福建泉州市2025-2026学年下学期期末高二数学参考试题

**基本信息** 以现实情境为载体，融合排列组合、导数、概率统计等知识，通过环保调研、非遗体验、返现抽奖等问题设计，考查数学眼光观察现实、思维推理及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|排列组合、导数运算、概率分布、统计回归|单选6网格路径（空间观念）、多选9环保调研回归分析（数据观念）| |填空题|3/15|二项式定理、随机变量、递推关系|14题射门训练递推（推理能力）| |解答题|5/77|独立性检验、导数应用、概率期望、极大似然估计|18题返现抽奖方案（模型观念）、19题植株成活率（数学语言表达决策）|

2025-2026学年度下学期期末高二参考试题保密★使用前 2026．07 数 学 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．用,,,,组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为 A． B． C． D． 2．下列求导的运算正确的是 A． B． C． D． 3．已知，则 A． B． C． D． 4．抛掷一枚质地均匀的骰子次，设为向上一面出现点或点的次数，则 A． B． C． D． 5．函数的最大值为 A． B． C． D． 6．如图，网格由边长为一个单位长度的小正方形组成，质点从点向点移动，规定每次只能向上或向右移动一个单位长度，则从出发，不经过点到达的最短路径的条数为 A． B． C． D． 7．已知函数，．当时，，则的取值范围为 A． B． C． D． 8．编号为,,的三个箱子里分别装有红球和其它颜色的小球，小球除颜色外完全相同．已知号箱、号箱、号箱的球数依次成公比为的等比数列，依此顺序的三个箱子的红球数占本箱总球数的比例也依次成等比数列，公比为．现从三个箱子中任取一个小球，设“取到的小球为红球”,“小球取自号箱”．若，则 A． B． C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某环保企业为响应国家“双碳”绿色发展战略，对新型绿色节能耗材进行市场优化调研．该企业拟定多种不同的售价开展试销，并统计连续个月的耗材月销售量（单位：千件）与销售单价（单位：元／件）的对应数据，如下表所示： 若关于的经验回归方程为，则下列说法正确的是 A．由数据可判断与负相关 B．经验回归方程相应的直线经过点 C．当售价为元/件时，样本点的残差为 D．当售价为元/件时，预测月销售额为千件 10．在泉州“宋潮”非遗市集活动中，甲、乙两名游客准备在南音、提线木偶、泉州花灯和蟳埔簪花四大非遗体验区体验，每人至少从中选择一个主题体验，且每个主题恰被其中1人体验．设“甲体验南音”，“甲体验提线木偶”，“乙体验泉州花灯”，则 A． B． C． D．与相互独立 11．已知函数，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若恰有两个零点，则 D．若,是的两个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，常数项为_________.（结果用数字作答） 13．已知随机变量，则_________. （随机变量，，） 14．年闽超联赛的常规赛共有十支参赛队伍，各队伍在赛前热身阶段进行射门训练．若运动员甲的射门命中率为，设“在次射门中，命中次数为奇数”，记，则与之间的递推关系式为_________，若满足，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为了解某地区市民体质情况是否与经常运动（周运动时长不少于个小时）有关，从该地区体质情况达到合格及以上的人群中随机抽取了1 000人进行问卷调查，得到如下列联表： 组别 体质情况合格 体质情况良好及以上 合计 经常运动 不经常运动 合计 （1）记体质情况良好及以上的人中不经常运动的概率为，请直接写出的值并求出的估计值； （2）依据小概率值的独立性检验，分析该地区市民体质情况是否与经常运动有关. 附： 16．（15分） 已知函数. （1）若在处有极小值，求的值； （2）讨论的单调性，并求的极值. 17．（15分） 已知函数，设曲线在点处的切线为． （1）求的方程； （2）若函数的图象为，证明：． 18．（17分） 某商场推出返现抽奖活动，活动含三种方案，顾客消费满一定金额后可任选其中一种参与，活动方案如下： 方案一：直接返现元； 方案二：袋中装有个除颜色外完全相同的小球，其中红球个，黄球个．每次从袋中一次性随机取出个小球，若取出的红球数量不少于个，则单次返现元，否则不返现．该次抽取完成后将小球放回袋内，每名参与者均有次抽奖机会； 方案三：箱中装有张除颜色外完全相同的卡片，其中红色卡片张，黄色卡片张．每次从箱中有放回地随机抽取张卡片，若抽中红色卡片，停止抽奖并返现元；若未中奖则继续抽取，抽满次为止． （1）对于方案二，用随机变量表示一次抽取的红球个数，求的分布列与数学期望； （2）从上述三种方案中，选择返现金额的数学期望最大的方案． 19．（17分） 为提升一种新型绿化植株的成活率，某科研部门对棵样本植株进行成活情况测试．已知这批植株中不能成活的棵数为，现从中一次性随机抽取棵，记恰有棵植株不能成活的概率为． （1）写出的表达式（用表示，保留组合数）； （2）记这批植株的不成活率为． （i）当取得最大值时，求此时对应的的值； （ii）现有,两个专家团队针对与某参数的相关性开展研究，团队得到的拟合函数模型为，团队得到的模型为．在统计学中，若存在，使得为（i）中的，则称是的极大似然估计．根据上述原理和两个函数模型，选择可以求出的极大似然估计的模型．（参考数据） 高二数学试题 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期末高二参考试题保密★使用前 2026．07 数 学 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．用组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为 A． B． C． D． 【命题意图】 本小题主要考查计数原理以及排列数的运算等基础知识，考查逻辑推理和数学运算的核心素养，体现基础性. 【答案】B. 【试题解析】 偶数的个位数字只能为或，则三位数总个数为. 2．下列求导的运算正确的是 A． B． C． D． 【命题意图】 本题主要考查初等函数导数公式及基本四则运算，属于基础题. 【答案】C. 【试题解析】 选项A：，故A错误；选项B：,故B错误； 选项C：，故C正确；选项D：，故D错误. 3．已知，则 A． B． C． D． 【命题意图】 本题主要考查代数式赋值法求二项展开式特定项及系数和，属于基础题. 【答案】B. 【试题解析】 令，可得，令，，所以. 4．抛掷一枚质地均匀的骰子次，设为向上一面出现点或点的次数，则 A． B． C． D． 【命题意图】 本题以离散型随机变量为载体，主要考查二项分布的数学期望等基础知识，考查运算求解能力，发展数学运算，数学建模等核心素养，体现了基础性. 【答案】D. 【试题解析】 依题意可知，抛掷一枚质地均匀的骰子1次，向上一面出现1点或2点的概率为， 所以，即. 5．函数的最大值为 A． B． C． D． 【命题意图】 本小题以三角函数为载体，主要考查导数四则运算、复合函数的求导、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，体现了基础性. 【答案】C. 【试题解析】 因为，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时函数取得最大值为，故选C. 6．如图，网格由边长为一个单位长度的小正方形组成，质点从点向点移动，规定每次只能向上或向右移动一个单位长度，则从出发，不经过点到达的最短路径的条数为 A． B． C． D． 【命题意图】 本题以网格路线为载体，主要考查组合问题和补集思想，考查逻辑推理和数学运算等核心素养，体现基础性和综合性. 【答案】B. 【试题解析】 解法一：从点出发到达点的最短路径共有条，从点出发，经过点到达点的最短路径共有条，所以从点出发，不经过点到达点的过程中，最短路径的条数为条. 解法二：可直接由枚举法得到共有条. 7．已知函数，．当时，，则的取值范围为 A． B． C． D． 【命题意图】 本小题以函数为载体，考查导数在函数中的应用，考查利用导数研究函数的单调性和最值等知识，考查不等式的转化运算能力，考查逻辑推理和数学运算等核心素养，体现了基础性和综合性. 