云南昭通一中教研联盟2025-2026学年高一下学期期末考试数学（A卷）

昭通一中教研联盟2026年春季学期高一年级期末考试 数学(A卷)答题卡 班级 姓 名 考场号 座位号 注意事项 正确填涂 准考证号 1.答题前，考生先将自己的姓名、准 填 考证号、考场号、座位号填写清楚。 ■ 2.选择题使用2B船笔填涂，非选择题 使用黑色碳素笔书写，超出答题区域 错误填涂 汇双。 ☑I 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 0000000]000 技。 母中 和① 和工和① 团和和 ▣ 2刀 R 2202刀2I 2020 2 2习 3 3 33 33】3 3 3 四 55555 555 5 5 ■ 贴条形码区 666666 66 6 6] 刀刀刀刀 刀 ◆ (正面朝上，请贴在虚线框内) 88I818I8I8I8☐888 99999I9]9]999 缺考 标记 口整资婆程考整喜发美贵喜躲 1 [A][B]C][D] 5 [A][B]C]D 9[A][B]C][D] 2 A BC网D 6 A [B]CD 10IBC网D可 3 A]B C]D 7BD 11AIBD可 4 A][B C][D] 8A▣BCD ■ 三、填空题（本大题共3小题， 每小题5分，共15分) 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题（共77分） 15.(本小题满分13分) 解：(1) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) C (1) B (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 A卷ZT 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.（本小题满分15分) 解：（1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效昭通一中教研联盟2026年春季学期高一年级期末考试 数学(A卷) 命题单位：昭通市第一中学高二数学备课组 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试 用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.复数，，的实部是 1-3i A.、3 0.、3 10 10 2.某商场顾客购买生活物品时只用现金支付的概率为0.48，既用现金支付也用非现金支 付的概率为0.12，则不用现金支付的概率为 A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 3.已知平面向量a与b的夹角为60°，a=(0,2),|b引=1，则|a+21= A.-2 B.2 C.23 D.-23 4.某工厂有退休工人200人，中年职工400人，青年职工400人.为了解该工厂的职工健 康情况，计划采用按比例分层抽样的方法从该工厂所有职工中抽取一个容量为50的样 本，则应从中年职工抽取的人数为 A.10 B.12 C.18 D.20 高一数学A卷ZT·第1页（共6页） 5.若一个圆锥的轴截面是一个等边三角形，则该圆锥的表面积与轴截面面积之比是 2W3π A.√3π B. 3 C.②m D.3m 3 2 6若事件A,B发生的概率分别为P(A)=子，P(B)=,则下列说法不正确的是 A.若A与B相互独立，则P(AB)=石 B.若A与B互斥，则P(AUB)=G C.若P4B)=,则事件A与B相互独立 D若ACB,则P以A)= D 7.如图1，已知ABCD-AB,CD1为正方体，则异面直线B,C与BD所 成角为 A.30° B.45° 图1 C.60° D.90° 8.记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2=6 abcosC,则 tanC(tanA+tanB) tanAtanB A.3 B.4 C.5 D.6 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知m,n是两条不重合的直线，a,B,y是三个两两不重合的平面，则下列命题正 确的 A.若nCa,n⊥B,则a⊥B B.若m∥a,n∥a,则m∥n C.若m∥B,n∥B,m,nCa,则a∥B D.若m⊥a,nLB,a∥B,则m∥n 高一数学A卷ZT·第2页（共6页） 10.已知单位向量a,b,则下列命题正确的是 A.若a∥i,b∥c,则a∥c B.若a= 3 2, 6=(cosa,sima）,且d/石，则tanx=± 3 C.-1≤a·b≤1 D.若云，)-则向量5在向量上的投影向量是克 11.随着人们生活水平的提高，给自己买保险是一种新趋势，因此某保险公司为客户定制 了5个健康险种供顾客购买：甲，一年期短险；乙，长期医疗保险；丙，e生保；丁， 定期寿险；戊，重大疾病保险.5个健康险种推出一定时间后，该保险公司对5个险 种的购买客户进行抽样调查，经数据处理得出统计图如图2： 不同年龄人均参保费用 参保险种比例 参保人数比例 比例 费用 0.5 6500 0.45 6000 0.4 18~29周岁 0.35 21% 30-40周岁 5500 0.3 51周岁 38% 5000 0.25 以上9% 4500 0.2 0.15 41~50周岁 4000 0.1 32% 3500 0.05 18-29 304041-50 51周岁 周岁 周岁 周岁 01 以上 乙丙 戊险种 图2 若用该样本估计总体，则以下四个选项正确的是 A.18~29周岁人群的人均参保费用最少且不同年龄人均参保费用随年龄增大而增加 B.30周岁以上人群占参保人群的79% C.甲、乙、丙三种参保险种的比例和比参保险种戊的大 D.丁险种更受参保人喜爱 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图3，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP=xOA+ yOB,且BP=3PA,则x+y= 图3 高一数学A卷ZT·第3页（共6页） 13.某厂新购买生产高精产品的新设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用 一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品某项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记 为和s,则s+s= 14.已知△ABC为锐角三角形，内角A满足向量m=(3cos2A,sin4),元=(1，-sinA),且 m上n,则A= ;设AB=pm,AC=q元(p>0,q>0),当p+q=2时，则△ABC 面积的最大值为 ·（第一空2分，第二空3分)》 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 某海鲜养殖场创新某种海鲜水产品养殖，现就养殖的新、旧网箱养殖方法的收获产量 进行对比，各随机抽取了100个网箱，称重各箱水产品的产量（单位：kg).其频率 分布直方图如图4： ↑频率 频率 组距 组距 0.068 0.040- 0.034 0.032 884 0.024 0.020 0.014 0.020 0.012 0.010 0.008 0.004 025303540455055606570箱产量/kg 003540455055606570箱产量/kg 日养殖法 新养殖法 图4 (1)根据箱产量的频率分布直方图，求旧养殖法的众数和新养殖法箱产量的50%分 位数的估计值（精确到0.01)； (2)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量不低于 50kg,新养殖法的箱产量低于50kg”,估计A的概率 高一数学A卷ZT·第4页（共6页） 16.(本小题满分15分)》 如图5，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，E,F分别是BC,CC,的中点，且AB=AC. (1)证明：AE⊥平面B,BCC1; (2)若底面△ABC是边长为2的等边三角形且直线A,C与平面A,ABB,所成的角为 45°，求AA1的长及三棱锥C-AEF的体积 B 图5 17.（本小题满分15分) 某学校举办文体艺术周有体育竞技类和文艺艺术类两类参赛活动，其中体育竞技类有 4项活动，文艺艺术类有6项活动，每位参赛同学从中随机抽取一项参赛活动， (1)若甲、乙两人只参加文艺艺术类活动，求甲、乙两人抽到不同文艺艺术类活动 的概率： (2)若丙同学采用不放回方式随机的从文体艺术周的体育竞技类和文艺艺术类两类 参赛活动中抽取两项参赛活动. ①求丙同学第二次抽到体育竞技类项的参赛活动的概率： ②若体育竞技类有4项活动，文艺艺术类有项活动，如果丙同学抽到的2项参赛活 动都是体育竞技类项的参赛活动概率不超过二，那么几的最小值是多少？ 高一数学A卷ZT·第5页（共6页） 18.（本小题满分17分) 如图6，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，PD=AB=2, E为PC的中点. (1)求证：PA∥平面BDE; (2)设平面PAB∩平面PCD=I,求证：I∥平面ABCD; (3)求二面角B-DE-C的余弦值， 图6 19.（本小题满分17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4 ccosA=ab-4 acosC. (1)求a的值； (2)若AD⊥BC于D,且AD=2W3, ①证明：0<A≤ ②求b+c的最小值 高一数学A卷ZT·第6页（共6页）昭通一中教研联盟2026年春季学期高一年级期末考试 数学（A卷)参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 马 C D A D B 【解析】 因：古a而品分u数数实为方 故选C 10 2.设事件A为不用现金支付，则P(A)=1-0.48-0.12=0.4,故选B. 3.由题意得1a2,a.b-ā61cos60°=2×1x)k所以1a+2bFa+2b2 =√+4仍2+4.万=V4+4+4=25,故选C. 4.设应从中年职工中抽取的人数为50× 200+400+40020,故选D. 400 5.设底面圆的半径为r,则母线长为2r,得侧面积是×2m×2=22,所以圆锥的表面积 为3m2.轴截面是一个正三角形，边长为2r,则其面积。×2r×2r×sin60°=√3r2,所以面 积之比是√元，故选A. 6.对于A若A与B相互独立，则PM)=PAPB)=石，故A正确：对于B,若A与B互 斥，则PAUB)=+P)名，放B正确：对于C,PP=I}名结 合P(A-名，故PA=PEP),故事件A与B相互独立，C正确：对于D,若AEB, 则P(AB)=P(A)=3,故D错误，故选D. D 7.如图1，连接AD,DB,AB,则AD∥B,C,∴.∠ADB是异面直线BC 与BD所成角，且△ABD为等边三角形，∴.∠ADB=60°，即异面直 线BC与BD所成角为60°，故选C. 高一数学A卷ZT参考答案·第1页（共7页） 8.+b=6abcosC,6cosc=b ab’又cosC=a2+b2-c2 Q+6 2ab ab =6.02+b2-c2 即a+B=c2.:在锐角三角形ABC,a,b,c分别为内角A,B, 2ab 2 C所对的边长，.A+B+C=π，.sinC=sin(A+B)=sin Bcos A+cos Bsin A,从而有 tan C(tan A+tan B)tan C,tan C sin C cos A,sin C cos B sin C cosA cosB tan Atan B tan A tan B cosCsinA cosCsin B cos C sinA 1 sin B sinC sin Bcos A+cos Bsin A sin2C 2ab 2c2 =4, cos C sin Asin B sin Asin BcosC abcosC ab a2+b2-c2 3c2-c2 故选B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AD ABC ABD 【解析】 9.对于A,由平面与平面垂直的判定，可得若nca,nLB,则aLB,故A正确；对于B, 若mMa,n/∥a,则m,n平行或异面或相交，故B错误；对于C,由m∥B,n∥B,m, nca,若m与n相交，则a∥B,若m/n,则a可能平行B,也可能与B相交，故C错 误；对于D,mLa,∥B,则mLB,又nLB,则m∥n,故D正确，故选AD. l0.对于A.a,b是单位向量，aWib∥c,所以一定有a/c,所以A正确：对于 B.laFl,a= 小=又，6=a原 (2或 5.1 2'2且 5 cosa= b=(cosa,sina),.. 2 cosa=3 或 ，tana=t 2 1 3 ,B正确；对于 sina= 2 sina= 2 C.a.b|dl6lcos<,i>-cos<d,i>，因-1≤cos<a,b>≤1，-1≤a…b≤1， 所以C正确：对于D.义a,b>=3,六b在a上的投影向量为a:2.a1 1a'a2a,D错 误，故选ABC. 高一数学A卷ZT参考答案·第2页（共7页） 11.A选项中，参保费用问题，由不同年龄人均参保费用图可知，18~29周岁人群的人均参 保费用最少且不同年龄人均参保费用随年龄增大而增大，即A正确；参保人数问题，由 参保人数比例图可知，30周岁以上人群占参保人群的79%，B正确；C选项中，由参保 险种比例图可知：甲、乙、丙三种参保险种的比例和f年+f2+f丙<0.05+0.1+0.15 =0.3<∫龙，所以C错误；D选项中，由参保险种比例图可知，丁险种参保比例最高，即 丁险种更受参保人喜爱，即D正确，故选ABD, 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 1 0.076 π.21 332 【解析】 B 12.如图2，BP=3PA,.OP-OB=3(OA-OP),化为 0Op-i+o5.又op=ot0i,x=子y 3 1 故x+y=1,故填：1. 图2 13.x-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7 =10, 10 y=10.1+104+10.1+10+10.1+10.3+106+10.5+104+10.5-103 10 =02+0.3+0+02+0.P+02+0+0.P+02+03=0036, 10 好-02+0.P+0.2+032+022+0+0,3+0.2+0,P+0.2 =0.04, 10 所以s2+53=0.076,故填：0.076 14.ImL3aosA-nA=0.A0月引mA=3,解得mA=5,A-行 52i。万。21 4x4px29=32pg又因 高一数学A卷ZT参考答案·第3页（共7页） 为p9≤(P9-1,S 21 21 32 Pg. ,当且仅当p=q=1时，取等号，△ABC面积 2 32 的最大值为2 2 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由题意可知旧养殖法的直方图的众数为47.50. …（2分) 因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为 (0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5, …(3分) 箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5， …(4分) 所以新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+0.5-0.34 52.35kg). 0.068 ……(6分) (2)记B表示事件“旧养殖法的箱产量不低于50kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量 低于50kg”, 1旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.040+0.034+0.024+0.014+0.012)×5=0.62， 旧养殖法的箱产量不低于50kg,即P(B)的估计值为0.38， …(9分) 新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66， 新养殖法的箱产量低于50kg,即P(C)的估计值为0.34 …(12分) 因此事件A的概率估计值为P(A)=P(B)P(C)=0.38×0.34=0.1292. …（13分) 16.(本小题满分15分) (1)证明：如图3，因为三棱柱ABC-AB,C,是直三棱柱， 所以AE⊥BB: 又因AB=AC,所以△ABC是等腰三角形. 因E是边BC的中点，所以AE⊥BC 又BC∩BB,=B,因此AE⊥平面BBCC1.…(6分) (2)解：设AB的中点为D,连接AD,CD, 图3 因为△ABC是正三角形，所以CD LAB 高一数学A卷ZT参考答案·第4页（共7页） 又三棱柱ABC-AB,C是直三棱柱，所以CD LAA. 因此CD⊥平面AABB,于是∠CAD为直线AC与平面AABB,所成的角， …(10分） 由题设，∠CAD=45,所以AD=CD=5AB=5, 2 在R△AAD中，AA=VAD2-AD2=√3-1=√2， …(13分) 所以C-4=号 2 在三棱锥C-AEF中由等体积的思想可知： Aa=V-AeFC=x5x2巨6 1 -X 3 32212 故三棱锥C-AF的体积为√6 …(15分) 12 17.(本小题满分15分) 解：(1)用1,2,3,4,5,6表示6个文艺艺术活动，甲、乙二人每人抽取1个活动的 所有结果如下表： 2 甲 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 1,5) (1,6 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4 (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (62) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同文艺艺术项活动结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6 个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同文艺艺术项活动活动的结果有30个，概率P=30_三 366 …(5分) 高一数学A卷ZT参考答案·第5页（共7页） (2)从文体艺术周的体育竞技类和文艺艺术类两类参赛活动中抽取两项参赛活动共有 10×9=90种，即n(2)=90. 设事件A=“丙同学两次抽到的参赛活动都是体育竞技类项的参赛活动”， 则n(A)=4×3=12. 设事件B=“丙同学第一次抽到文艺艺术类的项参赛活动，第二次抽到体育竞技类项的参 赛活动”，n(B)=6×4=24. …(10分) ①所以：P(丙同学第二次抽到体有竞技类项的参赛活动)=PAUB)=12+24_? 905 ②：PA)=n4≤1 n(2)6 ∴.1n(2)≥6n(A)=72. 又：n(2)=(n+4)n+3),即：(n+4)n+3)≥72，解得：n≤-12，n≥5， 所以n的最小值是5. …(15分) 18.(本小题满分17分) (1)证明：连接AC,交BD于M,如图4所示： 因为底面ABCD是正方形，故M为AC的中点，所以ME∥PA 又因为EMC平面BDE,APC平面BDE, 所以AP∥平面BDE.……(5分) (2)证明：在正方形ABCD中，有AB∥CD, 图 因为AB丈平面PCD,CDC平面PCD, 所以AB∥平面PCD. 又因为ABC平面PAB,平面PAB∩平面PCD=l,所以AB∥L, 又因为I立平面ABCD,ABC平面ABCD, 所以l∥平面ABCD, …(10分) (3)解：，PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,∴.PD⊥BC. 又，在正方形ABCD中，CD⊥BC, PD∩CD=D,PD,CDc平面PCD, ∴.BC⊥平面PCD. 又，DEc平面PCD,.BC⊥DE ,PD=CD,E为PC的中点，故DE⊥PC. 又PC∩BC=C,且PCc平面PCB,BCc平面PCB, ∴.DE⊥平面PCB, 又因BE、ECC平面PCB, 高一数学A卷ZT参考答案·第6页（共7页） 所以DE⊥BE,DE⊥EC, 所以由二面角的定义可知：∠BEC为二面角B-DE一C的平面角， 所以在Rt△BBC中，cos∠BEC-EC-2-V5 BE√63 所以二面角B-DE-C的平面角的余弦值为 …(17分) 3 (附注：本问求解可用多种方法求解，其余解答方法参考给分) 19.(本小题满分17分) 解：(1)由余弦定理可知cosA=+c2-d cosC=+b2-c2 2bc 2ab 又因4 ccos A=ab-4 acosC, 所以4cF+c-心=b-4n+B-C,解得：a=4 2bc 2ab ……(5分) (2)①证明：由余弦定理可知：a2=b2+c2-2 bc cos A, 即16=b2+c2-2 bc cos A≥2bc-2 bccos A,所以8≥bc(1-cosA). 又因5eesinA-CAD-x4×25,即c-8 2 sinA V3×2sin24 所以5d-cos A)≤1台 2≤1台tan 5 sinA A A 2sin cos2 23 故0分君即0<长子符正 …(10分) 3 ②解：因(b+c)2=b2+c2+2bc=16+2 bccosA+2bc=16+2bc(1+cosA) =16+16W30+cosA sinA 即b+c=16+16W51+cosA0=16+ 16v3x2cos: 6v3 =16+ sinA 2sin cos A tan 2 2 因tan4s 16W5×2cos24 ,故b+c2=16+ 2sin Aco A =16+165 16+16W5 =64, 23 cos tan 2 2 2 所以(b+c)2≥64，即b+c≥8， b+c的最小值为8. …(17分) 高一数学A卷ZT参考答案·第7页（共7页）请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.（本小题满分17分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.（本小题满分17分) 解：(1) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效