 定成立.] 6.解：(1)依题意，得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.当m= 2时，f(x)=x2在(0，十∞)上单调递减，与题设矛盾，舍 去，所以m=0. (2)由(1)可知f(x)=x2.当x∈[1,2]时，f(x),g(x)单调递 增，所以A=[1,4],B=[2一k,4一k].因为AUB=A,所以 2-k≥1， BCA,所以{ →0≤k≤1.所以实数k的取值范围 4-k≤4 是[0,1]. 3.4函数的应用（一） 【基础过关】 1.C[解析：由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指 数”的差是逐年增大的，故①正确.“生活费收人指数”在 2010~2011年最陡.故②正确，“生活价格指数”在2011~ 2012年最平缓，故③不正确，由于“生活价格指数”略呈下 降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确.故 选C.] 2.D【解析：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s= 合，车与人的间距d=(s+25)-61=号r-6+25- 号一6+7，当1=6时，d取得最小值7.故选D.】 3.B[解析：设每天获利y元，则y=(100-5x)(x-6)-100 -5(x-13)2+145,由x>0,Q=100-5x≥0，得0<x≤20，故当 x=13时，每天获利最大.故选B.] 4.C【解析：令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意； 若2x十10=60，则x=25,满足题意；若1.5x=60,则x=40< 100,不合题意，故拟录用人数为25.故选C.】 5.B[解析：设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销 售利润为y元.又m≥0，所以0<x<54,由题意得，y m(x-30)=(x-30)·(162-3x).上式配方得y=-3(x 42)2+432.所以当x=42时，利润最大.故选B.] 参考答案177 6.A[解析：设生产x吨产品全部卖出，利润为y元，则y= zQ-p=x(a+若)-(10o+5x+0r）=(分-0)2+ (a一5)x一1000(x>0).由题意知，当x=150时，y取最大值，此 a-5 /11Y =150, 2(610 a=45, 时Q=40.所以 解得{ 故选A.] 、150=40, b=-30. 7.D【解析：设一段长为xcm,则另一段长为(12-x)cm, 两个正三角形的面积之和为Scm2,0<x<12.则S (号)广+(4-吉)'-得(x-6)+2,当=6时， Smm=2√3.故选D.] 8.125[解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润 为27万元，代人y=x中，即3=27，解得a=3,故函数关 系式为y=x3.所以当x=5时，y=125.] 9.35【解析：Q=0.00252-0.175u+4,27=0.0025(2- 70w)+4.27=0.0025×[(v-35)2-352]+4.27= 0.0025(v-35)2+1.2075.故v=35km/h时，耗油量 最少.] 10.14.599[解析：设出租车行驶x千米时，付费y元， [9,0<x≤3， 则y=8+2.15(x-3)+1,3<x≤8， 当x=5.6时， 8+2.15×5+2.85(x-8)+1,x>8, y=8+2.15×2.6+1=14.59(元).由y=22.6,知x>8,由 8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9.] 11.解：设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1元，依 方案2的利润为y2元，则y1=(50一25)x一2X0.5x一 30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x. (1)当x=3000时，y=42000,为=54000.因为1<为，故应 选择第2个方案处理污水. (2)当x=6000时，y=114000元，y2=108000元.因为 y>y,故应选择第1个方案处理污水。 12.解：(1)设购买人数为n,羊毛衫的标价为每件x元，利润 为y元，则x∈(100,300]，n=kx十b(k<0),因为0=300k+ b,即b=一300k,所以n=(x一300).所以利润y=(x 100)k(x-300)=k(x一200)2-10000k(x∈(100,300])，因 为k<0,所以x-200时，yax=一10000k,即商场要获取最 大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元 (2)由题意得(x-100)(x一300)=-10000k·75%,x2- 400x+37500=0,解得x=250或x=150,所以商场要获取 最大利润的75%，每件标价为250元或150元.58无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 3.3 基础过关) 1.幂函数的图象过点(2，√2)，则该幂函数的 解析式是 ( A.y=x-1 B.y=xt C.y=x2 D.y=x3 2.下列函数中，既是偶函数，又在区间 (0,十∞)上单调递增的函数是( ) A.y=xt B.y=x C.y=x2 D.y=x 3.设a∈-1,1，号，3，则使函数)y=r的定义 域是R,且为奇函数的所有a的值是() A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 4.函数y=x一1的图象关于x轴对称的图 象大致是 5.已知函数f(x)=x,若0<a<b<1,则下 列各式中正确的是 A.fa)<fb)<f(日)<f(G) B.f(日)<f(合)Kfb)<fa c.fa)<fb)<f(合)<f(日） D.f(合)fa)<f(合)Kfb) 幂函数 6.函数y=x的图象是 B D 7.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点 (27,号)，则幂函数f(x)具有的性质是 A.在其定义域上为增函数 B.在(0，十∞)上单调递减 C.奇函数 D.定义域为R 8.若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)= 4f(2),则f(2)的值等于 9.若(a十1)-t<(3-2a)-÷,则a的取值范 围是 10.若幂函数y=(m2-2m一2)x4m-2在x (0,十∞)上单调递减，则实数m的值 是 11.比较下列各组数的大小： (1)3-和3.2； 12.已知函数y=(a2-3a十2)x2-5a+5(a为 常数) (1)当a为何值时，此函数为幂函数？ (2)当a为何值时，此函数为正比例 函数？ (3)当a为何值时，此函数为反比例函数？ 、 能力提升) 1.函数f(x)=(a一b)x号+b一3是幂函数， 则下列结论正确的是 () A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b) C.f(a)=f(b) D.以上都不对 2.给出幂函数：①f(x)=x;②f(x)=x2; ③f(x)=x;④f(x)=;⑤fx)=三.其中 满足条件f(佰士）>)士(> 2 x2>0)的函数有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第三章函数的概念与性质59 3.已知幂函数y=xm-2m-3(m∈Z)的图象与 x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则 m等于 () A.1 B.0,2 C.-1,1,3 D.0,1,2 4.若(3一2m)>(m十1)，则实数m的取 值范围为 5.给出下面四个条件：①f(m十n)=f(m)+ f(n);②f(m+n)=f(m)·f(n); ③f(mn)=f(m)·f(n);④f(mn)= f(m)十f(n).如果m,n是幂函数y= ∫(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数 y=f(x)一定满足的条件的序号 为 6.已知幂函数f(x)=(m-1)2xm-4m+2在 (0,十∞)上单调递增，函数g(x)= 2x-k. (1)求m的值； (2)当x∈[1,2]时，记f(x),g(x)的值域 分别为集合A,B,若AUB=A,求实 数的取值范围.