【答案】A. 【试题解析】 解法一：不等式可化为，令， 可得 令，则 由得，则在上单调递增，所以 令得；令得 所以在上单调递减，在上单调递增，则 所以. 解法二：不等式可化为，令 ，令，得， 当即时，在上单调递增，在上单调递减 又，则对于，，不合题意，舍去 当即时， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 则只需，得 当即时，，在上单调递减 则，符合题意 当即时， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 则只需，即，由法一可知，该式恒成立 则符合题意 ， 综上所述：. 8．编号为,,的三个箱子里分别装有红球和其它颜色的小球，小球除颜色外完全相同．已知号箱、号箱、号箱的球数依次成公比为的等比数列，依此顺序的三个箱子的红球数占本箱总球数的比例也依次成等比数列，公比为．现从三个箱子中任取一个小球，设“取到的小球为红球”,“小球取自号箱”．若，则 A． B． C．或 D．或 【命题意图】 本题以取球试验为情境，主要考查条件概率、全概率公式，考查数学建模、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性. 【答案】C. 【试题解析】 因为号箱、号箱、号箱的球数依次成等比数列，公比为 且依此顺序的三个箱子里的红球占比率也依次成等比数列，公比为 设号箱中有个球，红球占比率为， 则号箱中有个球，红球占比率为，号箱中有个球，红球占比率为， 由全概率公式可得： 得：或. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某环保企业为响应国家“双碳”绿色发展战略，对新型绿色节能耗材进行市场优化调研．该企业拟定多种不同的售价开展试销，并统计连续个月的耗材月销售量（单位：千件）与销售单价（单位：元／件）的对应数据，如下表所示： 若关于的经验回归方程为，则下列说法正确的是 A．由数据可判断与负相关 B．经验回归方程相应的直线经过点 C．当售价为元/件时，样本点的残差为 D．当售价为元/件时，预测月销售额为千件 【命题意图】 本题以线性回归方程为载体，主要考查线性相关性的判断、样本中心点的定义、残差的计算、并根据样本中心点求参数，利用回归方程进行数据估计，属于基础题. 【答案】ABC. 【试题解析】 观察图表可判断与负相关，故A正确； ，根据线性回归方程必过样本中心点，即，故B正确； 当时，，，故C正确； 当时，，故D错误. 10．在泉州“宋潮”非遗市集活动中，甲、乙两名游客准备在南音、提线木偶、泉州花灯和蟳埔簪花四大非遗体验区体验，每人至少从中选择一个主题体验，且每个主题恰被其中1人体验．设“甲体验南音”，“甲体验提线木偶”，“乙体验泉州花灯”，则 A． B． C． D．与相互独立 【命题意图】 本小题以泉州非遗为背景，主要考查古典概型，条件概率，相互独立，概率公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算及数学建模核心素养，体现了基础性和综合性. 【答案】AC. 【试题解析】 A选项：若每个主题都有两种选择则有种，每个主题都是甲体验或者都是乙体验有种，所以基本事件总数为：，事件包含的样本点数为，， A正确； B选项：同上可得，事件包含的样本点数为，，所以，B不正确； C选项：， 作差得 由B选项知，所以C正确； D选项：同B选项可得，，所以D选项不正确. 11．已知函数，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若恰有两个零点，则 D．若,是的两个零点，则 【命题意图】 本题以函数与导数为载体，主要考查利用导数研究函数的零点、不等式恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算，数学建模等核心素养，体现了基础性和综合性. 【答案】BCD. 【试题解析】 定义域为，对于A，当时， 因为，若，则， 令，则， 令，得；令，得 所以在上单调递增，在上单调递减 所以，即不成立，故A错误； 对于B，令，得 令，则，令得 所以当，，单调递增，当，，单调递减 所以，所以，即，即恒成立，故B正确； 对于C，恰有个零点，所以即有两个不等的正实根 令，则，令得 所以当，，单调递增，当，，单调递减 所以 当时，；当时， 所以，即，即有两个不等的正实根， 即恰有个零点，故C正确； 对于D，是函数的2个零点，所以有即 所以原问题等价于有两个零点，证明 设，则由得到 要证，只需证，即证 只需证，即证 令，则只需证 令则，即在上单调递增 由，所以，即恒成立 所以原不等式成立，即成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，常数项为_________.（结果用数字作答） 【命题意图】 本题主要考查二项式定理，属于基础题. 【答案】. 【试题解析】 的展开式的通项， 令，解得，故常数项为. 13．已知随机变量，则_________. （随机变量，，） 【命题意图】 本题主要考查正态分布在特定区间的概率及正态曲线的对称性，属于基础题. 【答案】. 【试题解析】 根据,可得 ,根据正态的分布的对称性可得. 14．年闽超联赛的常规赛共有十支参赛队伍，各队伍在赛前热身阶段进行射门训练．若运动员甲的射门命中率为，设“在次射门中，命中次数为奇数”，记，则与之间的递推关系式为_________，若满足，则_________. 【命题意图】 本题以闽超联赛为情境，主要考查全概率公式及数列通项公式求法，考查数学建模、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性. 【答案】，. 【试题解析】 由全概率公式可知： ，又 是以为首项，为公比的等比数列， 即，得 ， 整理得：， 解得：， ，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为了解某地区市民体质情况是否与经常运动（周运动时长不少于个小时）有关，从该地区体质情况达到合格及以上的人群中随机抽取了1 000人进行问卷调查，得到如下列联表： 组别 体质情况合格 体质情况良好及以上 合计 经常运动 不经常运动 合计 （1）记体质情况良好及以上的人中不经常运动的概率为，请直接写出的值并求出的估计值； （2）依据小概率值的独立性检验，分析该地区市民体质情况是否与经常运动有关. 附： 【命题意图】 本题以概率统计为载体，主要考查古典概型及独立性检验等基础知识，考查数学运算，数学建模等核心素养，体现了基础性和应用性. 【试题解析】 （1）根据表格可知， （每个数据1分）2分 因为体质情况良好及以上的人中有人不经常运动， （该步缺失不扣分）3分 所以的估计值为 （没写估计值或约等扣1分，答案未化简扣一分）6分 （2）零假设为：该地区市民体质情况与经常运动无关 8分 由（1）知，列联表完善表格如下： 组别 合格 良好及以上 合计 经常运动 不经常运动 250 合计 600 400 根据表中数据可得 根据小概率值的独立性检验 （体现用公式得1分，数值1分，比较1分）11分 我们推断不成立，即认为该地区市民体质情况与经常爱运动有关，该推断犯错误的概率不超过 （回答不完整扣一分）13分 16．（15分） 已知函数. （1）若在处有极小值，求的值； （2）讨论的单调性，并求的极值. 【命题意图】 本题以三次函数为载体，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，解含参一元二次不等式等基础知识，考查逻辑推理和数学运算等核心素养，体现基础性和应用性． 【试题解析】 （1） 1分 依题意可得 2分 即，得 3分 检验：当时， 令，得或；令，得 4分 所以在和上递增，在上递减 则当时，有极小值，符合题意． 所以 （检验表达不完整扣1分）5分 （2） 6分 令，得， 7分 当即时，令，得或；令，得 所以在和上递增，在上递减 8分 则的极大值为，极小值为； 10分 当即时，，所以在上递增 11分 则无极大值，也无极小值； 12分 当即时，令，得或；令，得 所以在和上递增，在上递减 13分 则的极大值为，极小值为 15分 17．（15分） 已知函数，设曲线在点处的切线为． （1）求的方程； （2）若函数的图象为，证明：． 【命题意图】 以函数为载体，考查利用函数导数研究曲线的切线和证明不等式等知识，考查逻辑推理和数学运算等核心素养，考查不等式的转化与运算等能力，体现基础性和综合性． 【试题解析】 （1）依题意可得：，则, （每项1分）3分 所以直线的方程为 （方程没有化简扣1分）5分 （2） 解法一： 由（1）可知，即证， 6分 即证 8分 设 ， 9分 则 11分 令，得；令，得 13分 所以在上递减，在上递增 14分 所以，得证 15分 解法二： 由（1）可知，即证，即证 6分 设，则, 7分 令，则令，得；令，得 8分 所以在上递减，在上递增，且 9分 当，，则 10分 当，，所以， 11分 当， 12分 所以在上递减，在上递增 14分 所以，得证 15分 18．（17分） 某商场推出返现抽奖活动，活动含三种方案，顾客消费满一定金额后可任选其中一种参与，活动方案如下： 方案一：直接返现元； 方案二：袋中装有个除颜色外完全相同的小球，其中红球个，黄球个．每次从袋中一次性随机取出个小球，若取出的红球数量不少于个，则单次返现元，否则不返现．该次抽取完成后将小球放回袋内，每名参与者均有次抽奖机会； 方案三：箱中装有张除颜色外完全相同的卡片，其中红色卡片张，黄色卡片张．每次从箱中有放回地随机抽取张卡片，若抽中红色卡片，停止抽奖并返现元；若未中奖则继续抽取，抽满次为止． （1）对于方案二，用随机变量表示一次抽取的红球个数，求的分布列与数学期望； （2）从上述三种方案中，选择返现金额的数学期望最大的方案． 【命题意图】 本题以情境为载体，考查超几何分布、二项分布、随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运算求解能力等，考查数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养． 【试题解析】 （1）的所有可能取值为：,,, 1分 ，，， 4分 所以的分布列为 （代公式1分，答案1分）6分 （2）记方案一、二、三的返现金额分别为,, 对于方案一：依题意得 7分 对于方案二：由（1）可得 8分 记次抽奖中得到元返现的次数为，则 所以 9分 又， 10分 则 （通过非二项分布求解按正确比例得分）11分 对于方案三：记“一次抽奖中抽中红色卡片”为事件，则 12分 “5次抽奖中有抽中红色卡片”为事件，每次抽奖的结果相互独立 所以，所以 13分 的所有可能取值为，， 15分 则 16分 则且 综上所述：方案二的返现金额的数学期望最大 17分 19．（17分） 为提升一种新型绿化植株的成活率，某科研部门对棵样本植株进行成活情况测试．已知这批植株中不能成活的棵数为，现从中一次性随机抽取棵，记恰有棵植株不能成活的概率为． （1）写出的表达式（用表示，保留组合数）； （2）记这批植株的不成活率为． （i）当取得最大值时，求此时对应的的值； （ii）现有,两个专家团队针对与某参数的相关性开展研究，团队得到的拟合函数模型为，团队得到的模型为．在统计学中，若存在，使得为（i）中的，则称是的极大似然估计．根据上述原理和两个函数模型，选择可以求出的极大似然估计的模型．（参考数据） 【命题意图】 本题以新型植株的成活率检测为情境，考查超几何分布模型的建立与应用、极大似然估计思想及函数导数应用。第（1）问要求学生写出概率表达式，巩固组合计数基础；第（2）问通过求概率最大值及对应故障率，引入两种函数模型，要求学生判断模型能否用于求解极大似然估计，渗透极值思想与函数导数工具，并引导学生将实际问题中的成活率与参数模型关联，初步体会统计推断中的参数估计方法。体现数学建模、逻辑推理与运算素养，体现应用性和综合性. 【试题解析】 （1）依题意可得 （分子和分母各1分）2分 （2）（i）设最大，则 3分 即 4分 所以 化简得 5分 解得 6分 因为，所以当时，取得最大值，此时不成活率 7分 （ii）记函数，下面先证明， 8分 记，因为， 所以当时，，函数单调递增；当时，，单调递减，所以当时函数取得最大值为，所以，即， 9分 所以， 10分 记，因为， 11分 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时函数取得最大值为 12分 所以， 所以团队提出的函数模型不可以求出 的极大似然估计. 13分 记函数 因为 14分 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 15分 当时取得最小值为， 16分 又，，所以， 所以，即团队提出的函数模型可以求出的极大似然估计. 17分 高二数学试题答案 第1页 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