3.2.2　培优课　反比例函数、对勾函数 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 这份同步练习聚焦反比例函数与对勾函数，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从概念理解到性质应用再到综合探究的知识进阶，培养数学抽象、逻辑推理与直观想象素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义域、值域、单调性等概念|单选1-4直接考查基本概念辨析，如集合A、B、C的关系判断| |能力提升|性质应用、参数讨论|多选7-9结合单调性与最值，填空10-11涉及存在性问题与分类讨论| |综合拓展|作图与证明、实际应用|解答12-13要求作图并证明单调性，体现数学表达与探究能力|

培优课　反比例函数、对勾函数 1.已知集合A＝x｜y＝，B＝y｜y＝，C＝（x，y）｜y＝，则下列结论正确的是（　　） A.A＝B B.A＝C C.B＝C D.A＝B＝C 2.函数g（x）＝x＋的单调递减区间为（　　） A.（－3，0）∪（0，3） B.（－3，3） C.（－3，0）和（0，3） D.（－∞，－3）和（3，＋∞） 3.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（千帕）是气球体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的解析式为（　　） A.p＝96V（V＞0） B.p＝－（V＞0） C.p＝（V＞0） D.p＝（V＞0） 4.函数f（x）＝（x∈R）的值域是（　　） A.（0，1） B.（0，1] C.[0，1） D.[0，1] 5.设函数f（x）＝（x＜0），则函数f（x）（　　） A.有最小值2－1 B.有最大值2－1 C.有最小值－2－1 D.有最大值－2－1 6.已知a，b，c∈R且a＋b＋c＝0，a＞b＞c，则的取值范围是（　　） A.[2，＋∞） B.（－∞，－2] C.（－，－2］ D.（2，］ 7.（多选）已知函数y＝，则下列结论中正确的是（　　） A.其图象经过点（3，1） B.其图象分别位于第一、三象限 C.当x＞0时，y随x的增大而减小 D.当x＞1时，y＞3 8.（多选）下列函数中，满足对任意x1，x2∈（1，＋∞），有＜0的是（　　） A.f（x）＝x＋ B.f（x）＝ C.f（x）＝1＋ D.f（x）＝－x－ 9.（多选）已知函数f（x）＝x＋（a＞0）在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a的值可以是（　　） A.4 B.12 C.6－4 D.6＋4 10.∃x∈[1，2]，使关于x的不等式x2－ax＋4≥0成立，则实数a的取值范围为　　　　. 11.设a＞0，函数f（x）＝x＋在区间（0，a]上的最小值为m，在区间[a，＋∞）上的最小值为n.若mn＝320，则a的值为　　　　. 12.作出函数y＝的图象，并写出函数的单调区间和值域. 13.参考f（x）＝x＋的图象及性质，你能画出函数f（x）＝x－的图象，并写出它的性质吗？（单调性需证明） 培优课　反比例函数、对勾函数 1.A　∵函数y＝的定义域为A＝x｜y＝＝{x｜x≠0}，值域为B＝y｜y＝＝{y｜y≠0}，又集合A，B都是数集，C是点集，∴A＝B. 2.C　由对勾函数的图象与性质知，g（x）＝x＋在（－3，0）和（0，3）上单调递减.故选C. 3.D　因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设p＝（k≠0），由题图可知，点（1.5，64）在函数图象上，所以64＝，解得k＝96，故p＝（V＞0）. 4.B　因为1＋x2≥1，所以0＜≤1，所以函数f（x）＝的值域是（0，1]，故选B. 5.D　因为x＜0，所以f（x）＝＝2x＋－1＝－（－2x＋）－1≤－2－1＝－2－1，当且仅当－2x＝，即x＝－时，等号成立，所以f（x）max＝－2－1.故选D. 6.C　由a＋b＋c＝0，a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，b＝－a－c，则a＞－a－c＞c，则－2＜＜－，令t＝，则－2＜t＜－，所以＝＋＝t＋（－2＜t＜－），又f（t）＝t＋在（－2，－1）上单调递增，在（－1，－）上单调递减，所以f（t）max＝f（－1）＝－1＋＝－2，又f（－2）＝－2＋＝－，f（－）＝－＋＝－，则－＜f（t）≤－2，即－＜≤－2，故选C. 7.ABC　反比例函数y＝，当x＝3时，y＝1，故A正确；因为y＝分子大于0，所以图象在第一、三象限，故B正确；反比例函数在第一、三象限上都单调递减，所以C正确；因为在（0，＋∞）上，y＝单调递减，所以当x＞1时，0＜y＜3，所以D错误.故选A、B、C. 8.CD　对任意x1，x2∈（1，＋∞），有＜0，则函数在区间（1，＋∞）上单调递减.对于A，f（x）＝x＋，由对勾函数的图象与性质可知不满足题意，故A不满足题意；对于B，f（x）＝，根据复合函数的单调性知，函数在区间（1，＋∞）上单调递增，故B不满足题意；对于C，f（x）＝1＋，函数在区间（1，＋∞）上单调递减，故C满足题意；对于D，f（x）＝－x－，显然函数在区间（1，＋∞）上单调递减，故D满足题意. 9.AD　由对勾函数的性质，可得f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增. ①当≤2，即0＜a≤4时，f（x）在[2，4]上单调递增，f（x）max－f（x）min＝f（4）－f（2）＝4＋－2－＝2－＝1，解得a＝4； ②当≥4，即a≥16时，f（x）在[2，4]上单调递减，f（x）max－f（x）min＝f（2）－f（4）＝2＋－4－＝－2＝1，解得a＝12（舍去）； ③当2＜＜4，即4＜a＜16时，f（x）在[2，）上单调递减，在（，4]上单调递增，f（x）min＝f（）＝2，f（x）max＝f（2）或f（4）.当f（x）max＝f（2）时，f（x）max－f（x）min＝f（2）－f（）＝2＋－2＝1，解得＝2＋或＝2－（舍去），则a＝6＋4，经验证，符合题意.当f（x）max＝f（4）时，f（x）max－f（x）min＝f（4）－f（）＝4＋－2＝1，解得＝6或＝2，即a＝36（舍去）或a＝4（舍去）.综上，a的值为4或6＋4. 10.（－∞，5]　解析：当x∈[1，2]时，由x2－ax＋4≥0得，a≤x＋.令f（x）＝x＋，则f（x）在[1，2]上单调递减.所以当x∈[1，2]时，f（x）∈[4，5].∃x∈[1，2]，x2－ax＋4≥0成立，即a≤f（x）max＝5，故实数a的取值范围为（－∞，5]. 11.4或16　解析：易知x∈（0，＋∞），所以f（x）＝x＋≥2＝16，当且仅当x＝，即x＝8时取等号，当0＜a＜8时，则n＝f（8）＝16，由mn＝320知m＝20，而函数f（x）在（0，a]上单调递减，则m＝f（a）＝a＋，即a＋＝20，解得a＝4或a＝16（舍去）；当a≥8时，则m＝f（8）＝16，由mn＝320知n＝20，而函数f（x）在[a，＋∞）上单调递增，则n＝f（a）＝a＋，即a＋＝20，解得a＝4（舍去）或a＝16.综上，a的值为4或16. 12.解：y＝＝1＋，图象如图所示. 函数在（－∞，2）和（2，＋∞）上单调递减. 因为≠0，所以1＋≠1. 故函数的单调递减区间为（－∞，2）和（2，＋∞），无单调递增区间. 值域为（－∞，1）∪（1，＋∞）. 13.解：图象如图所示. 其性质如下： （1）定义域：{x｜x≠0}； （2）值域：R； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：函数f（x）在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝x1－－（x2－）＝（x1－x2）（1＋）， 因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0， 又1＋＞0， 所以f（x1）－f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2）， 所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增； 同理可知，函数f（x）在区间（－∞，0）上单调递增. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $