精品解析：福建省泉州市丰泽区北附中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

泉州北附中学2024-2025学年第二学期期末考试卷（高二年数学科） 考试时间长度120分钟 总分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算化简，再求出共轭可得. 【详解】， 所以，其虚部为. 故选：A. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式可化简集合B，然后由并集定义可得答案. 【详解】.则， 从而. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式可得出的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】由得，则． 故选：B． 4. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得； 【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用连花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 依题意可得，，，，，， 所以 . 故选：C 5. 6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（ ） A. 360种 B. 180种 C. 720种 D. 450种 【答案】D 【解析】 【分析】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案，共有（种）不同的安排方案. 【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案； 方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案. 所以共有（种）不同的安排方案. 故选：D. 6. 已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（ ） A. 3 B. 2.8 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出，即得回归直线方程，表示出样本中心点坐标，代入回归方程，即可求得答案. 【详解】由题意知回归方程为过点，则， 即； 又，， 由于回归方程为必过样本中心点， 故， 故选：C 7. 香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可. 【详解】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为， 由题意可得，即，解得， 同理，即，解得， 所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍. 故选：B 8. 有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为. 则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点处，则游戏过关. 试问游戏结束时过关的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意棋子在点处，可得三次骰子点数之和为或，再利用列举法以及古典概型的概率公式计算可得． 【详解】举出在点数中能够使得三次数字和为或的有： ，，共有7种组合， 前2种组合每种情况可以排列出种结果，共有种结果； 后5种组合各有3种结果，共有种结果， 由分类加法计数原理知，共有种结果； 拋次骰子共有种结果， 故拋掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出三次骰子点数之和为或，列出所有可能得组合，在分析相应的排列数，最后由古典概型的概率公式计算. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设令，利用赋值法可判断ACD选项；利用二项展开式通项可判断B选项. 【详解】令. 对于A选项，，A错； 对于B选项，的展开式通项为， 令，可得，则，B对； 对于C选项， ，C对； 对于D选项，， 所以，，D错. 故选：BC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数图象的顶点坐标求出A，再由周期求出，由五点法求出，进而得出的解析式，逐项判断即可. 【详解】由函数的图象可得， 由，解得， 再根据五点法可得， 又因为，解得，从而， 则，A正确； ， 函数没有取到最大或最小值，所以直线不是对称轴，B错误； ， 所以函数的图象关于点对称，C正确； 因为时，， 所以单调先增后减， 所以当时，， 当时，， 所以函数在上的值域为，D正确. 故选：ACD 11. 关于函数，下列判断正确的有（ ） A. 在处的切线平行于轴 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得恒成立 D. 对于两个不相等的正实数，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题先求导分析的单调性与极值，再对各选项逐一验证：A 通过求导判断处切线斜率；B构造，利用导数判断单调性并结合零点存在定理；C 转化为​恒成立，分析右侧函数值域；D 由推出，再结合在上的单调性得证． 【详解】，则， 对于A，在处的切线斜率为，所以在处的切线平行于轴，A正确； 对于B，，则 ， 所以函数在上单调递减， 且，， 所以函数有且只有1个零点，B正确； 对于C，若，可得， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递减，函数无最小值， 所以不存在正实数，使得成立，C错误； 对于D，由，得， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，且， 令，， ， 所以在单调递减， 所以，即， 所以， 又，，在单调递增， 所以，即， 又在单调递增， 所以，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标运算，计算的坐标，结合向量垂直的关系列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得． 故答案为：. 13. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知命题的否定为真命题,转化为不等式恒成立问题,即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“，”是真命题， 即在上恒成立，所以,解得. 故答案为： 14. 已知函数，则关于x的不等式的解集是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出是奇函数，且在定义域上是单减函数，变形再利用单调性解不等式可得解. 【详解】， 是奇函数，又是上的减函数，是上的增函数， 由函数单调性质得是上的减函数. ,则，由奇函数得 且是上的减函数. ， ，又 不等式的解集是 故答案为： 【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解指对数方程或不等式. 有关指对数方程或不等式的求解思路：利用指对数函数的单调性，要特别注意底数的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑．为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生．按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计．通过整理得到如图所示的频率分布直方图．已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人． 参考数据与参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中． （1）求的值． （2）估计月消费金额的中位数 （3）依据小概率值的独立性检验，分析月消费金额在2000元以上的大学生与性别是否有关？ 【答案】（1） （2）元 （3）有关． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得答案； （2）由频率分布直方图估计中位数计算方式可得答案； （3）由题可得相关列联表，然后计算对应卡方进行独立性检验即可. 【小问1详解】 由直方图知，各矩形面积之和为1， 则，解得； 【小问2详解】 由频率分布直方图知， 前3个矩形面积之和为：； 前4个矩形面积之和为： ， 设中位数为，∴， ∴，∴月消费金额的中位数为百元，即元； 【小问3详解】 故月消费金额超过2000元的大学生人数为人， 由分层抽样知，男生、女生抽样的人数分别为600人和400人， 由题知，月消费金额超过2000元的男生人数为100人，由条件可以列出列联表： 男生 女生 合计 消费金额不超过2000元 500人 250人 750人 消费金额超过2000元 100人 150人 250人 合计 600人 400人 1000人 提出零假设：月消费金额在2000元以上的大学生与性别无关． 故， 所以在犯错的概率不超过的情况下可以判断月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关． 16. 在四棱锥中，底面是菱形，，，． （1）若分别是的中点，证明：平面； （2）若，证明：平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接，可得，利用勾股定理证得，由线线垂直推出线面垂直，得到平面，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点，∴，且， ∵底面是菱形，且为的中点，∴，， 则得，故四边形为平行四边形， ∥，又∵平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，∵，∴， 又∵，，∴， ∵，，四边形是菱形，∴△是等边三角形， ∴，由，可得， ∵，平面，∴平面， 又∵平面，∴平面平面． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，，设为的角平分线，求的长. （3）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解. （2）利用三角形面积公式列式求解即得. （3）利用余弦定理及面积公式列式求出，即可求得周长. 【小问1详解】 在中，由及由正弦定理，得， 而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由为的角平分线，得， 即，而，， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，由，得， 又，由余弦定理，得， 即，解得， 所以的周长为. 18. 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． （1）求在一局比赛中，甲得分的分布列与数学期望； （2）设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； （3）设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）需要先确定甲得分的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，进而得到分布列和数学期望； （2）根据独立重复试验的概率公式计算取不同值的概率，得到分布列和数学期望； （3）分析甲最终获胜的所有情况，分别计算其概率，再求和得到甲最终获胜的概率. 【小问1详解】 在一局比赛中，甲得分的可能取值为，，10. 表示甲答错且乙答对的情况.根据独立事件的概率乘法公式，可得. 包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错. 甲、乙都答对的概率为，甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得. 表示甲答对且乙答错的情况.根据独立事件概率乘法公式，可得. 的分布列为： 10 则的数学期望为：. 【小问2详解】 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则 ， . 的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望为：. 【小问3详解】 甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为 ② 两局得10分，一局得分，其概率为 ③ 两局得10分，一局得分，其概率为 ④ 一局得10分，两局得分，其概率为. 综上可得，甲最终获胜的概率为. 19. 已知函数（，）. （1）当时，求证：； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1）证明：当时，设， 所以单调递增， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以， 所以； （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）构造函数结合函数单调性得出函数最小值证明求解； （2）求出导函数，再分，，，四种情况，得到函数的单调性； （2）参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性和最大值，从而得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，， 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，， 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，， 令，解得， 当时，单调递增； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； 【小问3详解】 当时，符合题意； 当时，，则等价于恒成立， 令， ， 由（1）知，所以，， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则， 因为恒成立，所以， 所以， 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州北附中学2024-2025学年第二学期期末考试卷（高二年数学科） 考试时间长度120分钟 总分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（ ） A. 360种 B. 180种 C. 720种 D. 450种 6. 已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（ ） A. 3 B. 2.8 C. 2 D. 1 7. 香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为. 则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点处，则游戏过关. 试问游戏结束时过关的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上的值域为 11. 关于函数，下列判断正确的有（ ） A. 在处的切线平行于轴 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得恒成立 D. 对于两个不相等的正实数，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，若，则____________． 13. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_____ 14. 已知函数，则关于x的不等式的解集是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑．为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生．按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计．通过整理得到如图所示的频率分布直方图．已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人． 参考数据与参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中． （1）求的值． （2）估计月消费金额的中位数 （3）依据小概率值的独立性检验，分析月消费金额在2000元以上的大学生与性别是否有关？ 16. 在四棱锥中，底面是菱形，，，． （1）若分别是的中点，证明：平面； （2）若，证明：平面平面． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，，设为的角平分线，求的长. （3）若，且的面积为，求的周长. 18. 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． （1）求在一局比赛中，甲得分的分布列与数学期望； （2）设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； （3）设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 19. 已知函数（，）. （1）当时，求证：； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $